吉林省长春市名校调研（市命题）中考数学二模试卷（含答案解析）Word免费下载

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吉林省长春市名校调研（市命题）中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3        B．﹣1        C．0        D．1
2．（3分）我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×108        B．21×106        C．2.1×107        D．2.1×106
3．（3分）如图有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A．         B．         C．         D．
4．（3分）不等式﹣ x+1＞3的解集是（　　）
A．x＜﹣4        B．x＞﹣4        C．x＞4        D．x＜4
5．（3分）下列运算，结果正确的是（　　）
A．m2+m2＝m4        B．2m2n÷ mn＝4m       
C．（3mn2）2＝6m2n4        D．（m+2）2＝m2+4
6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（　　）

A．68°        B．20°        C．28°        D．22°
7．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．50°        B．55°        C．60°        D．65°
8．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝ 的图象经过点D，则k值为（　　）

A．﹣14        B．14        C．7        D．﹣7
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算（﹣ a2b）3＝　   　．
10．（3分）三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为　   　元（用含a、b的代数式表示）
11．（3分）如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝　   　．

12．（3分）如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为　   　度．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝12，若以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为　   　（保留根号和π）

14．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB＝2，AD＝1，点E的坐标为（0，2）．点F（x，0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共计78分）
15．（6分）先化简再求值： ÷（ ﹣1），其中x＝ ．
16．（6分）水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？
17．（6分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，在随机抽取1张，将卡片的数字即为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在二、四象限的概率．
18．（7分）如图，分别以线段AB两端点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于C，D两点，作直线CD交AB于点M，DE∥AB，BE∥CD．
（1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
（2）求证：ME＝AD．

19．（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　   　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　   　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
20．（7分）美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A，B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°，若AB＝114米，求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米？
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

21．（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从学校出发，以a米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为t（分），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）求a，b的值；
（2）求甲追上乙时，距学校的路程；
（3）当两人相距500米时，求t的值．

22．（9分）【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　   　．

23．（10分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　   　；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．

24．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，tanA＝ ，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向中点C运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AD﹣DC于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，连接QR．设△PQR与▱ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点R与点B重合时，求t的值；
（2）当点P在BC边上运动时，求线段PQ的长（用含有t的代数式表示）；
（3）当点R落在▱ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值．



吉林省长春市名校调研（市命题）中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（　　）
A．﹣3        B．﹣1        C．0        D．1
【分析】利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣2|＝2，
∴比﹣2小的数是：﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键．
2．（3分）我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×108        B．21×106        C．2.1×107        D．2.1×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2100000＝2.1×106，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A．         B．         C．         D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看，得到左边2个正方形，右边1个正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．（3分）不等式﹣ x+1＞3的解集是（　　）
A．x＜﹣4        B．x＞﹣4        C．x＞4        D．x＜4
【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：不等式整理得：﹣ x＞3﹣1，
解得：x＜﹣4，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（3分）下列运算，结果正确的是（　　）
A．m2+m2＝m4        B．2m2n÷ mn＝4m       
C．（3mn2）2＝6m2n4        D．（m+2）2＝m2+4
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：m2+m2＝2m2，故选项A错误，
2m2n÷ mn＝4m，故选项B正确，
（3mn2）2＝9m2n4，故选项C错误，
（m+2）2＝m2+4m+4，故选项D错误，
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、整式的除法、积的乘方、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（　　）

A．68°        B．20°        C．28°        D．22°
【分析】先根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，再根据旋转的性质得∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠D′＝∠D＝90°，然后根据四边形的内角和得到∠3＝68°，再利用互余即可得到∠α的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
7．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）

A．50°        B．55°        C．60°        D．65°
【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵OA＝OD，∠AOD＝50°，
∴∠ADO＝ ＝65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝115°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝65°．
故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝ 的图象经过点D，则k值为（　　）

