青岛版八年级上册数学5.5 三角形内角和定理同步练习题有答案

桂馥兰香

5.5  三角形内角和定理（2）
1、已知∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角.（如图）
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.

2、已知，如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，
∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：（1）∠BDC的高度；
（2）∠BFD的度数.

3、已知，如图，BE、CE分别是△ABC的内角、外角的平分线，若∠A=40°.
求∠E的度数.








参考答案
1、证明：∵∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角.（已知）
∴∠BAF=∠2+∠3.
∠CBD=∠1+∠2
∠ACE=∠1+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的性质）
∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形的内角和定理）
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°（等量代换）
2、解：∵∠BDC=∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A=62°  ∠ACD=35°
∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换）
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理）
∴∠BFD=180°－∠BDC－∠ABE（等式的性质）
∵∠BDC=97°  ∠ABE=20°（已知）
∴∠BFD=180°－97°－20°=63°（等量代换）
3、解：∵∠ECD是△BCE的外角（已知）
∴∠ECD=∠EBC+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD（已知）
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD（角平分线的定义）
∴∠ACD=∠ABC+∠E（等量代换）
∴∠ACD=∠ABC+2∠E（等式的性质）
又∵∠ACD是△ABC的外角（已知）
∴∠ACD=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠A+∠ABC=∠ABC+2∠E（等量代换）
∴∠A=2∠E（等式的性质）
∴∠E=∠A=×40°=20°（等式的性质）

桂馥兰香

5.5 三角形内角和定理
一、选择题:
1．如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=，则∠A等于（  ）
A．90°-2     B．90°-     C．180°-2     D．180°-
      
        图1              图2             图3                图4
2．三角形三个内角之比为1：2：3，则该三角形三个外角之比为（  ）
    A．5：4：3     B．3：2：1     C．1：2：3     D．2：3：4
3．已知三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（  ）
    A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形  D．以上均有可能
4．等腰三角形的一个外角为110°，它的底角为（  ）
    A．55°     B．70°     C．55°或70°    D．以上均有可能
5．如图2，射线BA，CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B=40°，那么x的值是（ ）
    A．40     B．60       C．80       D．100
二、填空题:
6．如果三角形三个外角度数之比为4：2：3，则这个三角形的各外角度数分别为______．
7．如果一个三角形的一个外角与它的一个内角相等，这个三角形只能是_____．
8．如图3所示，一个顶角为40°的等腰三角形的纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______．
9．如图4所示，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=________.
三、解答题:
10．已知：如图所示，P是△ABC内一点，求证：∠BPC>∠BAC．


11．如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，AB>AC，求证：∠ACD>∠ABC．



12．一个等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260°，求这个等腰三角形的各内角的度数．







参考答案
一、1．C  点拨：因为BO平分△ABC的一个外角，
所以可知∠3=（∠A+∠2），
同理∠4=（∠1+∠A）．
又因为∠3+∠4+∠BOC=180°，
即（∠A+∠2）+（∠1+∠A）+=180°，
同时∠1+∠2+∠A=180°，即可求得∠A的度数．
2．A  点拨：因为三角形三个内角之比为1：2：3，
所以可根据三角形内角和定理求得三个内角分别为30°，60°，90°，
即与它们相邻的外角分别为150°，120°，90°，
即可求得对应的外角比．
3．C  点拨：三角形的外角与其相邻的内角互补，由于这个外角小于与它相邻的内角，所以相邻的内角必是钝角，此三角形必为钝角三角形．
4．C
5．C  点拨：因为AB=AC，所以∠B=∠C，
所以x°=40°+40°=80°，所以x=80°．
二、6．160°，80°，120°  
点拨：三角形的外角和等于360°，可设外角度数分别为4x°，2x°，3x°，
故可求得各外角度数．
7．直角三角形  点拨：因为外角大于任何一个与它不相邻的内角，故外角只能是与和它相邻的内角相等，而两角之和为180°，故外角及其相邻的内角均为90°．
8．220°  点拨：本题的结构较简单，可利用三角形的外角与内角的等量关系转化．
∠1=∠5+∠4，∠2=∠3+∠5，
所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠5=180°+40°=220°；
也可利用四边形内角和为360°来解这道题．
9．23  点拨：此题是三角形角的有关计算，因为AB=AD．
所以∠ADB=（180°-88°）×=46°．
又因为AD=CD，故∠C=∠ADB=23°．
三、10．证明：连接AP并延长交BC于E．
因为∠BPE是△BAP的一个外角，所以∠BPE>∠BAE．
又因为∠CPE是△CAP的一个外角，所以∠CPE>∠CAE．
所以∠BPE+∠CPE>∠ABE+∠CAE．即∠BPC>∠BAC．
    点拨：本题也可延长BP，交AC于一点，利用“三角形的外角大于与它不相邻的任一内角”来证明．
11．解：因为AB>AC，所以延长CD交AB于点E，如图所示．

因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠CAD．因为AD⊥CD，
所以∠ADE=∠ADC=90°，所以∠AED+∠EAD=∠CAD+∠ACD=90°，
所以∠AED=∠ACD，又因为∠AED是△BEC的一个外角．
所以∠AED>∠ABC，所以∠ACD>∠ABC．
12．解：因为等腰三角形各内角度数和为180°，
所以该等腰三角形顶角的一个外角为80°，
所以等腰三角形的顶角为100°，
所以等腰三角形的底角为40°，40°．

