新课程改革优秀论文

真诚天下

发现法与小学数学教学  

　
　  



近年来，有些教师在小学数学课试验用发现法进行教学，这是小学数学教法改革的一项新的尝试。随着教法改革的深入，不少教师提出这样的问题：什么是发现法？在小学数学教学中如何运用发现法？作为一种教学方法，必须具有某些独有的特征，能与其他教学方法相区别。为了便于教师进行研究，现根据所了解的一些材料，对发现法的特点及其在小学数学教学中的运用做一简单介绍，以供参考。


一 发现法的特点


　　发现法是近二十多年来国外倡导的一种教学方法，也有人称为探究问题法。五十年代末六十年代初，根据科学技术的迅猛发展和培养人才的需要，国外在提出改革传统教材的同时，相应地要求改革传统的教学方法。有些心理学家和教育工作者倡导“发现”的学习方法，强调要让学生自己发现和创造知识。例如，瑞士心理学家皮亚杰就提出：“要引导儿童去重新发明他们能够发明的事物。”美国心理学家布鲁纳更完整地提出发现学习的理论。他强调，学习是发现知识、理解一个学科的基本认识结构、运用直观和分析推理以及依靠内在动机的过程。他认为，“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方式。”因此，他提倡在教学中广泛运用发现法。

　　倡导者们认为发现学习的优点主要是：1.发挥学生主动性和创造性，发展他们的智力；2.可以较深地理解知识，并且较好地保持在记忆中；3.使学生更容易迁移，并且提高学习和研究较难的教材和问题的兴趣和信心；4.学生获得探究知识的技能，从而提高学生独立学习的能力。

　　运用发现法的一般步骤如下：1.创设问题的情境，提出要解决的问题；2.拟出解决问题的方法和途径，收集资料；3.提出假设；4.检验假设；5.总结，做出共同的结论。

　　可以看出，发现法教学的过程与科学家发现新知识的过程基本上是一致的。照布鲁纳所说，两者属于同一类的活动，差别仅在程度而不在性质。

　　纯发现法的教学，自始至终强调儿童自己独立进行活动。这种方法，国外的学前教育工作者运用得多一些，在学校教育中也有运用。但是，纯发现法存在较大的缺点，它只适用于介绍新教材，有时儿童有困难，不能保证达到预期的目的和获得系统完整的知识。因此有人（如美国的柯尔士）提出引导发现法，即在拟定解决问题的途径或提出假设时，教师可以适当予以提示和帮助。这样，学生做起来比较容易，可以有效地控制学生的学习活动，并保证达到预期的目的。


二 发现法在小学数学教学中的运用


　　自从倡导发现法以来，在国外的小学数学教学中有一些教师运用了发现法，但不普遍。最早在六十年代初，布鲁纳曾和美国数学家狄因斯合作，研究试用发现法教小学数学。他曾在小学三年级试用发现法引导儿童根据正方形的边长求面积，发现（x+ 1）（x＋1）=x2+2x+1。以后一些数学教学法研究人员在这方面做了不少的研究。现在从国外书籍中选几个例子来说明。

　　例1：一位数除两位数的教学。

　　给出一道题如39÷3。学生可以先拿39个物品，每3个一份，把它们分成13份。做几个这样的题目以后，可以让他们把物品组成10个一组。例如，给出这样一道题：“哈利买了4条糖果，每条有10块。他吃了1块，把剩下的每3块包成一包，分给同学，分给了几个同学？”

　　学生可能有以下几种解法：

　　1.每3个分成一堆，然后数出分得的堆数；

　　2.从三个10中各先拿出1个，剩下的每9个分给3个同学，再把其余的也每3个分成一堆。




　　3.与2.相似，但他们看出有4个9。




　　4.他们看出3个10正好分给10个人，剩下的每3个分成一组。




　　5.与4.相似，但他们看出剩下的9个正好够分给3个人。




　　在学生得出解法之后，全班进行讨论。教师对不同的算法不给出评价。再出一道题，许多学生会选用比他第一次用的更为简便的方法。进一步教师提出引导性问题，促使学生找出更为有效的计算方法，形成一般的竖式计算。

　　例2：乘法分配律的教学。

　　给出一道一个数乘以和的应用题，例如：“有3个男孩和4个女孩，分给每人2块饼干，一共需要多少块饼干？”让各小组研究这道题可能有几种方法。学生想出下面的解法：

　　每人的块数×（男孩数+女孩数）=2×（3＋4），（每人的块数×男孩数）＋（每人的块数×女孩数）=（2×3）＋（2×4）。

　　还可以用长方形阵列的方法（即按照已知数画几行点子，再导出算式）。每个小组可以自己设数，排成大小不同的阵列。让学生写出积，然后在其中某两行之间或某两列之间折叠一下，把阵列分成两部分，重新写出算式，求出积来。以4×7为例，可以写成如下的形式：


　



　　学生找到分配律以后，可以用它去发现新的事实。

　　例3：三角形内角和的教学。

　　开始先让学生各拿一张正方形纸，沿对角线折叠，发现每个三角形的三个角是由一个直角和两个半个直角组成的。随后让学生拿一张长方形纸，沿对角线剪开，再试试能不能发现每个三角形的内角和是多少。有的学生很快发现三角形内角和等于2个直角，因为一个长方形有4个直角，而剪成的两个三角形是完全相等的。

