《整 体 建 构 突 破 深 化》——谈分数乘除法应用问题的教学有效性

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分数乘除法应用问题历来是教学之重难点。如何解决这一难点，老师们都煞费苦心。我在教学实践中深切体会到：教学的有效性不是一、两节课能解决的，而是需要教师有整体教学的意识，能引导学生理解本部分知识与相关知识的内在联系，整体建构起知识体系，这样学生的理解才轻松而深刻，解决问题的方法才正确而灵活。对此，我在教学中是从三方面加以整体建构的。

一 、垫基础——于分数的意义中做孕伏：

很多学生接触到分数问题后，都出现了学习困难。究其原因，是因为分数不仅可以表示一个具体的量，还可以表示部分与整体之间的关系。学生从具体的数世界转入到抽象的数世界，是认知上的一次跳跃，自然会感到困难。例如：学生刚学习了分数乘法后，对“一根铁丝3米，用去米，剩下多少米？”这样的问题，也常会用3×去解决。为什么会这样？一来因为此时问题解决的方法除了乘法就是乘法，容易发生机械模仿；二来因为学生对分数两种意义的理解区分不够。因此，理解分数乘除法的意义，解决分数应用问题需要先垫好基础——理解分数的意义！我在教学分数的意义时，就注意区分分数的两种意义，并着重引导学生感受分数作为分率的意义。如设计这样的问题：为布置教室，琳琳、乐乐和冉冉都从家里带来了彩纸。他们都说带来了自己家里彩纸数的，可是却不一样多，这是怎么回事？学生在疑惑中思考，在思考中体会到这样的分数是依附于整体1而存在的，它的具体数量的多少由整体1所决定。这就对后面孩子们解决分数乘法应用问题做了很好的铺垫。

二 、抓核心——于问题中寻找数量关系：

现行教材不再单独按类型编排分数乘除法应用问题，而是将之作为分数乘除法运算学习的自然组成部分。这样有利于学生建立数学与日常生活的自然联系，发展学生根据实际情景和运算意义解决问题的能力。但应用问题毕竟不同于计算，学生面对各种应用问题还是需要一个基本思考方法的。“抠字眼”的解题训练以及“背口诀”“记公式”的方式不利于学生的数学思考和后续学习，在这种情况下，解决问题的根源就在于寻找问题中隐含的数量关系，数量关系就是问题的骨架。从分数乘除法应用问题来看，其最基本的数量关系就是“整体1×分率=对应的具体数量”。学生在解决分数除法应用问题时，需要由这一数量关系列出方程来解决；或者由这一数量关系推导出整体1=具体数量÷对应分率来解决；分数混合应用问题的解决也有赖于这一数量关系。因此帮助学生理解这一数量关系并能在问题中找到这一数量关系，对于学生解决乘除法应用问题是必要也是重要的。

那么，怎么引导学生理解这一数量关系呢？我认为要注意两点：

①   以分数乘法的意义为基础：

“求一个数的几分之几是多少”是从整数乘法意义到分数乘法意义的拓展，这是个重难点，也是后续学习的直接基础。我在教学时是分两课时加以突破的。

【第一课时】突出类比迁移和数形结合的方法，理解“求一个数的几分之几是多少要用乘法解决”。如改编导入例题为：4个小朋友在谈话。小红说：我有8个苹果。小云说：我的苹果数是小红的2倍。淘气说：我的苹果数是小红的。笑笑说：我的苹果数是小红的。随后提出问题：小云、淘气、笑笑各有多少个苹果？在解决淘气有多少个苹果时，学生出现了8÷、8× 、8÷2这三种解法。很快，凭着对意义的认识，学生判断8÷2是对的。再加以比较，判断8÷是错的。那么8× 是否正确呢？学生开始各抒己见。有的认为8个苹果的就是4个；有的推想8的2倍是8×2，那么8的就用8× ；有的画图解释一个苹果的就是，8个苹果的就是8个，就应该用8× …….最终学生都在类比和图示中豁然开朗，理解了用8× 的道理。再解决笑笑有多少个苹果时，学生都能画图解释：一个苹果的是，8个苹果的就是8个，就要用8×。解决了这三个问题后，再加以比较，发现从“求８个苹果的２倍”到“求８个苹果的”再到“求８个苹果的”都用乘法，从而初步感受它们的相通之处，感受“求一个数的几分之几用乘法的意义。”

