浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷（含答案解析）Word免费下载

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浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．（3分）（﹣2）2＝（　　）
A．         B．         C．4        D．﹣4
2．（3分）五一小长假，杭州市公园、景区共接待游客总量617.57万人次，用科学记数法表示617.57万的结果是（　　）
A．6.1757×105        B．6.1757×106       
C．0.61757×106        D．0.61757×107
3．（3分）四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（　　）
A．         B．         C．         D．1
4．（3分）下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（　　）
年龄        13        14        15        16
频数        5        7        13        ■
A．中位数是14        B．中位数可能是14.5       
C．中位数是15或15.5        D．中位数可能是16
5．（3分）当x＝1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7        B．3        C．1        D．﹣7
6．（3分）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　）
A．20＝2（26﹣x）        B．20+x＝2×26       
C．2（20+x）＝26﹣x        D．20+x＝2（26﹣x）
7．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝2，AD＝BC＝4，则 的值应该（　　）

A．等于         B．大于         C．小于         D．不能确定
8．（3分）方程  ＝0的解的个数为（　　）
A．0个        B．1个        C．2个        D．3个
9．（3分）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A．t＞﹣5        B．﹣5＜t＜3        C．3＜t≤4        D．﹣5＜t≤4
10．（3分）如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝ MF．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个        B．4个        C．3个        D．2个
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（4分）分解因式：a3﹣16a＝　   　．
12．（4分）已知2x（x+1）＝x+1，则x＝　   　．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　   　．
14．（4分）已知一块直角三角形钢板的两条直角边分别为30cm、40cm，能从这块钢板上截得的最大圆的半径为　   　．
15．（4分）如图，点A是双曲线y＝﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ 上运动，则k的值为　   　．

16．（4分）如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2 ，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED＝ ；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是　   　．（把你认为正确结论的序号都填上）

三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程（每位学生只选修其中一门，所有学生都有一门选修课程），学校摸底调査了初三学生的选课意向，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，问该校初三年级共有多少学生？其中要选修B、C课程的各有多少学生？

18．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝1，求点P的坐标．
19．（8分）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．

20．（10分）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y＝ 对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是　   　；
（2）求反比例函数y＝ 的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．

21．（10分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 ＝ ．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

22．（12分）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣2，b＝﹣4时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，Q（m，t）为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P也落在该函数图象上，求m的值．
（3）当该函数图象经过点（1，0）时，若A（ ，y1），B（ ，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
23．（12分）已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE＝2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE＝2CE”改为“ ＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．



浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一.仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.
1．（3分）（﹣2）2＝（　　）
A．         B．         C．4        D．﹣4
【分析】原式利用乘方的意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
2．（3分）五一小长假，杭州市公园、景区共接待游客总量617.57万人次，用科学记数法表示617.57万的结果是（　　）
A．6.1757×105        B．6.1757×106       
C．0.61757×106        D．0.61757×107
【分析】颗学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：617.57万＝6.1757×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）四张分别画有平行四边形、等腰直角三角形、正五边形、圆的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任取一张，卡片上所画图形恰好是中心对称图形的概率是（　　）
A．         B．         C．         D．1
【分析】先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可．
【解答】解：∵四张卡片中中心对称图形有平行四边形、圆，共2个，
∴卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为 ＝ ，
故选：B．
【点评】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ，关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数．
4．（3分）下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（　　）
年龄        13        14        15        16
频数        5        7        13        ■
A．中位数是14        B．中位数可能是14.5       
C．中位数是15或15.5        D．中位数可能是16
【分析】根据列表，由中位数的概念计算即可．
【解答】解：5+7+13＝25，
由列表可知，人数大于25人，
则中位数是15或（15+16）÷2＝15.5或16．
故选：D．
【点评】本题考查的是列表和中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息、掌握中位数的概念是解决问题的关键．
5．（3分）当x＝1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）
A．7        B．3        C．1        D．﹣7
【分析】将x＝1代入原式可求得m＝5，然后将x＝﹣1，m＝5代入原式即可求得代数式的值．
【解答】解：将x＝1代入得：1+1+m＝7
解得：m＝5
将x＝﹣1代入得：原式＝﹣1﹣1+m＝﹣1﹣1+5＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是代数式求值，求得m的值是解题的关键．
6．（3分）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（　　）
A．20＝2（26﹣x）        B．20+x＝2×26       
C．2（20+x）＝26﹣x        D．20+x＝2（26﹣x）
【分析】设抽调x人，则调后一组有（20+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．
【解答】解：设抽调x人，由题意得：
20+x＝2（26﹣x），
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
7．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝2，AD＝BC＝4，则 的值应该（　　）