　　教师还收集了一些等边三角形容器。儿童发现可以把6个这样的容器拼成一个新的图形。而且可以把三个拼在一起立在桌子上（右图）。这说明每个角（根据已学的图形的对称很快发现等边三角形的三个角相等）等于2个直角的三分之一。这再一次说明三角形的内角和等于2个直角。




　　然后教师向学生提问，能不能发现任意三角形的内角和是多少。教师建议学生各画几个不同的三角形，给每个角标上号。有的学生折叠三个角，使它们对在一起；有的学生撕开三个角，把它们拼在一起。他们发现拼成的角的边形成一条直线。有些学生试图发现三角形的内角和是否有不等于2个直角的。

　　最后教师建议，在一个球面上画一个三角形。学生很高兴地发现，在球面上画的三角形有些内角和是2个直角，还有一些却大于2个直角。

　　从上面的几个例子可以看出，在小学数学教学中运用发现法，基本上符合前面介绍的几个步骤。几个例子突出的共同点是激发儿童动脑筋想办法发现规律。解决问题；不同的是，有的教师引导多一些，有的教师引导少一些。


三 对发现法的评价


　　自发现法问世以来，国外对这种方法有各种各样的评价。除了象前面介绍的发现法的倡导者所指出的一些优点以外，也有不少人提出意见。

　　有些人对发现法持反对的态度。例如，美国心理学家加涅不相信只要使学生掌握思考方法，就可以培养起能力。他强调教学要使学生掌握大量有组织的知识，教师要给以充分指导，使学生按照规定的程序进行学习。美国另一心理学家奥苏博则认为，大多数学习应当是学生主动解决问题，但必须由教师建立一个系统的序列和方式。他认为听讲也可以是一个智力上主动的过程，而在探究的情境中学生也可能是被动的。

　　也有人认为发现法有它的适用范围，不能作为唯一的一种教学方法。苏联教学法专家巴班斯基曾指出，这种方法花的教学时间多，在培养一些不复杂的技能技巧时作用是不大的。美国的小学数学教学法研究工作者恩德希尔认为，在教学新概念和一般概括性知识时可以用这种方法，而关于概念的名称、符号表示法仍需要教师予以讲解，而且在发现新知识以后，还要适当地通过讲解法复述概念，指出它的属性，以及计算方法的一些细节（如进位加法要说明竖式具体怎样加，注意哪些事项）等。日本福冈大学秋山俊夫根据日本的试验，认为发现法对于具体运思阶段后期至形式运思阶段前期的学生（十岁左右——十二岁左右）比较有效，但也认为要花费时间和劳力。

　　结合我国具体情况如何在小学数学教学中运用发现法，还没有完整的经验，有待于进一步试验研究。

真诚天下

让学生走进生活、感悟数学  

　
　  