【第二课时】依据分数和分数乘法的意义，着手引导学生提炼出基本数量关系。由一个数的几分之几可知这个数就是整体１，这个几分之几就是分率，即可概括为：“整体１×分率＝对应的具体数量”。在这里，我没有采用“抠字眼”找整体１的方法，而改为三步走，即：一找分率→二找整体１→三找数量关系。这样做可以使学生在理解题意时有整体意识。因为分率依附于整体１，找到分率，自然要思考“这是谁的几分之几？”而这个“谁”，就是整体１。　

②以基本数量关系为核心：

记忆过多的数量关系无疑会加重学生的负担，且丧失思考变通的能力。因此，我只要求学生记住 “整体１×分率＝对应的具体数量”这个基本数量关系，其它数量关系由此加以推导。在教学分数除法时，因为分数除法（一）和（二）中问题的数量关系都同于整数应用问题的数量关系，就将重点放在分数除法计算方法的探索上。对分数除法（三）则将重点放在分数除法应用问题的解决上，这历来是教学的难点。我教学例题时，通过对关键句的分析“跳绳人数是活动总人数的”，找到数量关系“活动总人数×=跳绳人数”；然后请学生自己解决问题。学生采用了除法和列方程这两种方法之后，引导学生比较：这两种方法有什么区别？有什么联系？从而明确要先找到问题中的数量关系，再选择适合自己的方法解决问题。

     三、促深化——于教学中渗透数学思想方法

要深化学生对分数乘除法应用问题的理解，提高学生解决问题的能力，就要在教学中渗透数学思想方法，以此帮助学生解决问题。我的做法主要有：

1、类比：

分数乘除法应用题不应作为独立的封闭系统去教学，而应根据教材的知识体系和学生的认知规律，在教学过程中，有机渗透类比的思想方法，引导学生利用已有的知识经验——倍数应用题的解题思路，去理解分数乘除应用题的数量关系与解题方法。从而在类比中发现知识共同的本质属性，及时将新知同化到学生原有的认知结构中。例如设计这样的问题：有一块果园，梨树的种植面积是6000平方米，桃数种植面积是梨树的3倍，桃数种植面积是多少平方米？学生练习后，依次将其中“3倍”改为0.4倍、2/5。引导学生悟出：当数量之间的倍数小于1时，通常说成几分之几，也就可以看作分数倍。求一个数的几倍用乘法计算，那么求一个数的几分之几也用乘法算。这样就大大减轻了学生思考的负担，从中也渗透了类比的数学思想。

　　2、比较：

　　学习分数乘除应用问题时，还需要对几种不同形式的应用题进行纵横比较，找出它们之间的异同，加深对数量关系的理解。例如将分数乘法应用问题与分数除法应用问题加以比较；又如学习分数混合运算后，设计题组：①东方小学有男生216人，男生占全校总人数的60%。全校有学生多少人？②东方小学有男生216人，女生占全校总人数的40%。全校有学生多少人？学生独立解答得出①216÷60%②216÷（1-40%）。再进行比较：为什么第一题直接除以60%，而第二题要除以（1-40%）呢？（因为第一题216人已经直接告诉我们占总人数的60%。而第二题216人没有直接告诉占学校总人数的百分之几，所以要用（1-40%）求出占总人数百分之几。）这样不仅渗透了比较思想，还渗透了对应的思想。　　

在教材将意义教学、计算教学、应用教学相融合的情况下，我们应该清楚地认识到，一节课不可能解决多个重难点。唯有教师有整体教学的意识和策略，有瞻前顾后的能力，才能在教学中做到有点有面、有轻有重、有舍有取……教学才能富有实效！