A．﹣14        B．14        C．7        D．﹣7
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由同角的余角相等可得出∠OBA＝∠EAD，结合∠AOB＝∠DEA＝90°可得出△AOB∽△DEA，根据相似三角形的性质结合点A、B的坐标，即可得出AE、DE的长度，进而可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．
∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠EAD＝90°，
∴∠OBA＝∠EAD．
又∵∠AOB＝∠DEA＝90°，
∴△AOB∽△DEA，
∴ ＝ ＝ ．
∵四边形ABCD为矩形，点A（3，0），B（0，6），AB：BC＝3：2，
∴DE＝ AO＝2，AE＝ BO＝4，
∴OE＝OA+AE＝3+4＝7，
∴点D的坐标为（7，2）．
∵反比例函数y＝ 的图象经过点D，
∴k＝7×2＝14．
故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出点D的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算（﹣ a2b）3＝　﹣ a6b3　．
【分析】根据积的乘方的运算方法：（ab）n＝anbn，求出（﹣ a2b）3的值是多少即可．
【解答】解：（﹣ a2b）3＝ •（a2）3•b3＝﹣ a6b3．
故答案为：﹣ a6b3．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
10．（3分）三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，则剩余金额为　（3a﹣b）　元（用含a、b的代数式表示）
【分析】根据题意可以用代数式表示剩余的金额，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
剩余金额为：（3a﹣b）元，
故答案为：（3a﹣b）．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
11．（3分）如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝　45°　．

【分析】过P作PM∥直线a，求出直线a∥b∥PM，根据平行线的性质得出∠FPM＝∠1＝45°，即可求出答案．
【解答】解：过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠2＝30°，
∴∠EPM＝∠2＝30°，
又∵∠EPF＝75°，
∴∠FPM＝45°，
∴∠1＝∠FPM＝45°，
故答案为：45°．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．
12．（3分）如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C＝28°，AB＝BD，则∠B的度数为　68　度．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD＝CD，等边对等角可得∠DAC＝∠C，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ADB＝∠C+∠DAC，再次根据等边对等角可得可得∠ADB＝∠BAD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵DM垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝28°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝28°+28°＝56°，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝56°，
在△ABD中，∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
故答案为：68．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质与定理是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝12，若以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积为　15π﹣18 　（保留根号和π）

【分析】根据题意可知阴影部分的面积是扇形BCD与扇形ACE的面积之和与△ABC的面积之差，从而可以解答本题．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝12，
∴∠A＝30°，
∴BC＝6，AC＝6 ，
∵以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径的弧交AB于点D，
∴阴阴部分的面积为： ﹣ ＝15π﹣18 ，
故答案为：15π﹣18 ．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB＝2，AD＝1，点E的坐标为（0，2）．点F（x，0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为　± 　．

【分析】分类讨论：点F在OA上和点F在OB上两种情况．根据题意列出比例关系式，直接解答即可得出x得出值．
【解答】解：如图，∵AB的中点与原点O重合，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（1，1）．
当点F在OB上时．易求G（ ，1）
∵过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，
则AF+AD+DG＝3+ x，CG+BC+BF＝3﹣ x，
由题意可得：3+ x＝2（3﹣ x），
解得 x＝ ．
由对称性可求当点P在OA上时，x＝﹣ ．
故答案是：± ．

【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，是各地中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题．
三、解答题（本大题共10小题，共计78分）
15．（6分）先化简再求值： ÷（ ﹣1），其中x＝ ．
【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝﹣（x﹣1）
＝1﹣x，
当x＝ 时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
16．（6分）水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？
【分析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250元所购件数是第一批的2倍，列方程求解．
【解答】解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，
由题意得， ×2＝ ，
解得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批水果每件进价为120元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
17．（6分）有4张正面分别标有数字﹣1，2，﹣3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的数字记为m，在随机抽取1张，将卡片的数字即为n．
（1）请用列表或树状图的方式把（m，n）所有的结果表示出来．
（2）求选出的（m，n）在二、四象限的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）找出点（m，n）在一、三象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
（2）由树状图可知，共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中在二、四象限的有（2，﹣1），（4，﹣1），（﹣3，2），（4，﹣3），（﹣1，2），（2，﹣3），（﹣1，4），（﹣3，4）共8种，
∴（m，n）在二、四现象的概率为：P＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18．（7分）如图，分别以线段AB两端点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于C，D两点，作直线CD交AB于点M，DE∥AB，BE∥CD．
（1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
（2）求证：ME＝AD．

