案例分析 由两则简便计算教学案例想到的

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数学从产生到发展，自身有着极其严密的逻辑体系。如果将它比作成一座大厦，那么这座大厦任何的一砖一瓦都容不得敲动，否则就会整座倾倒。有人说，学习数学实际上是在学习一种精神，一种勿容置疑的理性精神，它培养人的一种坚信力。那么是什么让数学这么有力量？——理，数学是一门最讲理的学科，数学离不开理就像鱼儿离不开水一样。在小学数学中这个理更多指的是算理。

    客观地讲，我们一直在努力地培养学生的理性精神。与其它众多学科相比，数学最显著的特点就是“为什么”这个词的使用频率特别高。我们可以一个接一个地问“为什么”？但基于小学生的认知基础，很多时候我们并不能给予很好地解释。表现在小学数学中的不少概念，定理我们多是通过“举例子”的方法来进行的（数学上称不完全归纳法）。习惯成自然，有些老师就把这种“举例子”的方法当作了数学证明的一种重要思想，思维走向童化，这是非常可怕的。以下有笔者亲历的两节课为例。

    【案1】“除法有分配律吗？”

在一节《运算定律与简便计算的复习》课尾，讲到2900÷25组织学生进行练习，学生有了如下的解答：2900÷25

=（2500+400）÷25

=2500÷25+400÷25

=100+16

=116

学生很高兴地说：老师我发现了除法也可以有分配律，这样做是对的。“真的有除法分配律吗？”老师也表示很奇怪，课本中从来没讲到这个知识，能算对吗？随即老师在第二个等号上面打了一个“？”。接着组织学生验证，通过对2900÷25的竖式计算，发现答案确实是116，这就更奇怪了。老师说我们能再举举别的例子吗？学生举出3600÷60=3000÷60+600÷60=50+10=60，5500÷50=5000÷50+50÷50=100+1=101……，所举之例都是正确的，老师迷惑地讲了一句，可能真的有除法分配律……（下课了）

【案2】“请举些倒子来验证一下。”

（……根据某一生活化问题情境，学生列式解答得出两种算式）

师:两位同学的思路不同,算式不同,但计算的结果相同,请同学们观察一下这道题的两种解法,(70+30)×4和70×4+30×4(板书)你发现了什么?

生1:我觉得结果相等的算式也相等。

生2:我觉得有可能把两个数相加后乘以一个数得到的结果和把这两个数分别乘以这个数后,再相加得到的结果是一样的。

师:他说得究竟有没有道理呢?请大家举例来验证一下并汇报结果。

生3:我觉得生2说得有道理,我举了这样的例子3+4)×5=3×5+4×5

生4:我是用大数目来验证的,例如10000+20000)×8=10000×8+20000×8

生5:我量了数学书的长和宽,并用两种方法求到了数学书的周长是一样的,说明生2的结论是正确的。(20+12)×2=32×2=64(厘米)20×2+12×2=40+24=64(厘米)

师:同学们都说得很好,也证明了前面同学的猜想是有道理的。我们看书上是怎么说的。

（书上给出了定义与乘法分配律公式）

【思考】除法真的有分配律吗？如果有，教材中为什么不出现？如果没有，那么那些例子又说明了什么？思虑过后，我们不难发现所谓的除法分配律实质是乘法分配律的一种变形。如果我们把2900÷25看作2900×1/25，那么问题就清楚了。因为除以一个数等于乘以这个数的倒数。那么接下来的问题自然是乘法分配律的过程了。反之，如果出现1000÷（8+125），运用“除法分配律”就变成1000÷8+1000÷125=125+8=133，显然这样做错了。我们模糊地估算一下，用1000除以两个数的和（与单个数相比相对较大了），除数越大，得数越小。然后分拆成1000除以8和1000除以125，较1000除以两个数的和来讲，除数小了许多，结果自然变大。这实际上也是一种算理分析。那么产生教师以上的教学误导的本因是什么呢？恐怕要归结于教师自身没有严谨的数学分析意识。受以往往教学经验的影响，把举例子当成了数学证明的一种思想。再看案2，也是如出一辙。例子终归是例子，不能排除有“万一”的情况出现。在严格意义上讲就像歌德巴赫猜想那样,还只能是一种猜想。在这里，帮助学生真正理解乘法分配律的算理，我们还是有路可行的——分析“几个几”的乘法意义：(70+30)×4是100个4，70×4+30×4是70个4加30个4，也是100个4，所以(70+30)×4=70×4+30×4。

基于以上问题，在小学数学教学中，在大家热衷用情境方式通过举些例子帮助学生理解算题意义的时候，把握数学本质是一个核心问题，这个数学本质正是算理。注重算理研究，用数学自身的规则或要求去解说数学问题是多年新课改后我们需要重新拾掇起的一根救命稻草。因为只有这样，学生的数学学习才更会有坚信力；我们培养的学生才更会有理性精神。