    数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解和应用，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。数学是一个非常美的领域，这是因为数学的主要部分是由人类的心灵创造和构成的。数学与科学技术、人文科学、经济发展等都有着广泛的联系。“数学来源于生活，又运用于生活。”在我们身边的大千世界中蕴涵着大量的数学信息，而数学在现实世界中也有着广泛的应用。
         一、对数学的认识
         说到数学，大家都会觉得只是“计算”和“证明”，学生学数学只要会做题就行了。而在使用新教材的过程中，我逐步体会到了，数学它本身不只是“数字符号”，它有更丰富的内涵，它与人的生活息息相关。数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。我们可以自由探索自己心目中的数学世界，正是这种自由探索才是数学美的体现。我认为,数学学习应该是一种有广泛的思维空间和实践空间,是生动有趣的学习活动,学生是可以用心去体会感悟的。
        1、  数学来源于生活
       数学是生活的一部分，它是在这个现实世界中生存的，离开了现实生活这个世界，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的数学。同样，人类也离不开数学，离开了数学人类将无法生存和发展。为了使学生切实体会到数学源于生活，我提倡学生写数学日记，记录生活中发现的数学问题，达到了很好的效果，学生的日记中体现着他们对数学的发现、应用和理解。
       ２、数学是一种文化
      数学是思维与线条的文化。数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。
       作为21世纪的数学教师，不能只让学生学会做各种各样的“习题”，而是要让学生去体会到数学的一种社会价值，并且从生活中去体会一种数学思想。数学里包含着丰富的哲学道理和人文精神，教师在教学的过程中应当积极发掘数学中蕴涵的宝贵的东西。我们说，无论是哪一种学科，都要考虑到人的全面发展，数学学科尤其重要，应结合一定的教学情境，培养学生良好的思想品德及优良的学习习惯，老师不仅要做经师，更重的是要做人师，教书的同时一定要育人，把育人放在首位。
        二、对新课改数学教学的思考：数学教学应该教给学生什么？
      《数学课程标准》建议教师“让学生在现实情境中体验和理解数学”，可见在体验中感悟数学知识是学生掌握数学知识和技能的重要途径。作为数学教师要为学生感悟数学创设和谐的情境，触动学生的生活积累，使学生能有所悟，能自悟自得，并能在实践活动中深化感悟。
        一般来说，中小学数学教学的功能包括两个方面：一是实践功能，即它与人们的生产活动和日常生活有着密切的联系。数学教学的内容来自于人类日益丰富、不断提高的生产活动和社会生活，并通过对一代代新人的培养，而越来越明显和能动地促进各个时代，尤其是现代社会的生产活动和社会生活的发展和进步。二是精神功能，即它联系于人们的思维与方法。通过对儿童的数学教学，在早期就尽可能充分地开启儿童的智慧，发展儿童的思维品质和思维能力，丰富儿童的精神世界，能为他们日后乃至终身的良好发展，创造高质量的生活，奠定不可或缺的极为重要的基石。20世纪80年代开始，美国教育界提出了“大众数学”的教育理念，“大众数学”的实质是指对数学教学进行再创造，使之顺应学生的需要，顺应社会的需要。在理解大众数学的基础上，提出了下列理念：①数学对任何人都有价值。②几乎所有人都能学会大量的数学。③数学教学应鼓励各种程度的学生积极参与。④学校数学不仅限于算术、代数、几何，在各个阶段都应扩充内容。⑤课堂不应脱离现实世界。⑥问题的主要根源在课程。⑦教师应提高对数学教学的责任心。
        我们认为，数学学习应该是一种有广泛的思维空间和实践空间，是生动有趣的学习活动，学生是可以用心去体会感悟的。而以往的数学学习，常常使学生们感到离开自己的生活实践太远，枯燥乏味。其实，数学学习完全可以将学生学习范围延伸到他们力所能及的社会生活和各项活动之中，将教育和生活融为一体，让学生获得更多的直接经验和感受体验。教给学生思维方式与思维的习惯。让学生去体会感悟数学的智慧与美。
        三、新课程下教师该怎么办？重新认识数学、感悟数学
        新课标强调数学教学应重视从学生的生活经验和已有知识中学习和理解数学，使他们体会到数学就在身边，数学和现实生活是密切联系的。数学课上不是教给学生多少知识，而是要教给他们思维的方法，开发他们脑中未被开发的脑细胞，要想做到这一点，就要求我们教师要不断的充实自己。
        体验是青少年在实践活动中亲身经历的一种心理活动，更多的是指情感的一种体会和感受。而这种体会和感受外在表现出来便是学生的感悟。学习数学知识悟性是重要的决定因素，它与数学教学有密切的关系，它是一种具有生命驱动力的思维形态，介于感性认识和理性认识之间，是联结感性与理性的带有生命体验的心灵之桥。可以说，没有以悟性点醒的材料是僵化的凝固的材料，没有以悟性化解的理论是空洞、乏味的理论。悟性的养成与提高主要靠学生学习数学知识的体验。由此我认为应由以下几个方面来加强：
  （一）、创设和谐的情境，使学生能有所感悟
        “让学生在生动具体的情境中学习数学”，“让学生在现实情境中体验和理解数学”是《数学课程标准》给我们广大数学教师提出的教学建议。的确，创设宽松、和谐的教学情境有利于激发学生学习数学的兴趣和求知欲望，调动学生学习数学的积极性；有利于学生认识数学知识，体验和理解数学，感受数学的魅力，从中能有所感悟，掌握必要的基础知识和基本技能。
   （二）、触动生活积累，在体验中使学生自悟自得
        感悟是一种心理现象，也是一种心理过程，先有所感，方有所悟。感悟主要借助感知，感知的形成又要依赖于学生的亲身体验，依靠平时积累。学生有了一定的感性经验，就可以通过自己的感受、体会、揣摩而有所感悟。在数学课堂中，教师不能过早地将具体的知识抽象化，感性的知识理性化，使学生匆匆跨过感性阶段而步入理性的殿堂，有的知识讲得越多，学生越不明白，而应主要让学生自悟自得。
      （三）、在实践活动中深化感悟
        悟性的高低，标志在一个人的智力水平。在教学中，不同学生往往表现出不同的悟性，言语、思维有的产生“奇思怪想”，有的是“平淡无奇”，作为教师就要善于发现学生中因为思维撞击所溅起的“智慧”火花，引导或利用学生去矫正学生的思维方向，由学生自己去梳理自己的思路，去捕捉别人思维的闪光点。为了真正让学生走进生活、感悟数学需要我们教师做到：
       １、教师要不断更新教学形式
        新课标下的数学教学需要教师组织大量的数学活动，让学生体会知识的产生发展过程。关于活动课国家有统一的指导思想：结合学生特点，发挥学生的主动性和创造性，使学生受到政治思想道德教育，扩大视野，动手动脑，增长才干，发挥志趣和特长，丰富精神生活，增进身心健康。
        ２、教师要不断更新教学语言、素材
        生动的素材能在学生心目中留下永恒的记忆，而活泼的语言又是激发学生求知欲的良方。不同年龄段的学生有自己的思维方式和思维习惯，教师要针对他们的特征，选择适当的素材，采用贴切的语言才能收到预期的效果。
        ３、教师要不断更新教学手段、掌握数学技术
新课标下的数学教学只靠传统的粉笔加黑板是无法完成达到要求的。有许多图片、图象需要多媒体展示，许多知识的发生发展过程需要电脑演示。在教学中我们会经常遇到用较多的语言说明一些概念、算理、公式等现象，而且它往往又是教学的重点和难点，借助多媒体辅助教学，可以活化这些现象，而且特别直观、形象，从中不需要教师多言语学生就可以自己感悟到数学知识。教师必须掌握现代化教学手段，才能为学生提供丰富的知识和素材。
        数学课堂是常被人认为比较枯燥、乏味、和缺乏激情的，因此，努力创建既宽松、又富有人情味的且便于学生善于思考、乐于探究的课堂环境显得尤为重要。只有当学生体会到数学的乐趣学生才会主动学习和感悟数学，数学教学才能为学生的未来发展服务；才能给我们的所有学生：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一双能用数学思维思考世界的头脑；一副为谋国家富强人民幸福的心肠。

