青岛版九年级上册数学4.4 用因式分解法解一元二次方程同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

4.4 用因式分解法解一元二次方程
一、填空题
1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.
2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：x1=_________,x2=_________.
3.填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程
解：3x(x+5)__________=0
(x+5)(__________)=0
x+5=__________或__________=0
∴x1=__________,x2=__________
4.用因式分解法解一元二次方程的关键是
（1）通过移项，将方程右边化为零
（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积
（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程
（4）分别解这两个__________，求得方程的解
5.x2－(p+q)x≠qp=0因式分解为____________.
6.用因式分解法解方程9=x2－2x+1
(1)移项得__________；
（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；
（4）分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________.
二、选择题
1.方程x2－x=0的根为
A.x=0
B.x=1
C.x1=0,x2=1
D.x1=0,x2=－1
2.方程x(x－1)=2的两根为
A.x1=0,x2=1                                                        B.x1=0,x2=－1
C.x1=1,x2=－2                                                        D.x1=－1,x2=2
3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是
A.(2x－2)(3x－4)=0  ∴2－2x=0或3x－4=0
B.(x+3)(x－1)=1  ∴x+3=0或x－1=1
C.(x－2)(x－3)=2×3  ∴x－2=2或x－3=3
D.x(x+2)=0  ∴x+2=0
4.方程ax(x－b)+(b－x)=0的根是
A.x1=b,x2=a                                                    B.x1=b,x2=
C.x1=a,x2=                                                D.x1=a2,x2=b2
5.已知a2－5ab+6b2=0，则等于


三、解方程
    1.x2－25=0

2.(x+1)2=(2x－1)2

    3.x2－2x+1=4

    4.x2=4x

四、求证
如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一根是－1.



参考答案
一、1.一个因式  一个因式  零
2.(x+4)(x－4)  x+4=0  x－4=0  4  －4
3.－5(x+5)  3x－5  0  3x－5  －5  
4.一  一元一次方程
5.(x－p)(x－q)=0
6.9－(x2－2x+1)=0  32－(x－1)2=0
(3－x+1)(3+x－1)=0  4  －2
二、1.C  2.D  3.A  4.B  5.C
三、1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
四、证明：设这个一元二次方程为
ax2+(a+c)x+c=0(a≠0)
则(ax+c)(x+1)=0
∴ax+c=0或x+1=0
∴x1=－,x2=－1.

桂馥兰香

4.4用因式分解法解一元二次方程
【基础练习】
一、填空题：
1.分解因式：2x2 +5x -3 =             ；
2.用因式分解法解方程x2 -5x = 6 , 得方程的根为             ；
3.方程2(x +3)2 -5(x +3) = 0的解为           ，最简便的解法是          .
二、选择题：
1.解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（      ）；
A. 开平方法、因式分解法、公式法、配方法
B. 因式分解法、公式法、公式法、配方法
C. 配方法、因式分解法、配方法、公式法
D. 开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2.已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（      ）.
A. 3或5        B. 3或-5        C. -3或5        D. -3或-5
三、解答题：
用分解因式法解下列方程：
1.4(2x-1)2 = 9(x-2)2；            2.(2x -3)2 -2(3 -2x) = 8.



【综合练习】
用适当的方法解下列方程：
1.3(x2 -1) = (x -1)2；             2.2(1-2x)2 -1 = 0；


3.3x2 +7x +2 = 0；                4.x2 +6x -72 = 0.


【探究练习】
有一根长7.2米的木料，做成如图2-8所示的“H”形窗框，问窗框的高和宽各取多少米时，窗户的面积最大？最大面积是多少？（不考虑木料加工时的损耗和中间木料所占的面积）.





参考答案
【基础练习】一、1.(2x -1)(x +3)； 2. 6, -1； 3. -3，- , 因式分解法. 二、1. D； 2. B. 三、1.x1 = -4，x2 = ；2.x1 = - , x2 = .
【综合练习】1. -2，1； 2. ； 3. -2，- ； 4. 6，-12.
【探究练习】高1.8米, 宽1.2米, 窗户的最大面积为2.16平方米.

