青岛版九年级上册数学4.1 一元二次方程同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

《一元二次方程》跟踪练习
一. 选择题
  1. 如果(a－1)x2＋ax＋a2－1＝0是关于x的一元二次方程，那么必有（   ）
    A. a≠0       B. a≠1       C. a≠－1       D. a＝±－1
  2. 某种产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本 ，现在的成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x，则所得方程为（   ）
    A. 100(1＋x)2＝81          B. 100(1－x)2＝81
    C. 81 (1－x)2＝100         D. 81(1＋x)2＝100
  3. 若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（   ）
    A. 2                     B. 1                      C. 0                        D. －1
  4. 若ax2－5x＋3＝0，是一元二次方程，则不等式3a＋6>0的解集是（   ）
    A. a>－2      B. a<－2      C. a>－2且a≠0   D. a<
  5. 一元二次方程3x2－2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ）
    A. 3,2,1        B. 3,－2,1     C. 3,－2, －1      D. －3,2,1
二. 填空题：
  6. 关于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，a的取值范围是            
  7. 已知关于x的方程mx|m－2|＋2(m＋1)x－3＝0是一元二次方程，则m＝            
  8. k为何值时，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是关于x的一元二次方程？
  9. 已知，关于x的方程ax2＋bx＝5x2－4是一元二次方程，则5x2＋2x－1＝              
三. 解答题：
  10. k为何值时，(k2－1)x2＋(k＋1)x－2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？










  11. 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a、b满足等式







12. 根据题意列出方程
    （1）长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设为xm，求梯子滑动的距离。
    （2）已知，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24m2，求花园的长和宽。
    （3）有n支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛2场，联赛的总场次为132次，问共有多少支球队参加联赛？
    （4）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，求每年的增长率x是多少？


【参考答案】
  1. B                2. B                        3. D                        4. C                        5. C                        6. a≠±1
  7. 4                8. k＝±3                9. 1
  10. 解：（1）当，即k＝1时，原方程为一元一次方程，
    （2）依据题意，有k2－1≠0，∴k≠±1，即k≠±1，原方程为一元二次方程。
  11. 由题意得：a ＝2，b＝－3
    ∵ax2＋bx＋c＝0的一个根是1
    ∴a＋b＋c＝0 ∴c＝－(a＋b)＝－2＋3＝1
    ∴，解得：y1＝2，y2＝－2
  12. （1）(4－x)2＋(3＋x)2＝52；
    （2）设花园的宽为xm，x(19－2x)＝24；
    （3）n(n－1)＝132；
    （4）14400(1＋x)2＝16900

桂馥兰香

《一元二次方程》基础练习  
积累●整合
1、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（   ）
A．ax2+bx+c=0                                                B．m2x+5m+6=0
C．x3－x－1=0                                D．（k2+3）x2+2x－=0
2、一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（   ）
A．x2－5x+5=0                                                B．x2+5x－5=0
C．x2+5x+5=0                                                D．x2+5=0
3、方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（   ）
A．3                                                                B．－
C．                                                                D．－9
4、下列方程中，不含一次项的是（   ）
A．（2x－1）（1+2x）=0                                B．3x2=4x
C．2x2=7－6x                                                D．x（1－x）=0
5、若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是（   ）
A．1                                                                B．－1
C．2                                                                D．－2
6、下列说法正确的是（   ）
A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2=4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
7、关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是（   ）
A．1                                                                B．－1
C．1或－1                                                        D．
8、若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为（   ）
A．a＞－2                                                        B．a＜－2
C．a＞－                                                        D．a＞－2且a≠0
拓展●应用
9、若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=        
10、若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=        
11、写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1，            
12、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则－=            
13、关于x的方程（k2－4）x2+（k－2）x+3k－1=0，当k=      时为一元一次方程；当k      时为一元二次方程。
14、根据题意，列出方程：
（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为                             
（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为                     
探索●创新
15、学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
（2）它的二次项系数为5
（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？