真诚天下

小升初数学方法技巧精讲  

　
　  




    数学现实是独立于个体头脑而存在的，但它却完全依赖于人类的思想。


一、理解问题要深刻



读题是理解题和解决问题的前提，要反复读题，加深理解。但常常有这样的同学，读完题后还未完全理解题意便忙于解题，于是就出现理解不出来或解错题的情况，欲速则不达。



二、不要盲目列方程



用方程解题的最大好处就是可以用字母代替未知数，在考虑数量关系时，未知数与已知数始终处于平等地位，可以直接参加列式和计算，便于把题目中的数量关系直接地反映出来，从形式上看，它比列算术式要简便。如此说来，是不是在解题时我们就应一味地去追求列方程呢？实际并非如此。

这些题进一步说明列方程解题并不一定是最好的选择。

通过以上几道例题的分析比较可以看出，很多数学题用算术方法求解要比用代数方法求解简便得多，而且用算术的方法分析问题能很好地锻炼同学们的思维，使自己的头脑越来越灵活，有利于智力的开发。所以，在小学阶段，应尽可能使用算术方法去思考问题，而不要盲目追求列方程。

三、分析错误原因

对错误的解答，要能够认真分析错误原因。搞清楚是理解题意有误还是计算错误，是考虑问题不全面还是解题思路有问题。认真反思，吸取教训，你离成功就不远了。

(一)“篡改试题”

就是把题目改了再做，当然你不是故意这样的。同学们在考试时常受一些曾经似乎做过的题的影响，这个见过，那个见过，就顺着记忆做下去了，实际上由于其中一个条件或关键词的改变或数据的改变，编排顺序的改变等已使题目变得与原题大不相同了，因此在审题时一定要认真，再认真，条件是什么？条件与条件之间的关系是什么？数据又是什么？与问题有怎样的联系？这些都需要思索一番的，我们在教学过程中一般都强调同学们画图、列条件、标数据、写等量关系等，把题目中提供的信息，通过自己的大脑再在草稿纸上表现出来，这样不易遗漏。当然这些都存在一个时间和效率问题，在考试时是不容你花大量的时间琢磨的，要在有限的时间内把题意掌握清楚，争取不受原来那些题的干扰。



当然，类似的情况太多了，你只要不受“老朋友”的影响，以为做过就轻视它。考试时，把关键落实到审题上，通过自己的努力，这些还是可以避免的。



(二)“答非所问”。

这一错误的产生是由于同学们在解题时关注点不全面，想了这个忘了那个。我仔细分析，大致情况是这样：在每道题中都有一个赛点，或者说是一个难点，有些题是出现连续的几个赛点，一般同学们在突破赛点，解决难点后是非常兴奋的，我懂了，我会了，我明白，给自己的感觉是这道题的分数唾手可得，就什么都不顾了，问乙多少答成了丙多少，问多多少答成了总数是多少，问男比女答成了女比男……有同学感叹：我怎么忘了乘以3了呢？我怎么最后没加起来呢？……这种情况比比皆是。



         因此，同学们在做题尤其是考试时，既要有一定的兴奋来刺激大脑思维的活跃，也要以相当的冷静来分析全题的道道机关，弄清出题人的意图，它要考你什么知识点，用什么方法，赛点在哪儿。不要因为题目似乎见过，难点已经突破而忘乎所以。在考试解题时首先能做到这两点，你的数学成绩一定会有大幅提高。





(三)“丢三落四”

“丢三落四”这是最常见的错误，对于考虑问题不全面不周到的例子，我在很多专题课上讲到过。而对于一题多答案的试题在各重点中学的招生考试题中十分常见。



(四)“理解有误”

较多的错误，还是开篇提到的理解的误区，如下题中提高的效率都是针对当时的实际情况22分钟完成而言，而非针对计划20分钟而言。



(五)“唉!就是算不准”



最多的错误，就在于计算了，列对式子算错数，抄错数，答错数的例子比比皆是，也许上面的16个题的计算中你就已经出现了多次，你也能帮我举几个算不准的例子了。

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谈新课程理念下优化数学课堂教学的几条措施  

　
　  







