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2017-2018学年崇仁九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5
2.用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=5
3.一元二次方程x2﹣2x﹣3=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
4.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
5.下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
8.菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为 ．
9.方程 是一元二次方程，则m= ．
10.矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，则BD= cm．
11.写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 ．
12.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. ①解方程：（x﹣1）2=4． ②解方程：x2+2x﹣3=0．
14.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
16.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．21世纪教育网版权所有
17.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=CE，AD=4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE的长．
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18.如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．
19.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，【版权所有：21教育】
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
21.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）
五、（本大题10分）
22.阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= ，代入已知方程，
得（ ）2 + ﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【来源：21·世纪·教育·网】
六、（本大题12分）
23.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．
2017-2018学年崇仁一中九年级（上）第一次月考
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
1.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．2·1·c·n·j·y
【解答】解：方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5；
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【来源：21cnj*y.co*m】
2．用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=5
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2+4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4
配方得（x+2）2=5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.一元二次方程x2﹣2x﹣3=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】根据韦达定理可得．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0 的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
4.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【分析】正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．
【解答】解：（1）平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项错误；
（2）菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；
（3）正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；
（4）对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．
故选 C．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握菱形、正方形的性质是解本题的关键．
5.下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理，即可解答．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记菱形、正方形、矩形、平行四边形的判定定理．
6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形与对角线互相垂直的平行四边形是菱形，求得答案．21·世纪*教育网
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
①∵OE=OA，
∴AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形；故错误；
②∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；故正确；
③∵AF平分∠BAC，AB⊥AC，
∴∠BAF=∠CAF=45°，
无法判定四边形AFCE是菱形；故错误；
④∵AC⊥AB，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∵E为AD中点，
∴AE=CE= AD，
∴四边形AFCE是菱形；故正确．
故选B．
【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意首先证得四边形AFCE是平行四边形是关键．21教育网
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 1 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8.菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为 24 ．
【分析】由菱形的对角线长分别为6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积．
【解答】解：如图，AC=6，BD=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，
∴AB= =5，
∴面积是： AC•BD= ×6×8=24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9.方程 是一元二次方程，则m= ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方，
∴ ，
解得：m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
10.矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，则BD= 6 cm．
【分析】根据矩形性质得出AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，推出OA=OB，求出∠AOB=60°，得出△AOB是等边三角形，推出OB=AO=AB=3cm，即可得出答案．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，BO=DO= BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AO=AB=3cm，
∴BD=2OB=6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
11.写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 x2+x﹣20=0 ．
【分析】先简单4与﹣5的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程．
【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20，
∴以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程为x2+x﹣20=0．
故答案为x2+x﹣20=0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．21*cnjy*com
12.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= ．
【分析】由正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质，即可求得AO1，EO2的值，则可求得S2，S3，S4的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积Sn= ．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=1，AC= ，
∴AE=AO1= ，
则：AO2= AB= ，
∴S2= ，S3= ，S4= ，
∴作的第n个正方形的面积Sn= ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了正方形的性质．解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积Sn= ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. ①解方程：（x﹣1）2=4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1=±2，
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，
解得：x1=3，x2=﹣1．
【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．21cnjy.com
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
②解方程：x2+2x﹣3=0．
【分析】观察方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．
【解答】解：x2+2x﹣3=0
∴（x+3）（x﹣1）=0
∴x1=1，x2=﹣3．
【点评】解方程有多种方法，要根据实际情况进行选择．
14.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．21教育名师原创作品
【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
16.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．
【分析】根据∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根据ASA即可证出△FBC≌△EAB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
又∵∠FBC+∠OBA=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
在△ABE和△BCF中
∴ ，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE=CF．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，利用正方形性质得出∠BAE=∠CBF是解题关键．www.21-cn-jy.com
17.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=CE，AD=4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE的长．
【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD，得AB=BC，AD∥BC，由AE⊥BC，BE=CE，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，即可证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=60°，继而求得∠BAD的度数．
（2）因为BE=CE，AD=BC=4cm，所以BE=2cm，利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AB=AC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=120°．
∴∠BCD=∠BAD=120°；
（2）∵AB=AD=4cm，BE=CE，
∴BE=2cm，
∴AE= = =2 cm．
【点评】此题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质和勾股定理的运用．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2-1-c-n-j-y
四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
18.如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；21*cnjy*com
（2）由∠BEF是120°，可得∠EBC为60°，即可得△BEC是等边三角形，求得BE=BC=CE=6，再过点E作EG⊥BC于点G，求的高EG的长，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE=BC=CE=6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG=BE•sin60°=6× =3 ，
∴S菱形BCFE=BC•EG=6×3 =18 ．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得△BEC是等边三角形是关键．
19.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22= ﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜ ．
∴m的取值范围为m＜ ．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22= ﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．
（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD= BC，由已知可得，DC= BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．
【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= 180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
21.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）
【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解法（1）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=50（舍去），x2=2
答：道路宽为2米．
解法（2）：
解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：20×32﹣（20+32）x+x2=540
整理得：x2﹣52x+100=0
解得：x1=2，x2=50（舍去）
答：道路宽应是2米．
【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
五、（本大题10分）
22.阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x= ，把x= ，代入已知方程，
得（ ）2 + ﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x= （y≠0），代入方程ax2+bx+c=0整理即可得．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
（2）设所求方程的根为y，则y= （x≠0），于是x= （y≠0），
把x= 代入方程ax2+bx+c=0，得a （ ）2+b（ ）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2=0 （ c≠0）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
六、（本大题12分）
23.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．
【分析】（1）连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；
（2）在AG上截取GH=FG，可得△FGH是等边三角形，根据等边三角形的性质可得FH=FG，∠FHG=60°，再求出∠AFH=∠EFG，然后利用“边角边”证明△AFH和△EFG全等，根据全等三角形对应边相等AH=GE，然后证明即可．
【解答】（1）解：如图，连接EF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中， ，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BE=DF，BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EC= EF= ×2= ；
（2）如图（2）②在AG上截取GH=FG，
∵∠AGC=120°，
∴∠AGF=60°，
∴△FGH是等边三角形，
∴FH=FG，∠FHG=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFE=∠GFH=60°，
∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，
即∠AFH=∠EFG，
在△AFH和△BFG中， ，
∴△AFH≌△EFG（SAS），
∴AH=GE，
∴AG=AH+GH=EG+FG，
即AG=EG+FG．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质
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发表于 2020-10-6 21:03:52
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