天津市东丽区中考数学二模试卷（含答案解析）Word免费下载

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天津市东丽区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：﹣1﹣3＝（　　）
A．﹣2        B．2        C．﹣4        D．3
2．（3分）cos60°＝（　　）
A．         B．         C．         D．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
4．（3分）中新社北京11月10日电，中组部负责人近日就做好中共十九大代表选举工作有关问题答记者问时介绍称，十九大代表名额共2300名，将2300用科学记数法表示应为（　　）
A．23×102        B．23×103        C．2.3×103        D．0.23×104
5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　）

A．         B．        
C．         D．
6．（3分）估计 的大小应在（　　）
A．7与8之间        B．8与9之间        C．9与10之间        D．11与12之间
7．（3分）化简： ﹣ ＝（　　）
A．1        B．﹣x        C．x        D．
8．（3分）方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2        B．x1＝0，x2＝﹣2        C．x1＝x2＝1        D．x＝2
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（　　）

A．4，30°        B．2，60°        C．1，30°        D．3，60°
10．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数 的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2        B．y2＜y1＜y3        C．y1＜y2＜y3        D．y3＜y2＜y1
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为（　　）

A．75°        B．70°        C．65°        D．60°
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC＝OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（　　）

A．①②③④        B．①②④        C．①③④        D．①②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算a10÷a5＝　   　．
14．（3分）计算：（3 +2 ）（3 ﹣2 ）＝　   　．
15．（3分）一个袋子中装有4个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是　   　．
16．（3分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数的表达式：　   　（填上一个答案即可）．
17．（3分）如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE＝1，EF＝FC＝3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为　   　．

18．（3分）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、P分别为小正方形的中点，B为格点．
（I）线段AB的长度等于　   　；
（Ⅱ）在线段AB上存在一个点Q，使得点Q满足∠PQA＝45°，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出∠PQA，并简要说明你是怎么找到点Q的：　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　   　；
（Ⅱ）解不等式②，得　   　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　   　．
20．（8分）某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）α＝　   　，并写出该扇形所对圆心角的度数为　   　，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该地共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（Ⅱ）若⊙O半径为2，TC＝ ，求AD的长．

22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73）

23．（10分）某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；
        A        B
载客量（人/辆）        45        30
租金（元/辆）        400        280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；
（1）用含x的式子填写表格
        车辆数（辆）        载客量        租金（元）
A        x        45x        400x
B        5﹣x        　   　        　   　
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
（I）证明：EO＝EB；
（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；
（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．

25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（I）求b，c的值；
（Ⅱ）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（Ⅲ）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．


天津市东丽区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：﹣1﹣3＝（　　）
A．﹣2        B．2        C．﹣4        D．3
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可．
【解答】解：﹣1﹣3＝﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键，是基础题．
2．（3分）cos60°＝（　　）
A．         B．         C．         D．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论．
【解答】解：cos60°＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．         B．        
C．         D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）中新社北京11月10日电，中组部负责人近日就做好中共十九大代表选举工作有关问题答记者问时介绍称，十九大代表名额共2300名，将2300用科学记数法表示应为（　　）
A．23×102        B．23×103        C．2.3×103        D．0.23×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2300用科学记数法表示应为2.3×103，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的主视图是（　　）

A．         B．        
C．         D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
6．（3分）估计 的大小应在（　　）
A．7与8之间        B．8与9之间        C．9与10之间        D．11与12之间
【分析】直接得出接近 的有理数进而得出答案．
【解答】解：∵ ＜ ＜ ，
∴8＜ ＜9，
∴ 的大小应在8与9之间．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近 的有理数是解题关键．
7．（3分）化简： ﹣ ＝（　　）
A．1        B．﹣x        C．x        D．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ＝﹣ ＝﹣x．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（3分）方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2        B．x1＝0，x2＝﹣2        C．x1＝x2＝1        D．x＝2
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（　　）