    学校教学中，课堂教学是全面培养学生素质和创新能力，提高教学质量的主阵地，那么如何建立并优化这块主阵地呢？笔者结合教学实践，谈几点措施。

一、调动情感因素，唤发学习激情
    列宁说过：“一个人的思想只有被浓烈的情感渗透时，才能得到力量，引起积极的注意、记忆、思考。”课堂是学生学习的主要场所，学习的本身除了认知因素之外，情感因素起着特别重要的作用。因而课堂教学中教师每一丝亲切的微笑，每一个鼓励的眼神，每一句温和的话语，每一个明确的手势……都会触及学生学习的情绪，都可以促使学生放开胆子，亮开嗓子，都会诱发学生情感的积极投入。这一切又能促使教师与学生之间关系融洽、民主和谐，使大家无拘无束，尽情发挥主动作用，激起学习热情。
有位同学，父母离异，给他精神上造成巨大的创伤，整日少言寡语，心情郁闷，课堂上听不进，作业完不成，学习日渐落后。于是，老师便以慈母般的爱心接近他，关怀他，帮助他，课堂上利用一切机会让他“表现”，并及时表扬，随机赞叹，抓住每一个“闪光点”进行激励，渐渐地，他对老师有了感情，又喜欢上了数学课，成绩也日渐进步。

二、留给思考余地，增强自信心理
    目前课堂教学中，我们经常会看到这样的情景：由于一些老师偏解了新课程的理念，学生一提出问题或教师出示思考题后，就立即组织学生讨论，不是同桌讨论就是小组合作，气氛显得异常热烈。有些思维敏捷的同学很快便要举手欲答，而绝大部分反应慢的同学还未来得及深思，脑中就灌满了别人的意见，久而久之，再遇难题时，他们便会附和于人，只听别人分析讲解或干脆不加思索，养成懒惰习惯，以致思维缓顿失去学习信心。因此，在教学过程中，一定要留有让学生独立思考的余地，然后再相机组织他们讨论。这样，使学生通过自己的思考而得到答案，或达到答案的“边缘”，都会给他们带来很大的快乐感，从而增强学习的信心。

三、适时引导提问，培养问题意识
    爱因斯坦说过：“提出问题，往往比解决问题更重要。”数学教学应重视培养学生的问题意识，培养学生敢想、敢说、敢问的精神。怎样引导学生提问，是优化课堂教学，培养创新精神而不可忽视的一环。
1、借助揭示课题，引导学生提问。
一节课，好的导入是教学成功的前提。因此，在新知导入时，要根据儿童的年龄特点和认知规律，可借助揭题，引导学生提问，以激起他们的求知欲。如教学“圆的认识”一课，在揭题后设问：“关于圆的认识，你们想提出什么问题吗？”学生会脱口提出：“怎样画圆？”“能求圆的周长和面积吗？”“圆有什么特征？”“圆在生活中有什么应用？”等等。这样借助揭题让学生提问，不仅能培养学生的问题意识，还能培养学生思维的创造性。
2、利用自学机会，鼓励学生提问。
学生自学时，教师要为学生指明学习的方向，以免出现应付式、盲目性的自学。如教学“年、月、日”一课时，老师说：“今天让你们自学课本，然后说说你懂得了年、月、日的哪些知识？有什么问题要问，好吗？”学生充分自学后，鼓励学生说说发现的问题。有的问：“为什么一年有12个月？”“为什么闰年比平年多一天？”“怎么计算一年的天数？”对此，教师不急于直接告知他们答案，而抓住重点知识讲解，再让他们讨论、计算、释疑。让全班学生都积极主动地参与学习过程，学生的自学能力、思维能力均得到了训练。

四、加强学法指导，掌握学习方法
    古人语：“授人以鱼，不如授之以渔。”培养现代学生的数学素质，不仅要求他们学会知识，更重要的是培养他们具有会学的能力。怎样指导学生的学习呢？
1、指导学生领会例题编排意图，掌握学习方法
小学数学教材中，每一新知识的教学基本上都有相应的例题，教学时要充分发挥这一优势，指导学生掌握自学例题的方法。如教材中很多例题的教学不是一步到位，而是分层逐步呈现解题过程，且留有不少需由学生填写内容的空格，要让学生根据解题思路自己去思考填写；有的例题旁附有虚、实色线框，要让学生明白线框的意图；有的例题有“想”的内容，要让学生知道这是思考过程；有的法则、概念、结语等用色字表示，要让学生清楚这是重点内容；有的例题中的示意图和操作程序是为突破难点安排的，要让学生懂得根据图示顺序去分析、推想，从而掌握数学学习的思考过程。
2、指导学生运用渗透、迁移规律学习新知识的方法。
数学教材的编排，前后知识联系比较紧密，几乎每一个新知识点的学习都是运用旧知迁移过来的。教学中必须十分重视训练学生养成利用渗透迁移规律学习新知的习惯。如：“圆柱的表面积计算” ，可要求学生根据长方形和圆的面积公式组合推导出圆柱表面积的计算方法。再如学过“通分”和“同分母分数相加减”之后，可要求学生尝试计算：1/2（±）1/5 (异分母分数加减)，学生则能主动利用旧知，变异分母分数为同分母分数相加减进行计算。

五、重视实践操作，引导自主探索
    前苏联教育家苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，有一个根深蒂固的需要，希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”课堂上多让学生动手“摸一摸”、“量一量”、“剪一剪”、“拼一拼”……不仅能满足学生好奇心的需要，更能促使学生于快乐活动中主动获取知识。
如教学“平行四边形面积的计算”，课前可让学生准备两张同样大小的平行四边形纸片，课上让学生把其中一张沿着任意一条高将平行四边形剪拼成已学过的图形（长方形）。接着，引导学生观察、测量、比较，并讨论：1、剪拼后的长方形与原来的平行四边形的面积有什么关系？2、平行四边形的底与高和剪拼成长方形的长与宽有什么关系？3、你能根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积计算公式吗？通过这样的操作活动，使得每一个学生都能在亲身实践中探索得出：S平行四边形=底×高。