桂馥兰香

5.5 三角形内角和定理
一、七彩题:
1．（一题多解）如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．



2．（巧题妙解题）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°就断定零件不合格．请你运用三角形有关知识说明零件不合格的原因．


二、知识交叉题:
3．（科内交叉题）如图所示，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，
∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°，求∠BDC和∠BFD的度数．


4．（科内交叉题）如图，已知BE，CE分别是△ABC的内角∠ABC，外角∠ACD的平分线，若∠A=50°，你能求出∠E吗？若∠A=，则∠E是多少？


三、实际应用题
5．在足球比赛中，球员越接近球门，射门角度（射球点与球门两边A，B间的夹角）就越大，如图所示，你如何证明．

四、经典题
6．如图所示，∠1大于∠2的是（  ）


7．如图所示，AB∥CD，∠1=110°，∠ECD=70°，∠E的大小是（  ）








A．30°    B．40°     C．50°    D．60°
五、探究学习:
1．（旋转变换题）如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
   （1）三角尺旋转了多少度？
   （2）连接CD，试判断△CBD的形状；
（3）求∠BDC的度数；






2．（阅读理解题）关于三角形内角和定理的证明，小马和小虎又各自找到了一种“创新”证法．如图1，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
  
                            图1                图2                  图3
    小马的证法：如图2，延长BC到点D，则∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．因为∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），所以∠A+∠B+∠ACB=180°．
    小虎的证法：如图3，过点A作AD⊥BC于点D，则∠1+∠B=90°，∠2+∠C=90°（直角三角形的两锐角互余），所以（∠1+∠2）+∠B+∠C=180°，即∠BAC+∠B+∠C=180°．
你认为他们的证法对吗？说说你的看法，请给出一种你认为比较简单且正确的证法．






3.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD，求证：AB>AC．



                                         参考答案
一、1．解法一：如图1，延长ED交BC于点F，
因为AB∥DE，所以∠BFE=∠B=80°（两直线平行，内错角相等），
所以∠DFC=100°，
所以∠BCD=∠CDE-∠DFC=140°-100°=40°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）．

                              图1                          图2
解法二：如图2，过点C作CF∥DE，
所以∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为AB∥DE，所以AB∥CF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以∠BCF=∠ABC=80°（两直线平行，内错角相等），
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°．
2．解：如答图，延长CD交AB于E．因为∠C=21°，∠A=90°，
所以∠BED=∠A+∠C=90°+21°=111°．
又因为∠CDB=∠B+∠BED，∠B=32°．
所以∠CDB=32°+111°=143°≠148°，
故零件不合格．
                       

    点拨：本题的巧妙之处在于通过作辅助线，两次利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和”，迅速求出∠CDB的值，然后与148°相比较，得出零件不合格．
三、3．解：因为∠BDC是△ADC的一个外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD．
又因为∠A=62°，∠ACD=35°，所以∠BDC=∠A+∠ACD=62°+32°=97°．
在△BDF中，∠ABE=20°，∠BDC=97°．
所以∠BFD=180°-20°-97°=63°．
4．解：因为∠ECD是△BCE的外角，所以∠ECD=∠EBC+∠E．
因为BE，CE分别平行∠ABC，∠ACD，所以∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD．
所以∠ACD=∠ABC+∠E，所以∠ACO=∠ABC+2∠E．
又因为∠ACD是△ABC的外角．所以∠ACD=∠A+∠ABC．
所以∠A+∠ABC=∠ABC+2∠E．所以∠A=2∠E，
所以∠E=∠A=×50°=25°，若∠A=，则∠E=．
三、5．证明：如图，延长AD交BC于E，
因为∠BEA>∠C，∠ADB>∠BEA，所以∠ADB>∠C．

四、6．C
7．B  点拨：因为AB∥CD，所以∠EDF=∠1=∠110°，
因为∠ECD=70°，所以∠EDF=∠ECD+∠E，110°=70°+∠E，所以∠E=40°．
五、 探究学习
1．解：（1）三角板旋转的度数为180°-30°=150°．
    （2）因为CB=BD，所以△CBD为等腰三角形，
    （3）因为∠DBE为△CBD的外角，所以∠DBE=∠BCD+∠BDC，又因为△CBD为等腰三角形，所以∠BCD=∠BDC．所以2∠BDC=∠DBE=30°，所以∠BDC=15°．
    点拨：这是一类动手操作题．在操作过程中要注意发现规律，要有把现实模型抽象为数学问题，从而进一步解决问题的能力．
2．解：他们两人的证法都不对，因为小马所使用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与小虎所用“直角三角形的两锐角互余”都是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能逆过来证明三角形的内角和定理，这是犯了“循环证明”的错误．
证明：如图，过点A作DE∥BC，因为DE∥BC，所以∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
又因为点D，A，E在同一条直线上，所以∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，
所以∠BAC+∠B+∠C=180°，即三角形的内角和是180°．

    点拨：一定要清楚三角形内角和定理及其两个推论之间的关系，不要乱用定理．
3.证明：如图所示，在BD上找一点E，使DE=DC．
因为AD⊥BC，
所以在△ADE与△ADC中，
所以△ADE≌△ADC，所以∠C=∠AED．
又因为∠AED是△ABE的一个外角，
所以∠AED>∠B，所以∠C>∠B，
所以AB>AC．