教师招考数学专业知识复习

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一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）

1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；

3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；

5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。



二、学习指导



1、集合的概念：



（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；



（2） 集合的分类：



① 按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；



（3） 集合的表示法：



①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；

②描述法。



2、两类关系



3、集合运算





4、命题：

（1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

（2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p；

（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。



5、 充分条件与必要条件





6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。



7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。



三、典型例题

例1、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。



解题思路分析：



在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}



∴ M∩N=M={y|y≥1}



说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。



例2、已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。

解题思路分析：





例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。

解题思路分析：



假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾

∴ 假设不成立

∴ x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。





例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。



解题思路分析：





例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。

解题思路分析：





四、同步练习



（一） 选择题







2、 已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是

A、 [0，2]       B、（-2，2）      C、（0，2]       D、（0，2）







    4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是

A、11            B、10            C、16            D、15



5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15            B、16            C、31            D、32



6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是

    A、所给命题为假                   B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真                 D、它的否命题为真



7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件                 B、必要不充分条件

C、充要条件                       D、既不充分也不必要条件







9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是

A、0<m≤1或m<0                   B、0<m≤1

C、m<1                            D、m≤1



10、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的

A、充分不必要条件                 

B、必要不充分条件

C.充要条件

D、既不充分又不必要条件



（二） 填空题





  12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。



   13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是______________。

   

   14、 命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。







（三） 解答题

16、 设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。



17、 已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。





18、 设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。















集合与简易逻辑参考答案

（一） 选择题

1、C   

2、A   

3、C   

4、C   

5、D   

6、B   

7、B   

8、C   

9、D   

10、A



（二） 填空题

     11、φ   

   12、25，60   

   13、-1≤a≤1   

   14、若a、b均不为0，则ab≠0   

   15、7



（三） 解答题

    16、a≥1或a≤-1，提示：画图