16、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：
（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？
（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？





参考答案
1、答案：D   解析：A要想成为一元二次方程，需加条件a≠0，B需加条件m≠0，C是一元三次方程，D中不论k为何值，k2+3永远为正，所以D是一元二次方程，故选D
2、答案：A   解析：去括号，合并同类项即可得到答案A
3、答案：D   解析：二次项系数为3，一次项系数为－，常数项为，3×（－）×=－9
4、答案：A   解析：（2x－1）（1+2x）=4x2－1，故选A
5、答案：B   解析：将x=1代入x2+nx+m=0，得到1+n+m=0，即m+n=－1，故选B
6、答案：C   解析：A中需加上a≠0才是一元二次方程，B中的常数项为－4，D中的一元二次方程解可能为0，例如：x2=0，故选C
7、答案：B   解析：将x=0代入方程得到a2－1=0，即a=±1，因为原方程为一元二次方程，即a－1≠0，所以a≠1，所以a=－1，故选B
8、答案：D   解析：因为ax2－5x+3=0是一元二次方程，所以a≠0，3a+6＞0，即a＞－2，所以a＞－2且a≠0。故选D
9、答案：8   
解析：2+（k+8）+（－2k+3）=5，所以k=8
10、答案：－1   
解析：|m|+1=2，所以m=±1，因为m－1≠0，即m≠1，所以m=－1
11、答案：x2－x=0（答案不唯一）  
解析：发挥聪明才智，大胆想象
12、答案：－2   
解析：将x=－2代入方程，m=－3，－=－=1－m－3+m=－2
13、答案：－2，≠±2
解析：方程为一元一次方程，k2－4=0，即k=±2，且k－2≠0，即k≠2，所以k=－2
方程为一元二次方程，k2－4≠0，即k≠±2
14、答案：（1）x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）x（x－3）=20
解析：（1）个位数为x，那么十位数为6－x，根据题意得x（6－x）=［10（6－x）+x］
（2）这条边长度为x，那么这条边上的高为x－3，根据三角形的面积公式得x（x－3）=20
15、答案：这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。
16、答案：（1）当m≠n时，方程是一元二次方程
（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程
解析：本题主要考查一元二次方程及一元一次方程的定义，一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。

桂馥兰香

4.1 一元二次方程
1. 下列方程是一元二次方程的是  （    ）
A.                                 B.
C.                                                 D.
2. 一元二次方程的一般形式是 （    ）
A. ax2＋bx＋c＝0                                        B. ax2＋bx＋c(a≠0)
C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0)                                D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
3. 若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （    ）
A. p＝1                        B. p＞0                                C. p≠0                                D. p为任意实数
4. 关于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次项系数为 （    ）
A. 8a                        B. －8a                                C. 2a                        D. 7a－9
5. 若（m2－4）x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，则  （    ）
A. m≠2                        B. m≠－2        C. m≠－2，或m≠2           D. m≠－2，且m≠2
6. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为      ，二次项系数是      .
7. 已知0是关于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，则m＝      .
8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m，根据题意得方程      . （不解）
9. 若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k      .
10. 当m      时，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m      时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
11.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.
12. 如图所示，有一个面积为120m2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若所围篱笆的总长为32m，求鸡场的长和宽各为多少米. （只列方程）
                                                                 
13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？






参考答案
1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ]   
2. C   
3. C[提示：二次项系数不为0. ]   
4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次项系数为2a. 故选C. ]   
5. D[提示：二次项系数m2－4≠0. ]   
6. x2＋x－2＝0  1[提示：∵x(x＋1)＝2，∴x2＋x－2＝0. ]  
7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ]  
8. [提示：S等腰直角三角形＝两腰乘积. ]   
9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]   
10. ＝1  ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]   
11. 提示：本题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想. 解：把x＝1代入一元二次方程ax2＋bx－40＝0，得a＋b－40＝0，∴
   