六、引进竞争意识，营造进取氛围
    当今社会是竞争的社会，竞争已无处不在。课堂教学中适时采取竞争策略，可以促进群体参与，使课堂气氛活跃，激发学生积极进取。引进竞争意识的手段有：
1、语言激励竞争。
课堂上，教师运用激励性的语言进行教学，能促使学生积极思考。参与竞争。如“看谁最先想出来？”“看谁说得最好？”“看谁做得最好？”“看谁想得比他们更好？”“比比谁最聪明？”“看哪一组准确率最高？”等等。
2、练习比赛激励竞争。
①个体练习比赛。练习时可设计A、B题组，A组是必做题，B组是选做题，让学有余力的学生完成A组题后争取完成。看全班谁完成B组题最多最好，练习后及时表扬、奖励。这样，既可让“吃不消”和“吃不饱”的两类学生各有所得，又能使他们积极进取，主动竞争。②群体练习比赛。如以小组为单位进行小组接力赛练习。每人完成一道题，本组最后一个同学完成后将答卷交给老师，老师按送卷顺序先后编号，根据运算速度和答卷正确率评出优胜组。
教学实践证明，要想让每一个学生都能在课堂上想学——会学——学会，优化课堂教学是一条“捷径”，也是教改之路上一个永恒不变的追求目标。

真诚天下

结合数学教学，浅谈培养学生良好的学习习惯  

　
　  




    当今教育，正在进行新一轮课改。以培养创新精神和实践能力为重点，促进每个学生身心健康发展，培养良好的品德，强调基础教育要满足每个学生终身发展的需要，培养学生终身学习的愿望和能力。笔者结合常年数学教学实践认为，培养学生良好的学习习惯仍是一个很重要的环节。

    学习习惯是指学习活动中形成的固定态度和行为。学习习惯对学生的学习有直接的影响，良好学习习惯是促进学生取得较好学习成绩的重要因素。良好的学习习惯养成了，学生将受用终生，而良好习惯要从小培养，“从娃娃抓起”。不良习惯一旦形成再纠正，那将是件很困难的事情。

    结合数学教学，培养良好的习惯，包括那些内容呢？《小学数学教学义务大纲》指出“在教学过程中，要注意培养学生认真、严格、刻苦砖研的学习态度，独立思考，克服困难的精神，认真仔细、书写整洁，自觉检查的习惯”。以及学生乐于课前准备、活于课堂探究、勇于课后延伸；及时复习和独立完成作业等习惯。新课标还要求转变学生的学习方式，`培养学生合作学习、探究学习等综合学习方法，转变学生的学习态度，变“要我学”为“我要学”养成良好的学习习惯，培养学生对学习的责任心和终身学习的能力。
那么怎样结合数学教学培养学生良好的学习习惯呢？笔者认为应从以下六点做起：

    第一、贯彻新理念、实施新教法，改进学生学习方式，改善学生学习状态。倡导发现学习，探究性学习及研究性学习，使学生积极参与到学习过程中来。变“要我学”为“我要学”，培养良好的学习习惯。教师在课堂教学中一方面要创设教学情境，激发学生的学习兴趣，使学生养成认真听讲的习惯；另一方面要根据数学课堂教学的特点，采用适当方法，培养学生自主探究、合作交流、自信学习、不断反思的学习习惯。

    第二、 让学生懂得为什么要培养这种学习习惯，使学生明确要这样做的意义。让学生明白怎样做才算好，怎样做才能做得好；让学生明白要这样做的意义。例如，要求学生计算四则混合运算式题时，必须要先认真审题。这样做不但能从整体上把握好运算顺序，寻找简便计算方法，而且还能避免因看错抄错数据、运算符号而产生错误。学生明白了，就会认真审题，逐渐形成认真审题的学习习惯。再如学生写字时老师要经常告诉学生正确的写字姿势，即头要端正，不要歪斜甚至伏在手臂上，眼睛离笔尖一尺左右；腰要正直稍有前倾，不要俯向桌面；双臂要撑开些，保持一定距离，如果两臂缩拢，会书写不灵便；双足放平，脚踏实地，不要一前一后，或交叠一起。对于写字姿势不好的学生随时纠正，同时讲一些危害性。学生就会逐渐形成良好的写字姿势习惯。

    第三、 紧密结合教学过程，严格要求，认真检查。培养良好的学习习惯是一个长期的细致的过程，必须结合教学过程进行。从小抓起，长抓不放。例如，独立完成作业的习惯，教师要提出具体要求。学生做作业时，老师不仅要注意学生做得是否正确，还要检查学生是否按老师提出的要求来做，是否独立完成作业，按要求做的，及时表扬。做得好的，再加奖励一个“笑脸”或是一朵“小花”，示范给其他同学看。让做得好的学生体验成就感，从而激励其向更好的方面发展。同时牵引写的不好学生向好的方面发展。对有抄袭作业等有坏毛病的学生，应以鼓励性语言教育为主。如：“你如果独立完成，思路肯定是最独到的，相信自己！”、“如果你用心去写，肯定会把字写的最漂亮！”，随时反馈学生信息，对于学生点滴的进步以及时表扬，耐心帮助他们，使其逐渐养成良好的作业习惯。