桂馥兰香

4.4  用因式分解法解一元二次方程  习题精选（二）
直接开平方法
1．如果（x－2）2=9，则x＝       ．
2．方程（2y－1）2－4=0的根是       ．
3．方程（x+m）2＝72有解的条件是      ．
4．方程3（4x－1）2=48的解是       ．
配方法
5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．
（1）x2－2x－3=0         ．
（2）         ．
6．下列各式是完全平方式的是（     ）
A．x2+7n=7
B．n2－4n－4
C．
D．y2－2y+2
7．用配方法解方程时，下面配方错误的是（    ）
A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0
B．t2－7t－4=0化为
C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25
D．3x2－4x－2=0化为
8．配方法解方程．
（1）x2+4x=－3   （2）2x2+x=0
因式分解法
9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（    ）
A．化为x+1=0
B．x+1＝1
C．化为（x+1）（x+l－1）＝0
D．化为x2+3x+2＝0
10．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（    ）
A．直接开方得3（x+1）=2（x－1）
B．化为一般形式13x2+5＝0
C．分解因式得[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x—1）]=0
D．直接得x+1＝0或x－l＝0
11．（1）方程x（x+2）=2（z+2）的根是       ．
（2）方程x2－2x－3=0的根是          ．
12．如果a2－5ab－14b2=0，则=           ．
公式法
13．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是         ，其中b2—4ac      ．
14．方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是      ，b2—4ac    ，用求根公式求得x1=      ，x2=      ，x1+x2=      ，      ，
15．用公式法解下列方程．
（1）（x+1）（x+3）＝6x+4．
（2）．
（3） x2－（2m+1）x+m＝0．
16．已知x2－7xy+12y2＝0（y≠0）求x：y的值．
综合题
17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．
18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．
19．利用配方求2x2－x+2的最小值．
20．x2+ax+6分解因式的结果是（x－1）（x+2），则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?
21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．
22．m是非负整数，方程m2x2－（3m2—8m）x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m
的值．
23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．
24．解方程
（1）（x2+x）·（x2+x－2）=24；
（2）
25．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．
26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?
27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（    ）
A．a=b
B．a－b=l
C．a+b=－1
D．非上述答案
28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．
29．海洲市出租车收费标准如下
里程x（km）        0＜x≤3        3＜x≤6        x＞6
单价y（元）        N               
（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?
30．方程（x－1）（x+2）（x－3）＝0的根是         ．
31．一元二次方程x2—2x＝0的解是（    ）
A．0
B．2
C．0，－2
D．0，2
32．方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．
33．方程是一元二次方程，则这方程的根是什么?
34．x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A（x1+x2，0）B（0，xl·x2）两点的直线解析式．
35．a、b、c都是实数，满足，ax2+bx+c＝0，求代数式x2+2x+1的值．
36．a、b、c满足方程组求方程的解。
37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?




参考答案：
1．x1＝5，x2＝—l
2．
3．n≥0  4．
5．（1）（x—1）2—4（2）
6．C  7．C
8．（1）方程化为（x+2）2＝l，∴x1=—l，x2＝—3．
  （2）方程化为配方得．∴
9．C    10．C
11．（1）x1＝2，x2＝—2．
    （2）x1＝3，x2＝—1．
12．∵a2—5ab—14b2＝0，
∴（a—7b）（a+2b）＝0，
∴ a＝76或a＝—26．
∴
13．
14．2x2+5x—4=0，57，,,,x1x2=—2．
15．（1）．
  （2）
  （3） ，
16．∵x2—7xy+12y2＝0，
∴（x—3y）（x—4y）＝0，
∴ x＝3y或x＝4y，
∴x：y＝3或x：y＝4．,
17．由x2—17x+66＝0得x1＝11，x2＝6．但x＝11不合题意，故取x＝6．
∴三角形周长是17．
18．∵x2+2mx+4—m2是完全平方式，∴4m2—4（4—m2）＝0．解之，．
19．，
∴2x2—x+2的最小值是。
20．x1＝l，x2＝—2
21．由题意得a2—3a+l＝0，
∴a2—3a＝—l，a2+l＝30．
∴原式=．
22．原方程可变为[mx—（2m—3）][mx— （m—5）]＝0，
    ∴若x1为整数，则为整数，
    ∴m＝l或m＝3．若x2为整数，则为整数．
    ∴m＝l或m＝5．因而m的值是l或3或5．
23． ．
∴．
∴
∴原式＜0．
  举例略．
24．（1）（x+ x）（ x2+ x—2）＝24，整理得 （x2+ x）2—2（x2 + x）—24＝0，
∴（x2+ x—6）（ x2+ x +4）．
∴x 2+ x—6＝0．x2+ x +4＝0由x2+ x—6＝0得x1＝—3，x2＝2．方程x2+ x +4＝0无解．
∴原方程的根是x＝—3或x＝2．
（2），即，解得＝3或＝2（舍去），
x1＝3，x2＝—3．∴原方程的根是x＝3或x＝—3．
25．（1）设方程只有一个根相同，设相同的根是m．
∴有m—6m—k—1＝0，①
m2—mk—7＝0，②
①—②得（k—6） m＝k—6，k≠6时，∴m＝1将，m＝l代人①得k＝—6．
（2）设方程有两个相同的根，则有—k＝—6且—k—l＝—7．∴k＝6．
∴k＝—6时，方程有一个相同的根是x＝1；k＝6时，方程有两个相同的根是x1＝7，x2＝—1．
26．设涨价x元，则售价定为（50+x）元．依题意列方程得（500—10x）[（50+x）—40]＝8 000．解之，x1＝30，x2＝10．x＝30时，50+x＝80，售量为500—300＝200．x＝10时50+x＝60，售量为500—100＝400．因而，售价定为80元时，进货200个，售价定为60元时，进货400个．
27．D
28．可给出如图所示的设计，求出x即可．由题意，可列出方程．化简得3x2—95x +375＝0，解之x1＝4.62，x2＝27.04．经检验x＝27.04不合题意，舍去，故取x＝4.62．

28题图
29．由题意，可列出方程．
解之，N2—29.1N+191＝0．
∴N1＝10，N2＝19.1（不合题意舍去）
∴起步价是10元．
30．x1＝l，x2＝—2，x3＝3  
31．D
32．k＝l，另根—3．
33．先确定m＝2，∴方程是4x2+6x+l=0．
34．通过解方程可知A（，0），B（0，—3），∴过AB的直线是y＝2x—3．
35．由题意得2—a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，
∴a＝2，b＝4，c＝—8．
∴x满足2x2+4x—8＝0，即x2+2x—4＝0．
∴x2+2x+l＝4+1＝5．
36．a、b是方程＝0的根．   
∴．∴．
∴∴a＝b＝4．
∴原方程为．方程的根是