青岛版九年级上册数学3.1 圆的对称性同步练习题有答案

桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:49:33

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桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:50:12

3.1 圆的对称性
【知识要点】圆的轴对称性和中心对称性以及相关性质.
【能力要求】理解圆的对称性及相关性质，体会和理解研究几何图形的各种方法.
【基础练习】
一、填空题：
1. P是⊙O半径上一点，OP = 5, 经过点P的最短的弦长为24, 则⊙O的半径为       ；
2.如图3-1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, 垂足为P，若AP∶PB = 1∶4, CD = 8, 则AB 的长为=          ；

3.如图3-2，⊙O的半径为25cm，弦AB = 48cm, OD⊥AB于C交⊙O于D, 则AD =       .



二、选择题：
1. 下列命题中，假命题是（）
A. 平分弧的直径必平分这条弧所对的弦
B. 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧
2. “圆材埋壁”是我国著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋于壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代的数学语言表达是：“如图3-3，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE = 1寸，AB = 1尺，求直径的长”. 依题意，CD长为（）

A. 寸       B. 13寸       C. 25寸       D. 26寸
三、解答题：
1. 已知：如图3-4，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB = 10 cm, PA = 4 cm, OP = 5 cm, 求⊙O的半径.

2. 已知：如图3-5，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，AB、OC相交于点P，试判断：四边形OACB是何种特殊的四边形.


参考答案
一、1. 13； 2. 10； 3. 30.
二、1. C； 2. D.
三、1. 7 cm.  2. 略.

桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:50:20

3.1 圆的对称性
一、填空题
1. 圆是轴对称图形，它有    条对称轴，圆又是    对称图形，圆心是它的          ；
2. 如图3-6，在⊙O中，如果= ，那么AB =    ，∠AOB =∠    ，若OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，则OE    OF；

3. 已知：⊙O的弦AB = 24 cm，OC⊥AB，垂足为C. 若OC = 4cm，则⊙O直径长为       cm.
二、选择题
1. 已知：、是⊙O的两条劣弧，且= 2，则弦AB与CD之间的关系为（    ）
A. AB = 2CD
B. AB < 2CD
C. AB > 2CD
D. 不能确定
2. 下列说法中，正确的是（    ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 相等的弦所对的弧相等
三、解答题
1. 已知：如图3-7，⊙O中，= = ，OB、OC分别交AC、BD于点E、F. 试比较∠OEF与∠OFE的大小，并证明你的结论.

2. 如图3-8，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO =∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？


3. 如图 3-9，已知：⊙O的两弦AB、CD相交于点P，如果AB = CD，那么OP与AC互相垂直吗？为什么？


参考答案
一、填空题
1. 无数，中心，对称中心；
2. CD，COD，= ；
3. 16cm.
二、选择题
1. B； 2. C.
三、解答题
1. 提示：证OE = OF.
2. 提示：过O分别作PA、PD的垂线.
3. 提示：设法证PA = PC及OP平分∠APC.

桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:50:27

3.1 圆的对称性
一. 选择题
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（    ）
A          B.1          C.                D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（    ）

A.2               B.3
C. 4               D. 5

3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（    ）

A.                     B.
C.                      D.
4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦AB＝2，则弓形的高CD为（    ）

A.          B.         C. 1               D.
5. 下列命题中正确的是（    ）
A. 圆只有一条对称轴              B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于弦的直径平分这条弦       D. 相等的圆心角所对的弧相等
6. 如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（    ）

A. AB＞CD                          B. AB＝CD
C. AB＜CD                          D. 不能确定

二. 填空题
7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm。
8. 已知⊙O的直径为10cm，点A在圆上，则OA＝___________cm。
9. 如图，∠A＝30°，则B＝___________。

10. 过⊙O内一点M的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为___________。
11. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为___________。
12. ⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，则CD＝___________。

三. 解答题
13. 如图，⊙O的直径为4cm，弦AB的长为，你能求出∠OAB的度数吗？写出你的计算过程。

14. 已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC。
求证：

15. 如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则：
（1）OE与OF有什么关系？为什么？
（2）与相等吗？为什么？

16. 如图，⊙O上有三点A、B、C且AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，求⊙O的半径。

17. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF
（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。

参考答案
一. 选择题
1. B            2. A              3. D
4. A            5. C               6. B
二. 填空题
7. 4    8. 5
9. 75°    10.
11. 2cm或14cm
12. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题
13. 解：过点O作OC⊥AB于C，则
又

∴∠OAB＝30

14. 证明：连接BC

∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC＝AC
∴∠CAB＝∠CBA
又EA＝EC
∴∠CAB＝∠ECA
∴∠CBA＝∠ECA
∴△AEC∽△ACB

即
15. 解：（1）OE＝OF
证明：过O点作OP⊥AB于P

则AP＝BP
∵AE＝BF，∴EP＝FP
∴OE＝OF
（2）
证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA
又AE＝BF，∴△AOE≌△BOF
∴∠AOE＝∠BOF

16. 解：连接OA

∵AB＝AC，
∴OA⊥BC于D
又∠BAC＝120°
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°

设⊙O的半径为r，则
∴r＝6
17. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
则G为CD的中点
又EC⊥CD，FD⊥CD
∴EC∥OG∥FD
∴O为EF的中点，即OE＝OF
又AB为⊙O的直径
∴OA＝OB
∴AE＝BF（等式性质）

（2）解：四边形CDFE面积是定值
证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变
∴CE∥DF不变
∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
∴S＝OG·CD
连OC，由勾股定理有：

又CD＝9cm
是定值。

桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:50:35

3.1 圆的对称性
一、填空题:
1.圆既是轴对称图形,又是_________对称图形,它的对称轴是_______, 对称中心是____.
2.已知⊙O的半径为R,弦AB的长也是R,则∠AOB的度数是_________.
3.圆的一条弦把圆分为5∶1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
4.已知⊙O中,OC⊥弦AB于C,AB=8,OC=3,则⊙O的半径长等于________.
5.如图1,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____.