    第四、   赞赏学生独特性和富有个性化的理解与表达，培养学生勇于创新的良好习惯。课堂上或是作业中，对于同一道题，不同学生思路不同，方法不同却“殊途同归”，自然包含着学生各自不同的独创因素，即创新意识，对于学生敢于另辟蹊径的做法、想法教师应该及时给予肯定、表扬。甚至是不成熟的、或是错误的见解。教师都应从不同侧面赞赏学生独特性和富有个性化的理解与表达。让情感在这里交融，知识在这里增值。切忌抹杀学生的独到思维。另外课后练习适当增加拓展创新性的题目。引导学生勇于探索钻研一题多解，以题简意深的题目激发学生的学习兴趣，求得新颖、独到、变通的回答。从而培养学生勇于创新的良好学习习惯。

    第五、   教师以身作则，起表率作用。如教师工整合理的板书，就会直接影响学生，学生也会像老师那样字迹工整地认真书写。即教育无小事，事事皆教育，教师无小节，节节皆楷模。因此，教师要在培养学生良好的学习习惯上，言传身教，起楷模作用。

    第六、   良好的学习习惯的形成决非一朝一夕能够形成，我们每个老师都应对学生以高度负责的精神，主动、努力地耐心培养。同时要与学生家长保持经常性的联系。了解学生在家学习情况，和家长一起研究、探讨、合作，寻找最佳方法，帮助学生养成良好的学习习惯。

真诚天下

在数学教学中培养学生的创新精神  

　
　  





    教育要以培养学生的创新精神和实践能力为重点。小学数学是基础教育的基础学科，是培养与提高人的文化素质和科学素质的重要组成部分，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。小学教师应站在面向世界、面向未来的高度，塑造学生创新个性，强化学生的创新意识，发展学生的创新思维。我们要千方百计地激“活”学生主体，把学习的主动权交给学生，尽量让它们去发现，去探索，去创新。如何在小学数学课堂教学中培养学生的创新精神呢？我的做法是：创设情境，尝试探索，发散思维。

一、创设情境
    教学成功与否，学习效果如何，取决于全体学生的有效参与程度。主动参与是培养学生创新意识的内动力，让学生主动参与，教师要为学生创设民主的学习情境，营造和谐的学习氛围，架设学习的桥梁，提供思考的空间，把学习的主动权还给学生，让学生通过自身的努力，掌握知识，形成技能，发展特长，提高素质。例如：课始老师的导入："小熊给小朋友们寄来了一封信，寄给谁了呢？请大家找一找。"小朋友们兴趣骤起，纷纷寻找。老师请找到信的同学打开读一读，新的教学内容就此展开了。 多妙的开头啊！
vvvv教学过程中，老师承接前一项训练内容，说："小朋友玩得正高兴，突然天色昏暗，眼见就要下雨了。这时小白兔来了，带来了很多伞，他的伞可不是卖的，而是送给做对题目的小朋友的。" 学生纷纷抢着做题，多好的故事渲染啊！
    多媒体传真：小猫亲切的叫卖声："卖苹果，卖苹果咯！"小鸟飞来了，说："我买9个"，"小朋友，请你帮小猫算一算，还剩几个？"浓厚的生活情趣，一下子把学生吸引住了。而且这样在解答问题时充分调动了学生的积极性，学生兴趣盎然，思维也活跃了。

二、尝试探索
    教师为主导，学生为主体，教师要放手让学生应用已有的知识、经验主动去探索并尝试学习新知识。新课程的目标要求就是一个很好的指导。在教学中要放手让学生自己获得知识，尝试、探索。如在教学进位加法35+7= □ 这节课时，通过“提出问题，设计方案”、“实验、探索”、“验证、运用”四个步骤，组织学生创造性地学习。学生凭借从已知到未知的学习体会，设计出三个层次的研究方案：（1）用小棒摆一摆，用数学具的方法完成计算。（2）小组协作讨论，探索计算的方法。
①35+7=5+7+30=42
②35+7=35+5+2=42
③35+7=35+10-3
三、发散思维
    在小学数学教学中，练习是数学知识巩固和技能提高的重要环节，大量地重复练习会加重学生的学习负担，而合理必要的练习会使学生获得真知，兴趣盎然。
这就要求教师精心设计数学练习题，逐步培养学生的创新意识和创新能力。在教学中，我十分重视学生的思维过程，重视创新能力的思维发散训练，提供学生思考的空间。把同一个问题作多种思考，不拘泥于教材提供的解题思路。如：在□中填上适当的数：□＋12＝52，学生根据已有知识，可以由“加法想减法”等一些逆向思维方法来解决。当然，也同样鼓励学生的其他解决方法。总而言之，在解法上鼓励学生标新立异，引导学生发表不同的见解，这样学生的创新欲望就会更强烈。
    总之，在课改中教师只有在教学过程中不断创造条件，点燃学生创造思维的火花，并加以正确引导训练，学生的创造性思维才能变得越来越活跃，越来越独特，而这真是创造性思维所具有的灵活、流畅、新颖的特点，只有这样，学生的创造性思维才能不断得到发展。

真诚天下

彻底解决“四色问题”  

　
　  