A．4，30°        B．2，60°        C．1，30°        D．3，60°
【分析】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C＝4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．
【解答】解：∵∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C＝60°，AB＝A′B′＝A′C＝4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C＝4，∠B′A′C＝60°，
∴BB′＝6﹣4＝2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．
10．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数 的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2        B．y2＜y1＜y3        C．y1＜y2＜y3        D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵反比例函数 中k＝﹣4＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴0＜y1＜y2，
∵x3＞0，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数图象在二、四象限是解答此题的关键．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，若∠A＝40°，则∠EDF的度数为（　　）

A．75°        B．70°        C．65°        D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理先求出∠B、∠C的度数，利用SAS判定△BED≌△CDF，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠B＝∠C＝70°，
∵△BED和△CDF中，

∴△BED≌△CDF（SAS）
∴∠BDE＝∠CFD，∠BED＝∠CDF
∵∠EDF＝180°﹣∠CDF﹣∠BDE＝180°﹣（∠CDF+∠BDE）
∵∠B＝70°
∴∠BDE+∠BED＝110°即∠CDF+∠BDE＝110°
∴∠EDF＝180°﹣110°＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；注意发现三个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和定理进行求解是解答本题的关键．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC＝OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（　　）

A．①②③④        B．①②④        C．①③④        D．①②③
【分析】①由抛物线对称轴位置确定ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而对所得结论进行判断；
②根据对称轴公式和﹣2＜h＜﹣1可得：4a﹣b＜0，根据a＜0，b＜0可知：2a+b＜0，可作判断；
③根据b＞4a，得2b﹣8a＞0①，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0②，两式相加可得结论；
④根据OB＝OC可知：c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，代入后可得：ac+b+1＝0，则ac＝﹣b﹣c，将所求的式子去括号再将ac的式子代入可得结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；

②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x＝﹣ ＝h，且﹣2＜h＜﹣1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a﹣b＜0，
又∵h＜0，
∴﹣ ＜1
∴2a+b＜0，
∴（4a﹣b）（2a+b）＞0，
故②错误；

③由②知：b＞4a，
∴2b﹣8a＞0①．
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0②，
由①+②得：4a﹣8a+c＞0，即4a﹣c＜0．
故③正确；

④∵当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，
∵OC＝OB，
∴当x＝c时，y＝0，即ac2+bc+c＝0，
∵c≠0，
∴ac+b+1＝0，
∴ac＝﹣b﹣1，
则（a+1）（c+1）＝ac+a+c+1＝﹣b﹣1+a+c+1＝a﹣b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故选：C．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，不等式性质的熟练运用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算a10÷a5＝　a5　．
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：原式＝a10﹣5
＝a5，
故答案为：a5．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变指数相减．
14．（3分）计算：（3 +2 ）（3 ﹣2 ）＝　6　．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（3 ）2﹣（2 ）2
＝18﹣12
＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
15．（3分）一个袋子中装有4个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解；袋子中球的总数为：4+2＝6，
摸到红球的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
16．（3分）请写出一个图象过点（0，1），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数的表达式：　y＝﹣x+1　（填上一个答案即可）．
【分析】由函数值y随自变量x的增大而减小可得出k＜0，取k＝﹣1，再根据一次函数图象上点的坐标特征可求出b＝1，此题得解．
【解答】解：设该一次函数解析式为y＝kx+b，
∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0，取k＝﹣1．
∵一次函数图象过点（0，1），
∴1＝b．
故答案为：y＝﹣x+1．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据函数值y随自变量x的增大而减小找出k＜0是解题的关键．
17．（3分）如图，正方形ABCD内有两点E、F满足AE＝1，EF＝FC＝3，AE⊥EF，CF⊥EF，则正方形ABCD的边长为　 　．

