北师大版初中数学九年级上册2.3 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题1同步练习word下载

水水水

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第2课时 利用一元二次方程解决面积问题

        双基演练
1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（  ）
    A．8     B．4     C．4      D．8

2．如图所示，李萍要在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积占整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽为xcm，根据题意可列方程（  ）
    A．（90+x）（40+x）×54%=90×40;
    B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40;
    C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40;
D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40

3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．

4．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．

5．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽．
    （1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽．
    （2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽．
（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？

6．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱？

7．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．

8．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度．

        能力提升
9．谁能量出道路的宽度:
    如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
    请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．

10．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：
    在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；
    在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．
    （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
    （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
    S1=_________，S2=_________，S3=_________．
    （3）联想与探索：
    如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．

11．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的 ？

        聚焦中考
12.如图，矩形 的周长是20cm，以 为边向外作正方形 和正方形 ，若正方形 和 的面积之和为 ，那么矩形 的面积是（    ）
A．                         B．                
C．                           D．

13.在长为 m，宽为 m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为           ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为            ．

14.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 ．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 ？

15.如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
(1)        用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积；
(2)        当 =6， =4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．


答案:
1．D  点拨：可设该边的长为x，则高为 x，
可列方程 ·x· x=32，解得x1=8 ，x2=-8 ，
 由于线段长不能为负，故x2=-8 舍去．所以该边长为8 ．
2．B  点拨：镶上金色纸边后，整个挂图的长为（90+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
依题意，应选B．
3．解：设原铁皮的边长为xcm，依题意
    列方程，得（x-2×4）2×4=400，
    （x-8）2=100，x-8=±10，x=8±10．
    所以x1=18，x2=-2（舍去）．
    答：原铁皮的边长为18cm．
4．解：设现在的操场一边长x米，则另一边为 米，
根据题意，得（x+5）· =1500，即-x+ +25=0．所以x2-25x-1650=0．
    解得x1=-30（舍去），x2=55．由x=55，得 =30．
    答：现在的操场长55米，宽30米．
5．解：设平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为 米．依题意，列方程，得x· =1080，
    整理，得x2-93x+2160=0，解得x1=45，x2=48．
    因为墙长为50米，所以45，48均符合题意
    当x=45时，宽为 =24（米）
    当x=48时，宽为 =22.5（米）
    因此花坛的长为45米，宽为24米，或长为48米，宽为22.5米．
    （1）若墙长为46米，则x=48不合题意，舍去．
    此时花坛的长为45米，宽为24米；
    （2）若墙长为40米，则x1=45，x2=48都不符合题意，花坛不能建成
    （3）通过对上面三题的讨论，可以发现，墙长对题目的结果起到限制作用．若墙长大于或等于48米，则题目有两个解；若墙长大于或等于45米而小于48米，则只有一个解；若墙长小于45米，则题目没有解，也就是符合条件的花坛不能建成．
6．解：设这种运输箱底部宽为x米，则长为（x+2）米．
    依题意，有x（x+2）×1=15．整理，得x2+2x-15=0，
    解得x1=-5（舍去），x2=3，
    所以这种运动箱底部长为5米，宽为3米．
    由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为
    （5+2）×（3+2）=35
    所以做一个这样的运动箱要花35×20=700（元）
    点拨：题目考查的知识点比较多，但难度不大，同学应注意的是所求问题用到的是长方体的表面积，即表面展开图的面积，并非体积．
7．解：设一个正方形的边长为xcm．依题意，得
    x2+（ ）2=160，整理，得x2-16x+48=0，
    解得x1=12，x2=4，当x=12时， =4．
    当x=4时， =12．
    答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm．
    点拨：题目中的64cm也就是两个正方形的周长，设出其中的一个正方形的边长，另一个正方形的边长可用（ ）来表示．根据正方形的面积公式即可列方程．
8．设小路宽为x米，（32-x）（20-x）=540，x1=2，x2=50（舍去），
答：小路宽为2米．
9．设道路的宽为x，AB=a，AD=b
    则（a-2x）（b-2x）= ab
    解得：x=  [（a+b）- ]
    量法为：用绳子量出AB+AD（即a+b）之长，从中减去BD之长（对角线BD= ），得L=AB+AD-BD，再将L对折两次即得到道路的宽 ，即 ．
10．解：（1）如答图．

    （2）ab-b；ab-b；ab-b
    （3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b．
    方案：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移一个单位；（3）得到一个新矩形，如答图，理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，而水平方向的长变成了（a-1），所以草地的面积就是b（a-1）=ab-b．
11．解：设x秒后，S△MBN= S△ABC，
由题意得（8-x）×（6-x）× = × ×6×8，x2-14x+32=0，
x1=7+ ，x2=7- ，
∵BC=6米，
∴0≤x≤6，
∴x1=7+ 不合题意，舍去，
答：当7- 秒后，S△MBN= S△ABC．
12. B   13 ． （或 ）    （或 ）
14．
解法一：设矩形温室的宽为 ，则长为 ．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去）， ．
所以 ， ．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是 ．
解法二：设矩形温室的长为 ，则宽为 ．根据题意，得
．
解这个方程，得
（不合题意，舍去）， ．
所以 ， ．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是 ．
15．解：（1）   －4 2；        2分
（2）依题意有：   －4 2=4 2，        4分
将 =6， =4，代入上式，得 2=3，         6分
解得 ．        7分
即正方形的边长为 ．     

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2020-9-10 22:11 上传

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