12. 解：设平行于墙的边长为x m，则垂直于墙的边长为m，由题意得x·＝120，即x2－32x＋240＝0.  
13. 解：能，根据题意得x2＋3x＋2＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，即x2＋3x＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)，解得

桂馥兰香

4.1  一元二次方程
一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）
1.5x2+1=0
2.3x2++1=0
3.4x2=ax(其中a为常数)
4.2x2+3x=0
5. =2x
6. =2x
7.｜x2+2x｜=4
二、填空题
1.一元二次方程的一般形式是__________.
2.将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.
3.将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.
4.方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为_________.
5.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.
6.若ab≠0，则x2+x=0的常数项是__________.
7.如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.
8.关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.
三、选择题
1.下列方程中，不是一元二次方程的是
A.2x2+7=0    B.2x2+2x+1=0
C.5x2++4=0  D.3x2+(1+x) +1=0
2.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是
A.x2－5x+5=0                                                                B.x2+5x+5=0
C.x2+5x－5=0                                                                D.x2+5=0
3.一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是
A.7x2,2x,0                                                                B.7x2,－2x，无常数项
C.7x2,0,2x                                                                D.7x2,－2x,0
4.方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是
A.                                B.－                               
C.                        D.
5.若关于x的方程（ax+b）(d－cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac，则常数项为
A.m                B.－bd                        C.bd－m                D.－(bd－m)
6.若关于x的方程a(x－1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是
A.2                        B.－2                        C.0                                D.不等于2
7.若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则
A.a+b+c=1                                                                B.a－b+c=0
C.a+b+c=0                                                                D.a－b－c=0
8.关于x2=－2的说法，正确的是
A.由于x2≥0，故x2不可能等于－2，因此这不是一个方程
B.x2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程
C.x2=－2是一个一元二次方程
D.x2=－2是一个一元二次方程，但不能解
四、解答题
现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。




参考答案
一、1.√  2.×  3.√  4.√  5.√  6.√  7.√
二、1.ax2+bx+c=0(a≠0)
2.5x2+6x－1=0
3.x2+1=0  4.0  8
5.5x2－2x+3=0  5x2  －2x  3
6.0  7.≠1
8.≠4  =4
三、1.C  2.A  3.D  4.D  5.D  6.A  7.C  8.C
四、设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度.
若设便道及休息区宽度为x米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x］米2，依题意，可得方程：
(40－2x)(30－2x)∶2［40x+(30－2x)x］=3∶2
由此可求得x的值，即可得游泳池长与宽.
                        

桂馥兰香

4.1  一元二次方程
一、填空题
1.某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_________.
2.某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.
3.小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x，则方程为_____________.
4.已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.
5.某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.
6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，若设年利率为x，根据题意可列方程_____________.
7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.
8.方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________.
9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.
10.如图1，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为_____________，解得x=_________.
     
图1
二、选择题
11.某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（    ）
A.5(1+x)=9                           B.5(1+x)2=9
C.5(1+x)+5(1+x)2=9                   D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9
12.下列叙述正确的是（    ）
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程
B.方程4x2+3x=6不含有常数项
C.(2－x)2=0是一元二次方程
D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为0
13.两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（    ）
A.13或1                        B.－13                        C.1                        D.不能确定
14.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为（    ）
A.200(1+x)2=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000

三、解答题
15.某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？
16.如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求甬路的宽度.

图2
17.直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.










参考答案
一、1.30(1+x)2=42  2.300（1－x)2=160  3.500(1+x)2=615  4.x2－6x+5=0  5.50(1+x)2=75  6.［2000(1+x)－1000］(1+x)=1320
7.15+15(1+x)+15(1+x)2=60  8.x2－14x+21=0  1  －14  21   
9.a≠－2  10.x2－8x+7=0  1
二、11.B  12.C  13.A  14.D
三、15.20%  16.2 m  17.