    地图“四色问题”（又称“四色猜想”）最早由英国大学生法兰西斯·古特里（Francis Guthrie）于1852年在绘制地图时发现，他却找不出科学肯定的证明就去请教他在伦敦大学读书的哥哥费特里克·古特里（Frederick Guthrie）。兄弟俩搞了好些日子还是证明不了，就由哥哥去向伦敦大学的老师、当时非常著名的数学家奥古斯都·德·摩根（Augustus de morgan）请教，摩根教授当时也证明不了，就至函他在三一学院的好友——著名数学家威廉·哈密尔顿（William Rowan Hamilton），希望他能帮助证明。可哈密尔顿对这个问题研究了十三年，到死也没能给出证明。自从1879年至今全世界不断有人提出证明了“四色问题”，可是都叫人难以信服，不断又被别人否定，至今这个“四色问题”仍与“哥德巴赫猜想”及“费马最后定律”一起被全世界公认为数学史上最著名的三大难题。

    本人2004年夏天刚接触到“拓扑学”，试着用“拓扑学”的方法去分析“四色问题”，只化半小时左右时间就证明了“四色问题”。我写的《关于“四色问题”的证明》（以下简称《证明》，可在电脑中文搜索栏打入“四色问题”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在许多数学网站上刊登出来后，看了的人很多认为非常正确；但也有一部分不明白的人认为证明了“相互间有连线的点不多于四个”并不是证明了“四色问题”，他们认为四点相互间有连线只是平面图上的局部现象，不能代表整个平面图，还提出比如中间一个点周围五个点的图形并没有四个点之间相互有连线却也要四种颜色。可我在这里要再强调一下：《证明》中三个定理概括讲就是“三点必闭，四点必围，五点必断”，并没有说一定要四点相互间有连线才需四色，证明“四色问题”关键在于“五色必断”。《证明》中分析了第五点E落在封闭图形ABC以内及以外的情况，也提到了第五点若落在连线上必定会隔断这条连线，只是没有把隔断的情况用图画出来，其实一画出来也是与另两种情况一样：三点包围一点，另一点又被小的封闭图形所包围。下面我再从第五点开始，接着第六点、第七点、第八点……直到无穷多点的情况下证明“四色永远足够”。

    为了使分析的图形更直观明了，可以换一个角度来看四点相互间有连线的图形：把封闭图形放在球面上，各点间距离均匀，拉直各条连线，图形就成了一个正三棱锥。图1就是把ABC面当底，D点当顶点从上向下的俯视图，若把三棱锥翻一个面，比如将B点当顶点，ACD面就成了底面，所以外面三条线其实与里面三条线是一样的，图形的外面实际上就是三棱锥的底面，三棱锥的底面与三个侧面其实也是一样的。这样任何第五点只有放在三个小三角形（侧面）中间及里面三条连线（棱线）上两种情况。

    当第五点放在任一小三角形中间，显而易见这点只能与周围的三个点有连线（如图1中E点），并且又把小三角形分隔成三个更小的三角形，这样只要第六点、第七点……一直到任意多点都落在三角形中间，每一点都只能与包围它的三点有连线，所以无论有多少个点“四色足够”。图1中的D点实际上已经变成了被周围的A、B、C、E、F五点所包围。

    当第五点放在中间任一连线上时（如图2中E点所示），E点成了三角形ABD与三角形ACD公共边AD中间的点，这样实际上形成了ABDE及ACDE两个四边形，而最大平面图中是不存在多边形的。若E点与B点有连线，A点与D点从右边仍有连线，那么E点又变成了三角形ABD中间的点；若E点与C点有连线，A点与D点从左边有连线，那么E点又变成了三角形ACD中间的点；若E点与B点及C点都有连线，那么A点与D点的连线必被E点隔断，这就是《证明》中的“五点必断”，再看看这时整个图变成了E点被三角形ABC所包围取代了D点原来的地位，而D点反过来被三角形EBC所包围。图2中的D点可看.成是侧面EBC中间的点，而A点翻过去成了底面EBC中间的点。接下来第六点、第七点……一直到任何多点都可落在任何一条公共边上，只要把这条公共边看成是三棱锥的一条棱，最后都会变成与上面的几种情况一样，形成大三角形里面包含小三角形，小三角形包含更小三角形……这样可以一级级的无限延续下去。

    所以最后可以肯定地说“任何复杂的平面图都是由大小不等的三点包围一点图所组成，所以也就只要有四种颜色就足够能使有连线的点颜色不同。

    这样简单的证明其实摩根教授在1860年就已经提出来，但马上又被他自己所否定，他主要是把中间一点周围五点的图看成是最大平面图，没有把五棱锥底面的五边形进行分割，所以也就看不到所有点都可变成被三点包围，这一疏略把这么简单的“四色问题”变成了千古难题，一百五十多年来肯定有许多人其实证明了“四色问题”，但都被摩根的这个否定给否定掉了。否定我的《证明》的人其实也是与摩根教授一样的想法。

    在这里我还要肯定地说：以前有人用“穷举法”借助电子计算机所谓的证明肯定是不完全的，图形的变化是无穷的，用成千上万的个例是根本无法去“穷举”完无穷数的。就象“七桥问题”可以用“穷举法”证明，可是变成“八桥、九桥、十桥……无数桥的问题”，难道也能用电子计算机去一一证明吗？