A．等于         B．大于         C．小于         D．不能确定
【分析】作AH∥n分别交b、c于G、H，如图，易得HF＝GE＝AD＝4，利用平行线分线段成比例得到 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ + ，于是可判断 ＞ ．
【解答】解：作AH∥n分别交b、c于G、H，如图，
易得四边形AGED、四边形AHFD为平行四边形，
∴HF＝GE＝AD＝4，
∵直线a∥b∥c，
∴ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ + ，
∴ ＞ ．
故选：B．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．（3分）方程  ＝0的解的个数为（　　）
A．0个        B．1个        C．2个        D．3个
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x﹣3）2（x+1）+（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）[（x﹣3）（x+1）+1]＝0，
可得x﹣3＝0或x2﹣2x﹣2＝0，
解得：x＝3或x＝1± ，
经检验x＝3与x＝1± 都为分式方程的解，
则分式方程的解的个数为3个，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，求出分式方程的解是解本题的关键．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A．t＞﹣5        B．﹣5＜t＜3        C．3＜t≤4        D．﹣5＜t≤4
【分析】如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，

当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
10．（3分）如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝ MF．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个        B．4个        C．3个        D．2个
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得 ＝ ＝ ＝2，然后求出MD＝2AM＝4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝ MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO＝90°，从而判断出③正确．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝ BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；

∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；

∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴ ＝ ＝ ＝2，
∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ＝ a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AM＝ a，
∴MF＝AF﹣AM＝ a﹣ a＝ a，
∴AM＝ MF，故⑤正确；

如图，过点M作MN⊥AB于N，
则 ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得MN＝ a，AN＝ a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣ a＝ a，
根据勾股定理，BM＝ ＝ ＝ a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a﹣ a＝ a，MK＝ a﹣a＝ a，
在Rt△MKO中，MO＝ ＝ ＝ a，
根据正方形的性质，BO＝2a× ＝ a，
∵BM2+MO2＝（ a）2+（ a）2＝2a2，
BO2＝（ a）2＝2a2，
∴BM2+MO2＝BO2，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
二.认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．（4分）分解因式：a3﹣16a＝　a（a+4）（a﹣4）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a3﹣16a，
＝a（a2﹣16），
＝a（a+4）（a﹣4）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解．
12．（4分）已知2x（x+1）＝x+1，则x＝　﹣1或 　．
【分析】先移项得到2x（x+1）﹣（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（2x﹣1）＝0，
x+1＝0或2x﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝ ，
故答案为﹣1或 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　 　．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
，
一共12种可能，两次都摸到红球的有6种情况，
故两次都摸到红球的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
14．（4分）已知一块直角三角形钢板的两条直角边分别为30cm、40cm，能从这块钢板上截得的最大圆的半径为　10cm　．
【分析】利用直角三角形内切圆半径求法得出其内切圆半径．
【解答】解：∵有一块直角三角形的钢板，其两条直角边分别为30cm和40cm，
∴斜边为：50cm，
∴直角三角形的内切圆半径为： （cm），
故答案为：10cm．
【点评】此题主要考查了三角形内切圆半径求法，利用直角三角形内切圆半径求法得出其内切圆半径是解题关键．
15．（4分）如图，点A是双曲线y＝﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ 上运动，则k的值为　3　．

