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1.2 一定是直角三角形吗
1.掌握勾股定理的逆定理,并能进行简单应用;(难点)
2.理解勾股数的定义,探索常用勾股数的规律.(重点)
一、情境导入
1.直角三角形中,三边长度之间满足什么样的关系?
2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是否就是直角三角形呢?
二、合作探究
探究点一:勾股定理的逆定理
【类型一】 判断三角形的形状
判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形.
(1)在△ABC中,∠A=20°,∠B=70°;
(2)在△ABC中,AC=7,AB=24,BC=25;
(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a+b)(a-b)=c2.
解析:(1)已知两角可以求出另外一个角;(2)使用勾股定理的逆定理验证;(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.
解:(1)在△ABC中,∵∠A=20°,∠B=70°,∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形;
(2)∵AC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625,∴AC2+AB2=BC2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形;
(3)∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,即a2=b2+c2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.
方法总结:在运用勾股定理的逆定理时,要特别注意找到最大边,定理描述的最大边的平方等于另外两边的平方和.
【类型二】 判断线段之间的位置关系
在正方形ABCD中,F是CD的中点,E为BC上一点,且CE=14CB,试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.
解析:观察图形并加以合理的推测,不难发现AF⊥EF.
解:AF⊥EF.设正方形的边长为4a, 则EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.在Rt△CEF中,由勾股定理得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.在Rt△ADF中,由勾股定理得AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.在△AEF中,AE2=EF2+AF2,∴△AEF为直角三角形,且AE为斜边.∴∠AFE=90°,即AF⊥EF.
方法总结:利用三角形三边的数量关系来判定直角三角形,从而推出两线的垂直关系.
探究点二:勾股数
下列几组数中是勾股数的是________(填序号).
①32,42,52;②9,40,41;③13,14,15;④0.9,1.2,1.5.
解析:第①组不符合勾股数的定义,不是勾股数;第③④组不是正整数,不是勾股数;只有第②组的9,40,41是勾股数.故填②.
方法总结:判断勾股数的方法:必须满足两个条件:一要符合等式a2+b2=c2;二要都是正整数.
三、板书设计
勾股定理的逆定理: 如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力、归纳能力.体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.
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