【分析】（1）根据题意得出AC＝BC＝BD＝AD，即可得出结论；
（2）先证明四边形BEDM是平行四边形，再由菱形的性质得出∠BMD＝90°，证明四边形ACBD是矩形，得出对角线相等ME＝BD，即可得出结论．
【解答】（1）解：四边形ACBD是菱形；理由如下：
根据题意得：AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；
（2）证明：∵DE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BEDM是平行四边形，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，
∴∠BMD＝90°，
∴四边形ACBD是矩形，
∴ME＝BD，
∵AD＝BD，
∴ME＝AD．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
19．（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　90　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．
【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为： ×360°＝90°；
故答案为：60，90；
（2）60﹣15﹣30﹣10＝5；
补全条形统计图得：


（3）根据题意得：900× ＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．
20．（7分）美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A，B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭D进行测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°，若AB＝114米，求观景亭D到甬江岸边AC的距离约为多少米？
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，根据AE＝DE，列出方程即可解决问题．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝ ，
∵∠DBC＝65°，
∴DE＝xtan65°．              
又∵∠DAC＝45°，
∴AE＝DE．
∴114+x＝xtan65°，
∴解得x≈100，
∴DE≈214（米）．            
∴观景亭D到甬江岸边AC的距离约为214米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从学校出发，以a米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为t（分），s与t之间的函数图象如图所示．
（1）求a，b的值；
（2）求甲追上乙时，距学校的路程；
（3）当两人相距500米时，求t的值．

【分析】（1）根据函数图象中的数据和题意可以求得a、b的值；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲追上乙时，距学校的路程；
（3）由题意和图象可知，存在两种情况使得两人相距500米，从而可以求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝900÷4.5＝200，
b＝6000÷200＝30，
即a的值是200，b的值是30；
（2）设甲追上乙时的时刻为t，
乙加速后的速度是200×1.5＝300米/分，
300（t﹣4.5﹣ ）＝200t，
解得，t＝22.5，
则200t＝200×22.5＝4500，
答：甲追上乙时，距学校的路程是4500米；
（3）当两人相距500米时，
300（t﹣4.5）+200（t﹣4.5）＝500，得t＝5.5，
或300（t﹣4.5﹣ ）+500＝200t，得t＝17.5，
即t的值是5.5或17.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（9分）【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为　 　．

【分析】拓展：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，利用SAS易证得△BCE≌△DCG，则可得BE＝DG；
应用：由AD∥BC，BE＝DG，可得S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝8，又由AE＝2ED，可求得△CDE的面积，继而求得答案．
【解答】解：拓展：∵四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠A，∠ECG＝∠F．
∵∠A＝∠F，
∴∠BCD＝∠ECG．
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ECG﹣∠ECD，
即∠BCE＝∠DCG．
在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．（6分）

应用：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∵BE＝DG，
∴S△ABE+S△CDE＝S△BEC＝S△CDG＝8，
∵AE＝2ED，
∴S△CDE＝ ×8＝ ，
∴S△ECG＝S△CDE+S△CDG＝ ，
∴S菱形CEFG＝2S△ECG＝ ．
故答案为： ．（9分）
【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（10分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线y＝x2的“完美三角形”斜边AB的长；
②抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　相等　；
（2）若抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；
（3）若抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．