【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，求出k的值．
【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴ ＝ ＝ ＝tan60°＝ ，
∴ ＝（ ）2＝3，
∵点A是双曲线y＝﹣ 在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝ ×|xy|＝ ，
∴S△EOC＝ ，即 ×OE×CE＝ ，
∴k＝OE×CE＝3，
故答案为：3．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．
16．（4分）如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2 ，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED＝ ；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是　①②③④　．（把你认为正确结论的序号都填上）

【分析】①延长CO交⊙O于点G，如图1．在Rt△BGC中，运用三角函数就可解决问题；②只需证到△BEF≌△CEA即可；③易证△AEC∽△ADB，则 ＝ ，从而可证到△AED∽△ACB，则有 ＝ ．由∠A＝60°可得到 ＝ ，进而可得到ED＝ ；④取BC中点H，连接EH、DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH＝DH＝ BC，所以线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
【解答】解：①延长CO交⊙O于点G，如图1．
则有∠BGC＝∠BAC．
∵CG为⊙O的直径，∴∠CBG＝90°．
∴sin∠BGC＝ ＝ ＝ ．
∴∠BGC＝60°．
∴∠BAC＝60°．
故①正确．
②如图2，
∵∠ABC＝45°，CE⊥AB，即∠BEC＝90°，
∴∠ECB＝45°＝∠EBC．
∴EB＝EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°．
∴∠EBF+∠EFB＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°．
∵∠EFB＝∠DFC，∴∠EBF＝∠DCF．
在△BEF和△CEA中，
．
∴△BEF≌△CEA．
∴AE＝EF．
故②正确．
③如图2，
∵∠AEC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴ ＝ ．
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴ ＝ ．
∵cosA＝ ＝cos60°＝ ，
∴ ＝ ．
∴ED＝ BC＝ ．
故③正确．
④取BC中点H，连接EH、DH，如图3、图4．
∵∠BEC＝∠CDB＝90°，点H为BC的中点，
∴EH＝DH＝ BC．
∴点H在线段DE的垂直平分线上，
即线段ED的垂直平分线平分弦BC．
故④正确．
故答案为：①②③④．




【点评】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等知识，综合性比较强，是一道好题．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（6分）某校实验课程改革，初三年级设罝了A，B，C，D四门不同的拓展性课程（每位学生只选修其中一门，所有学生都有一门选修课程），学校摸底调査了初三学生的选课意向，并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，问该校初三年级共有多少学生？其中要选修B、C课程的各有多少学生？

【分析】利用条形统计图和扇形统计图得到选修A的学生数和它所占的百分比，则利用它们可计算出该校初三年级共有的学生人数，然后用总人数分别减去选修A、C、D的人数即可得到选修B的人数．
【解答】解：180÷45%＝400（人），
所以该校初三年级共有400名学生，
要选修C的学生数为400×12%＝48人；要选修B的学生数为400﹣180﹣48﹣72＝100（人）．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．
18．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．
（1）当﹣2≤x≤2时，求y的取值范围．
（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝1，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，然后利用一次函数增减性得出即可．
（2）根据题意得出n＝1﹣m，联立方程，解方程即可求得．
【解答】解：将（1，0），（0，2）代入y＝x2+bx+c得： ，
解得： ，
∴这个函数的解析式为：y＝x2﹣3x+2＝（x﹣ ）2﹣ ；
把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x+2得，y＝12，
∴y的取值范围是﹣ ≤y≤12．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n＝m2﹣3m+2，
∵m+n＝1，
∴m2﹣2m+1＝0，
解得m＝1，n＝0，
∴点P的坐标为（1，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
19．（8分）已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．

【分析】（1）在△ABD与△CBA中，有∠B＝∠B，根据已知边的条件，只需证明夹此角的两边对应成比例即可；
（2）由（1）知△ABD∽△CBA，又DE∥AB，易证△CDE∽△CBA，则：△ABD∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，
∴ ＝ ＝ ，
＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA；

（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴△ABD∽△CDE，
∴DE＝1.5．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
20．（10分）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y＝ 对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：
（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是　20　；
（2）求反比例函数y＝ 的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．