【分析】连接AC，交EF于点M，可证明△AEM∽△CMF，根据条件可求得AE、EM、FM、CF，再结合勾股定理可求得AB．
【解答】解：连接AC，交EF于点M，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E＝∠F＝90°，
∵∠AME＝∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴ ＝ ，
∵AE＝1，EF＝FC＝3，
∴ ＝ ，
∴EM＝ ，FM＝ ，
在Rt△AEM中，AM2＝AE2+EM2＝1+ ＝ ，解得AM＝ ，
在Rt△FCM中，CM2＝CF2+FM2＝9+ ＝ ，解得CM＝ ，
∴AC＝AM+CM＝5，
在Rt△ABC中，AB＝BC，AB2+BC2＝AC2＝25，
∴AB＝ ，即正方形的边长为 ．
故答案为： ．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得AC的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
18．（3分）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、P分别为小正方形的中点，B为格点．
（I）线段AB的长度等于　 　；
（Ⅱ）在线段AB上存在一个点Q，使得点Q满足∠PQA＝45°，请你借助给定的网格，并利用不带刻度的直尺作出∠PQA，并简要说明你是怎么找到点Q的：　构造正方形EFGP，连接PF交AB于点Q，点Q即为所求．　．

【分析】（Ⅰ）构建勾股定理计算即可；
（Ⅱ）构造正方形EFGP，连接PF交AB于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）构建勾股定理可知AB＝ ＝ ，
故答案为 ．

（Ⅱ）如图点Q即为所求．

构造正方形EFGP，使得正方形的边长等于AB的长，连接PF交AB于点Q，点Q即为所求．
故答案为：构造正方形EFGP，连接PF交AB于点Q，点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x＜3　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≥1　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　1≤x＜3　．
【分析】（I）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；
（II）根据不等式的性质求出不等式的解集即可；
（III）在数轴上表示出来即可；
（IV）根据数轴得出即可．
【解答】解：（I）解不等式①得：x＜3，
故答案为：x＜3；

（II）解不等式②得：x≥1，
故答案为：x≥1；

（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
；

（IV）原不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
20．（8分）某教育局为了解本地八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）α＝　10%　，并写出该扇形所对圆心角的度数为　36°　，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该地共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？
【分析】（1）用1减去其它组的百分比即可求得a的值，利用360°乘以对应的百分比即可求得扇形圆心角的度数，再求得时间是8天的人数，从而补全直方图；
（2）根据众数、中位数的定义即可求解；
（3）利用总人数2000乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）a＝1﹣（40%+20%+25%+5%）＝1﹣90%＝10%，
圆心角的度数为360°×10%＝36°；

（2）众数是5天，中位数是6天；
（3）2000×（25%+10%+5%）＝800（人）．
答：估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有800人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过弧BD上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．
（1）若∠DAB＝50°，求∠ATC的度数；
（Ⅱ）若⊙O半径为2，TC＝ ，求AD的长．

【分析】（1）连接OT，根据同角的余角相等得出∠CAD＝∠ATO，进而得出∠DAB＝2CAT，解答即可；
（Ⅱ）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT＝CE，根据垂径定理求出DE，根据矩形性质求出OT＝CT，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接OT，如图1：
∵TC⊥AD，⊙O的切线TC，
∴∠ACT＝∠OTC＝90°，
∴∠CAT+∠CTA＝∠CTA+∠ATO，
∴∠CAT＝∠ATO，
∵OA＝OT，
∴∠OAT＝∠ATO，
∴∠DAB＝2∠CAT＝50°，
∴∠CAT＝25°，
∴∠ATC＝90°﹣25°＝65°；
（Ⅱ）过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：
∵AC⊥CT，CT切⊙O于T，
∴∠OEC＝∠ECT＝∠OTC＝90°，
∴四边形OECT是矩形，
∴OT＝CE＝OD＝2，
∵OE⊥AC，OE过圆心O，
∴AE＝DE＝ AD，
∵CT＝OE＝ ，
在Rt△OED中，由勾股定理得：ED＝ ，
∴AD＝2．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，具有一定的代表性．
22．（10分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， ≈1.73）

