青岛版九年级上册数学3.7 正多边形与圆同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

正多边形与圆
【基础巩固】
1．正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
2．正十二边形的每一个外角为_______，每一个内角是_______，该图形绕其中心至少旋转_______才能和本身重合．
3．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为_______cm．
4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_______．
5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角的度数是_______，半径是_______，边心距是_______，它的每一个内角是_______．正n边形的一个外角度数与它的_______角的度数相等．
6．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是 (    )
  A．八边形    　　B．十二边形  　　C．十边形   　　D．九边形
7．边长为a的正六边形的内切圆的半径为(    )
  A．2a 　　　　　 B．a    　　　   C．a      　 D．a
8．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接正方形的面积为 (    )
  A．2   　　　　 B．4   　　　　　C．8   　　　　　 D．16
9．如图，有一个⊙O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切(我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形)．
  (1)设T1、T2的边长分别为a、b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；
(2)求正六边形T1、T2的面积比S1：S2的值．




【拓展提优】
10．如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是(    )
  A．2 cm     B．cm      C． cm      D．1 cm
　　　　　　　　　　
11．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为 (    )
  A．40          B．50           C．60           D．80
12．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm2，则该半圆的半径为(    )
  A．(4＋)cm　　　B．9 cm   　　 C．4cm   　 D．6cm
13．将一块正五边形纸片(图①)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是_______．
      
14．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，则_______．
15．(1)如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_______．
  (2)如图②，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数．
  (3)现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？
　　



16．如图①，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个
△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．
  (1)如图②，当n＝1时，求正三角形的边长a1；
  (2)如图③，当n＝2时，求正三角形的边长a2；
  (3)如图①，求正三角形的边长an(用含n的代数式表示)．

　　　　


17．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
(1)当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？


参考答案
【基础巩固】
1．轴　n　中心　轴对称  中心对称　2．30°150°30°　3．4 　4．中心　
5．60°1 　　120°　中心　6．C 　7．C　 8．A
9．(1)1：1；　：2．　(2)3：4．
【拓展提优】
10．A  11．A  12．C  13． 72°　14．
15．(1)12　(2)图略，这个图形的边数是20  (3)图略，得到的图形的边数是30 　
16．(1)a1＝　(2)a2＝　(3)an＝
17．(1)∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB。
又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。
如图1，连接BD交AC于O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC。
∴OB=AB=1。∴OA=，AC=2OA=2。
运动ts后，AP=t，AO=t，∴。
又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.∴PQ∥BC.
(2)如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC。
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=。
由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=，
此时⊙P与边BC有一个公共点。
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。
∴当时，⊙P与边BC有2个公共点。
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即 =t
∴t=。
∴当1≤t≤时，⊙P与边BC有一个公共点。
当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点。
综上所述，当t=或1≤t≤或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当时，⊙P与边BC有2个公共点。

桂馥兰香

《正多边形与圆》同步练习
一、填空题
1.各边              ，各角                  的多边形叫正多边形.
2.正多边形一定是                        对称图形.
3.边数是                    数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
4.任何一个正多边形都有一个              和              ，这两个圆是                    .
5.边数相同的两个正n边形的周长之比是 ∶ ，则它们的面积比是                         .
二、选择题
1.下列说法中正确的是(    )
A.各边相等的圆外切多边形是正多边形；
B.任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；
C.任何一个正多边形旋转，都与原来的正多边形重合；
D.任何正n边形都相似.
2.一个正多边形的一个内角是144°，这个正多边形是(    )
A.正七边形       B.正八边形    C.正九边形    D.正十边形
3.把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是(    )
A.144°        B.180°        C.240°     D.360°
三、解答题
将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，
求证：DEFGHI是正六边形.
四、
1.如图7-41，正六边形ABCDEF的对角线BF，与对角线AC，AE交于G、H，求证：BG＝GH＝HF.

                  
图7-41
2.已知正方形ABCD的边长为1，截去四个角后成正八边形，求这正八边形的面积.




参考答案
一、1.相等；相等  2.轴  3.偶  4.外接圆；内切圆；同心圆  5.3∶2
二、1.C  2.D  3.A 
三、提示用正多边形定义证
四、1.提示：作正六边形ABCDEF的外接圆O，则 ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴∠BAG＝∠ABG＝∠HAF＝∠HFA，
∴AG＝BG，HF＝AH，又∠AGH＝∠AHG＝∠GAH，
∴AG＝AH＝GH，∴BG＝GH＝HF.
2.2-1