【分析】（1）根据题意和图象中的数据可以求得DE段对应的函数解析式，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得反比例函数的解析式，再根据（1）中的答案，即可解答本题．
【解答】解：（1）当0≤x≤40时，y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，
，得 ，
∴y＝1.5x+20，
当x＝0时，y＝1.5×0+20＝20，
故答案为：20；
（2）将x＝40代入y＝1.5x+20，得y＝80，
∴点E（40，80），
∵点E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴80＝ ，得k＝3200，
即反比例函数y＝ ，
当y＝20时，20＝ ，得x＝160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160．
【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
21．（10分）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且 ＝ ．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．

【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由 ＝ 得∠DAE＝∠BAE，由AB为直径得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE＝CE＝ BC＝6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE＝8，接着由AB为直径得到∠ADB＝90°，则可利用面积法计算出BD＝ ，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD＝ ，再根据正弦的定义求解．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵ ＝ ，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝ BC＝ ×12＝6，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝ ＝8，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴ AE•BC＝ BD•AC，
∴BD＝ ＝ ，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝ ，
∴AD＝ ＝ ，
∴sin∠ABD＝ ＝ ＝ ．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理．
22．（12分）已知y关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+2（a≠0）．
（1）当a＝﹣2，b＝﹣4时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标．
（2）在（1）的条件下，Q（m，t）为该函数图象上的一点，若Q关于原点的对称点P也落在该函数图象上，求m的值．
（3）当该函数图象经过点（1，0）时，若A（ ，y1），B（ ，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）将a、b的值代入函数解析式即可；
（2）根据（1）中的结论，即可求得m的值；
（3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得y1与y2的大小．
【解答】解：（1）当a＝﹣2，b＝﹣4时，
y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，4），对称轴为直线x＝1；
（2）点Q（m，t）关于原点对称的点的坐标P是（﹣m，﹣t），
则 ，
解得，m＝±1；
（3）∵函数的图象经过点（1，0），
∴0＝a﹣b+2，
∴b＝a+2，
∵y＝ax2﹣bx+2，
∴函数的对称轴为直线x＝ ＝ ＝ + ，
当a＞0时， ＜ + ＜ ，
∵ + ﹣ ＝ ， + ﹣（ + ）＝ ，A（ ，y1），B（ ，y2）是该函数图象上的两点，
∴y2＞y1，
当a＜0时，
+ ＜ + ＜ ，
∵ ﹣（ + ）＝﹣ ， + ﹣（ + ）＝﹣ ，A（ ，y1），B（ ，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
23．（12分）已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE＝2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE＝2CE”改为“ ＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

【分析】（1）利用平行线性质以及线段比求出CF的值；
（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；
（3）本题分两种情况讨论：若点E在线段BC上，y＝ ，定义域为x＞0；若点E在边BC的延长线上，y＝ ，定义域为x＞1．
【解答】解：（1）∵AB∥DF，
∴ ＝ ，
∵BE＝2CE，AB＝3，
∴ ＝ ，
∴CF＝ ；

（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．
由题意翻折得：∠1＝∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠F，
∴∠2＝∠F，
∴AM＝MF．
设DM＝x，则CM＝3﹣x．
又∵CF＝1.5，
∴AM＝MF＝ ﹣x，
在Rt△ADM中，AD2+DM2＝AM2，
∴32+x2＝（ ﹣x）2，
∴x＝ ，（1分）
∴DM＝ ，AM＝ ，
∴sin∠DAB1＝ ＝ ；
②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．
同理可得：AN＝NF．
∵BE＝2CE，
∴BC＝CE＝AD．
∵AD∥BE，
∴ ＝ ，
∴DF＝FC＝ ，
设DN＝x，则AN＝NF＝x+ ．
在Rt△ADN中，AD2+DN2＝AN2，
∴32+x2＝（x+ ）2，
∴x＝ ．（1分）
∴DN＝ ，AN＝ sin∠DAB1＝ ＝
（3）若点E在线段BC上，y＝ ，定义域为x＞0；
若点E在边BC的延长线上，y＝ ，定义域为x＞1．
【点评】本题考查正方形的性质，线段比以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意两种情况的分析探讨．

水水水

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2020-6-14 19:56 上传

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