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD＝67°，
∴AD＝AB•sin67°＝520× ＝ ＝480km，
BD＝AB•cos67°＝520× ＝ ＝200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD•tan30°＝200× ＝ ，
∴AC＝AD+CD＝480+ ≈480+115＝595（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
23．（10分）某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；
        A        B
载客量（人/辆）        45        30
租金（元/辆）        400        280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；
（1）用含x的式子填写表格
        车辆数（辆）        载客量        租金（元）
A        x        45x        400x
B        5﹣x        　30（5﹣x）　        　280（5﹣x）　
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【分析】（1）根据题意，载客量＝汽车辆数×单车载客量，租金＝汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．
【解答】解：（1）∵载客量＝汽车辆数×单车载客量，租金＝汽车辆数×单车租金，
∴B型客车载客量＝30（5﹣x）；B型客车租金＝280（5﹣x）；
填表如下：
        车辆数（辆）        载客量        租金（元）
A        x        45x        400x
B        5﹣x        30（5﹣x）        280（5﹣x）
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4 ，
∴x的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4 ，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5＝1400元，但载客量为45×0+30×5＝150＜195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4＝1520元，但载客量为45×1+30×4＝165＜195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3＝1640元，但载客量为45×2+30×3＝180＜195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2＝1760元，但载客量为45×3+30×2＝195＝195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1＝1880元，但载客量为45×4+30×1＝210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．
故答案为：30（5﹣x）；280（5﹣x）．
【点评】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
（I）证明：EO＝EB；
（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；
（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．

【分析】（Ⅰ）由折叠得到∠DOB＝∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC＝∠AOB，即∠OBC＝∠DOB，即可；
（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；
（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，
∴∠DOB＝∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB，
∴∠OBC＝∠DOB，
∴EO＝EB；

（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），
∴直线OB解析式为y＝ x，
∵点P是直线OB上的任意一点，
∴设P（a， a）．
∵O（0，0），C（0，4），
∴OC＝4，PO2＝a2+（ a）2＝ a2，PC2＝a2+（4﹣ a）2．
当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：
①如果PO＝PC，那么PO2＝PC2，
则 a2＝a2+（4﹣ a）2，解得a＝4，即P（4，2）；
②如果PO＝OC，那么PO2＝OC2，
则 a2＝16，解得a＝± ，即P（ ， ）或P（﹣ ，﹣ ）；
③如果PC＝OC时，那么PC2＝OC2，
则a2+（4﹣ a）2＝16，解得a＝0（舍），或a＝ ，即P（ ， ）；
故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（ ， ）或P（﹣ ，﹣ ）或（ ， ）；

（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，
此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．
由（1）有，EO＝EB，
∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），
设OE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，BD＝4，根据勾股定理得，DB2+DE2＝BE2，
∴16+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴BE＝5，
∴CE＝3，
∴DE＝3，BE＝5，BD＝4，
∵S△BDE＝ DE×BD＝ BE×DG，
∴DG＝ ＝ ，
由题意有，GN＝OC＝4，
∴DN＝DG+GN＝ +4＝ ．
即：AM+MN的最小值为 ．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键．
25．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（I）求b，c的值；
（Ⅱ）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（Ⅲ）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（I）将点B、C的坐标代入函数解析式求得系数b、c的值即可；
（Ⅱ）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；
（Ⅲ）设点P坐标为（n，0），可表示出PA、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．
【解答】解：
（I）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
将其代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得b＝2，c＝3；

（Ⅱ）设点F的坐标为（0，m）．
∵对称轴为直线x＝1，
∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．
由（I）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
∵直线BE经过点B（3，0），E（1，4），
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝﹣2x+6．
∵点F在BE上，
∴m＝﹣2×2+6＝2，即点F的坐标为（0，2）；

（Ⅲ）存在点Q满足题意．
设点P坐标为（n，0），则PA＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．
作QR⊥PN，垂足为R，

∵S△PQN＝S△APM，
∴ （n+1）（3﹣n）＝ （﹣n2+2n+3）•QR，
∴QR＝1．
①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，﹣n2+4n），R点的坐标为（n，﹣n2+4n），N点的坐标为（n，﹣n2+2n+3）．
∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，
∴n＝ 时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（ ， ）；
②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．
同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，
∴n＝ 时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为（ ， ）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（ ， ）或（ ， ）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（I）中求得抛物线与坐标轴的交点是解题的关键，在（Ⅱ）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（Ⅲ）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．

水水水

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2020-6-14 19:56 上传

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