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5．4 应用二元一次方程组——增收节支
1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；(重点)
2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．
一、情境导入
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是________万元；
(2)若该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；
(3)若该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程________________．
二、合作探究
探究点一：列二元一次方程组解决百分数、小数(增收节支)问题
【类型一】 列二元一次方程组解决增长率问题
为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则x＋y＝5000，20%x＋30%y＝1160.解得x＝3400，y＝1600.20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”．
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决与增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原来的量)÷原来的量．
【类型二】 列二元一次方程组解决利润问题
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？
解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．其中甲商品的售价＝甲商品的进价×(1＋50%)×80%，乙商品的售价＝乙商品的进价×(1＋40%)×85%，利润＝售价－进价．
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得
x＋y＋88＝538，x（1＋50%）×80%＋y（1＋40%）×85%＝538.
化简，得x＋y＝450，1.2x＋1.19y＝538.解得x＝250，y＝200.
答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．
方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．
探究点二：列方程组解决方案问题
某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；
(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
解析：根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．
解：(1)①若购甲、乙两种型号：设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．根据题意，得x1＋y1＝40，1200x1＋400y1＝40000.
解得x1＝30，y1＝10.所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．
②若购甲、丙两种型号：设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．
根据题意，得x2＋y2＝40，1200x2＋800y2＝40000.
解得x2＝20，y2＝20.
所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．
③若购乙、丙两种型号：设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．
根据题意，得x3＋y3＝40，400x3＋800y3＝40000.
解得x3＝－20，y3＝60.
因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．
综上所述，商场共有两种进货方案．
方案1：购甲型号手机30部，乙型号手机10部；
方案2：购甲型号手机20部，丙型号手机20部．
(2)方案1获利：120×30＋80×10＝4400(元)；
方案2获利：120×20＋120×20＝4800(元)．
所以，第二种进货方案获利最多．
方法总结：仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系的两边时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．
三、板书设计
增收节支问题
分析解决列二元一次方程,组解决实际问题)增长率问题利润问题利用图表分析等量关系方案选择
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们的节约和有效合理利用资源的意识．
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发表于 2020-7-30 19:08:02
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