   （1）             （2）                         （3）
6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.
7.如图3,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则与弧长的大小关系是_________.
8.如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.

   （4）             （5）                （6）          （7）
二、选择题:
9.如图5,在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为（）
  A.60° B.90° C.120°    D.150°
10.如图6,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有（）
  A.2个    B.3个    C.4个    D.5个
11.如图7,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有（）
  A.0条    B.1条    C.2条    D.4条
三、解答题:
12.如图,AB是⊙O的弦（非直径）,C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.

13.如图,⊙O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB∶MA=1∶4, 求工件半径的长.

14.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.

15.如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=DPB,,试比较线段PC、PD的大小关系.

16.半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?

17.在半径为5cm的⊙O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在⊙O上滑动（滑动过程中AB的长度不变）,请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.

18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.

参考答案
1.中心  过圆心的任一条直线  圆心  2.60°  3.2cm  4.5  5.3≤OP≤5 6.10
7.相等  8.  9.C  10.B  11.A
12.过O作OM⊥AB于M,则AM=BM.又AC=BD,故AM-AC=BM-BD,即CM=DM,又OM⊥CD, 故△OCD是等腰三角形.即OC=OD.（还可连接OA、OB.证明△AOC≌△BOD）.
13.过O作OC⊥AB于C,则BC=cm.由BM:AM=1:4,得BM=×5=3 ,故CM=-3=4.5 .
在Rt△OCM中, OC2=.连接OA,
则OA=,即工件的半径长为10cm.
14.是菱形,理由如下:由,得∠BOC=∠AOC.
故OM⊥AB,从而AM=BM.
在Rt △AOM中,sin∠AOM=,
故∠AOM=60°,
所以∠BOM=60°.由于OA=OB=OC,
故△BOC 与△AOC都是等边三角形,
故OA=AC=BC=BO=OC,
所以四边形OACB是菱形.
15.PC=PD.连接OC、OD,则∵,∴∠BOC=∠BOD,
又OP=OP,∴△OPC≌△OPD,∴PC=PD.
16.可求出长为6cm的弦的弦心距为4cm,长为8cm的弦的弦心距为3cm.
若点O 在两平行弦之间,则它们的距离为4+3=7cm,
若点O在两平行弦的外部,则它们的距离为4- 3=1cm,
即这两条弦之间的距离为7cm或1cm.
17.可求得OC=4cm,故点C在以O为圆心,4cm长为半径的圆上,即点C 经过的路线是O为圆心,4cm长为半径的圆.
18.作点B关于直线MN的对称点B′,则B′必在⊙O上,且.
由已知得∠AON=60°,
故∠B′ON=∠BON= ∠AON=30°,∠AOB′=90°
连接AB′交MN于点P′,则P′即为所求的点.
此时AP′+BP′=AP′+P′B′=,
即AP+BP的最小值为.

桂馥兰香 · 发表于 2020-8-29 13:50:41

3.1 圆的对称性
◆随堂检测
1. 下列说法中，不成立的是 ( )
A．弦的垂直平分线必过圆心
B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦
C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧
D．垂直于弦的直径平分这条弦
2. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，则图中不大于半圆的相等的弧有( )
A．1对    B．2对    C．3对    D．4对
3. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为( )
A．2          B． 3          C．4          D． 5

4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若AP：PB=1：4，CD=8，则AB=_________．

5．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．

◆典例分析
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．
∵OE⊥AB，∴AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，

∵⊙O的半径为5cm．
点评：从例中可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．
◆课下作业
●拓展提高
1．下列四个命题中，叙述正确的是( )
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D．平分一条弦的直线必经过这个圆的圆心
2．如图，⊙O的半径为4 cm，点C是的中点，半径OC交弦AB于点D，OD=cm，则弦AB的长为( )
A．2 cm    B．3 cm
C．2cm    D．4 cm

3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，那么下列结论错误的是( )

A．CE=DE             B．
C．∠BAC=∠BAD       D．AC>AD为2

4．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约cm的小坑，则该铅球的直径约为( )
A．10 cm    B．14.5 cm C． 19.5 cm D．20 cm
5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于C，则OC的长等于_______．

6．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1 cm，EB=5 cm，∠DEB=60o，求CD的长．

7．已知：如图，∠PAC=30o，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．

●体验中考
1．(娄底中考)如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是( )
A．AD=BD    B．∠ACB=∠AOE
C．    D．OD=DE

2．(恩施市中考)如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是( )
A．    B．
C．    D．

3．(甘肃庆阳中考)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( )
A．2 B．3 C．4 D．5

4．(广西梧州中考)某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m．


参考答案
◆随堂检测
1、C 2、B
3、A(提示：连接OC，利用勾股定理求解)
4、10(提示：连接OC，设AP=k，BP=4k，则半径为2.5k，OP=1.5k，由垂径定理知CP=4，有勾股定理知k=2，AB=5k=10)
5、100(提示:垂径定理得AC=AD)
◆课下作业
●拓展提高
1、C
2、D(提示：连接OA，由勾股定理知AD=2，则AB=4)
3、D(提示：垂径定理)
4、8(提示：过O点做OD垂直AB于D，连接OA，有OD=3，OA=5，AD=4，所以AB=8)
5、3(提示：连接OA)
6、
7、
●体验中考
1、D    2、A
3、A(提示：)
4、4(提示：)

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