【分析】（1）①①过点B作BN⊥x轴于N，根据△AMB为等腰直角三角形，AB∥x轴，所以∠BMN＝∠ABM＝45°，所以∠BMN＝∠MBN，得到MN＝BN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，得n＝n2，解得n＝1，n＝0（舍去），所以B（1，1），求出BM的长度，利用勾股定理，即可解答；
②因为抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，所以抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
（2）根据抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，所以抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，所以抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，从而确定B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y＝ax2中，得到 ．
（3））根据y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，得到 ，化简得mn﹣4m﹣1＝0，抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，所以抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，所以B点坐标为 ，代入抛物线y＝mx2，得 ，mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），所以 ，所以 ．
【解答】解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，

∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN＝∠ABM＝45°，
∴∠MBN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BMN＝∠MBN，
∴MN＝BN，
设B点坐标为（n，n），代入抛物线y＝x2，
得n＝n2，
∴n＝1，n＝0（舍去），
∴B（1，1）
∴MN＝BN＝1，
∴MB＝ ＝ ，
∴MA＝MB＝ ，
在Rt△AMB中，AB＝ ＝2，
∴抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝2．
②∵抛物线y＝x2+1与y＝x2的形状相同，
∴抛物线y＝x2+1与y＝x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（2）∵抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的形状相同，
∴抛物线y＝ax2与抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”全等，
∵抛物线y＝ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，
∴抛物线y＝ax2的“完美三角形”斜边的长为4，
∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），
把点B代入y＝ax2中，
∴ ．
（3）∵y＝mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，
∴ ，
∴mn﹣4m﹣1＝0，
∵抛物线y＝mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，
∴抛物线y＝mx2的“完美三角形”斜边长为n，
∴B点坐标为 ，
∴代入抛物线y＝mx2，得 ，
∴mn＝﹣2或n＝0（不合题意舍去），
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了二次函数，解决本题的关键是理解“完美三角形”的定义，利用勾股定理，求出点B的坐标．
24．（12分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，tanA＝ ，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向中点C运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AD﹣DC于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，连接QR．设△PQR与▱ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点R与点B重合时，求t的值；
（2）当点P在BC边上运动时，求线段PQ的长（用含有t的代数式表示）；
（3）当点R落在▱ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值．

【分析】（1）根据AP+PR＝AB，构建方程即可解决问题；
（2）在Rt△APQ中，解直角三角形即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可解决问题；
（4）分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，
∴PQ＝PR，∠QPR＝90°，
∴△QPR为等腰直角三角形．
当运动时间为t秒时，AP＝t，PQ＝PQ＝AP•tanA＝ t．
∵点R与点B重合，
∴AP+PR＝t+ t＝AB＝4，
解得：t＝ ．

（2）当点P在BC边上时，4≤t≤9，CP＝9﹣t，
∵tanA＝ ，
∴tanC＝ ，sinC＝ ，
∴PQ＝CP•sinC＝ （9﹣t）．

（3）①如图1中，当 ＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．作KM⊥AR于M．

∵△KBR∽△QAR，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴KM＝ （ t﹣4）＝ t﹣ ，
∴S＝S△PQR﹣S△KBR＝ ×（ t）2﹣ ×（ t﹣4）（ t﹣ ）＝﹣ t2+ t﹣ ．

②如图2中，当3＜t≤4时，重叠部分是四边形PQKB．

S＝S△PQR﹣S△KBR＝ ×4×4﹣ ×t× t＝﹣ t2+8．

③如图3中，当4＜t＜9时，重叠部分是△PQK．

S＝ •S△PQC＝ × × （9﹣t）• （9﹣t）＝ （9﹣t）2．

（4）如图4中，

①当DC＝DP1＝4时，易知AP1＝3，t＝3．
②当DC＝DP2时，CP2＝2•CD• ＝ ，
∴BP2＝ ，
∴t＝4+ ＝ ．
③当CD＝CP3时，t＝5．
④当CP4＝DP4时，CP4＝2÷ ＝ ，
∴t＝9﹣ ＝ ．
综上所述，满足条件的t的值为4或 或5或 ．
【点评】本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

水水水

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2020-6-14 19:56 上传

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