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第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
◆随堂检测
1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
2、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2米，已知第二块木板的面积比第一块大108 ，这两块木板的长和宽分别是（ ）
A、第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米
B、第一块木板长12米，宽6米，第二块木板长18米，宽10米
C、第一块木板长9米，宽4.5m，第二块木板长13.5m，宽7米 D、以上都不对
3、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，求原来的正方形铁片的面积是多少？
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
（点拨：设 秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．）
◆典例分析
如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解:
◆课下作业 ●拓展提高
1、矩形的周长为8 ，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2、如图，在 中， 于 且 是一元二次方程 的根，则 的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m2吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
4、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
(分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 m.)
●体验中考
1、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米
3、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共化了多少元？
●挑战能力
1.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m吗？②鸡场的面积能达到180m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?
2.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
参考答案：
◆随堂检测
1、32cm. 设长方形铁片的宽是 cm，则长是 cm．
根据题意，得： ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.
2、B. 设第一块木板的宽是 米，则长是 米，第二块木板的长是 米，宽是 米．
根据题意，得：
整理，得： ，
因式分解得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .
∴第一块木板的宽是6米，则长是12米，第二块木板的长是18米，宽是10米．故选B.
3、解：原来的正方形铁片的边长是 cm，则面积是 cm2．
根据题意，得： ，
整理，得： ，
因式分解得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .∴ .
答：原来的正方形铁片的面积是64cm2．
4、解：设 秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得： （8- ）（6- ）= × ×8×6
整理，得： ，
配方得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
设每个横彩条的宽为 ，则每个竖彩条的宽为 ．
∴ ， ，
∴矩形 的面积为 （cm ）.
根据题意，得 .
整理，得 .
解方程，得 ,
∵ 不合题意，舍去.∴ .
则 ．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm.
◆课下作业
●拓展提高
1、 , . 设矩形的长 ，则宽为 ．
根据题意，得 .
整理，得 .
用公式法解方程，得 ,
当长为 时,则宽为 .
当长为 时,则宽为 ,不合题意，舍去.
∴矩形的长和宽分别为 和 .
2、A. ∵ 是一元二次方程 的根，∴ ，∴AE=EB=EC=1，∴AB= ，BC=2.∴ 的周长为 ，故选A。
3、解：（1）都能达到．
设宽为 m，则长为（40-2 ）m，
依题意，得： （40-2 ）=180
整理，得： 2-20 +90=0， 1=10+ ， 2=10- ；
同理 （40-2 ）=200， 1= 2=10．
（2）不能达到210m2．∵依题意， （40-2 ）=210，整理得， 2-20 +105=0，
b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．
4、解：（1）设渠深为 m，则上口宽为( +2)m，渠底为( +0.4)m.
根据梯形的面积公式可得: （ +2+ +0.4） =1.6,
整理，得：5 2+6 -8=0,
解得： 1= =0.8， 2=-2（舍）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
（2）如果计划每天挖土48m3，需要 =25(天)才能把这条渠道挖完.
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
5、解：（1）连结DF，则DF⊥BC.
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC= AB=200 海里，∠C=45°.
∴CD= AC=100 海里.
DF=CF， DF=CD.
∴DF=CF= CD= ×100 =100（海里）.
∴小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了 海里，那么DE= 海里，AB+BE=2 海里.
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2 ）海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 2=1002+（300-2 ）2
整理，得3 2-1200 +100000=0.
解这个方程，得： 1=200- , 2=200+ .
∵ 2=200+ 不合题意，舍去.
∴ =200- ≈118.4.
∴相遇时补给船大约航行了118.4海里．
●体验中考
1、B. 依题意, 满足的方程是 ,
整理得 .故选B.
2、A. 设修建的路宽应为 米．
根据题意，得： ，
整理，得： ，
因式分解得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .
∴则修建的路宽应为1米.故选A.
3、解：设此长方体箱子的底面宽是 米，则长是 米．
根据题意，得： ，
整理，得： ，
因式分解得， ，
解得， .
∵ 不合题意，舍去．∴ .
∴此矩形铁皮的面积是 （平方米），∴购回这张矩形铁皮共化了 （元）.
答：张大叔购回这张矩形铁皮共化了700元.
5、如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）
(分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．)
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发表于 2020-9-10 21:26:38
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