2019四川省遂宁市中考数学试卷及解析word免费下载

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2019年四川省遂宁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）
1．（4分）﹣|﹣ |的值为（　　）
A．         B．﹣         C．±         D．2
2．（4分）下列等式成立的是（　　）
A．2+ ＝2         B．（a2b3）2＝a4b6       
C．（2a2+a）÷a＝2a        D．5x2y﹣2x2y＝3
3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字
之积是（　　）

A．﹣12        B．0        C．﹣8        D．﹣10
4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　）
A．100       
B．被抽取的100名学生家长       
C．被抽取的100名学生家长的意见       
D．全校学生家长的意见
5．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0        B．±1        C．1        D．﹣1
6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　）

A．4π﹣8        B．2π        C．4π        D．8π﹣8
7．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，
若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28        B．24        C．21        D．14
8．（4分）关于x的方程 ﹣1＝ 的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣4        B．k＜4        C．k＞﹣4且k≠4        D．k＜4且k≠﹣4
9．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）

A．a＝4       
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）       
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5       
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
10．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝ ．
其中正确的有（　　）

A．①②③        B．②③④        C．①③④        D．①②④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为　   　米．
12．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　   　．
13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为　   　分．
14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　   　．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝ 经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为　   　．（填一般式）

三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）
16．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣ |
17．（7分）解不等式组： ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
18．（7分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中a，b满足（a﹣2）2+ ＝0．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．

20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1： ，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）
22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：
代号        活动类型
A        经典诵读与写作
B        数学兴趣与培优
C        英语阅读与写作
D        艺体类
E        其他
为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．
（1）此次共调查了　   　名学生．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　   　．
（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？
（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．

23．（10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═ （k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．

24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝ ，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．

25．（12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝ MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．












2019年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）
1．（4分）﹣|﹣ |的值为（　　）
A．         B．﹣         C．±         D．2
【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣|﹣ |＝﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查绝对值和二次根式，掌握实数的绝对值的意义是解题的关键．
2．（4分）下列等式成立的是（　　）
A．2+ ＝2         B．（a2b3）2＝a4b6       
C．（2a2+a）÷a＝2a        D．5x2y﹣2x2y＝3
【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2+ ，无法计算，故此选项错误；
B、（a2b3）2＝a4b6，正确；
C、（2a2+a）÷a＝2a+1，故此选项错误；
D、故5x2y﹣2x2y＝3x2y，此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字
之积是（　　）

A．﹣12        B．0        C．﹣8        D．﹣10
【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣12．
【解答】解：数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣2×6＝﹣12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键是掌握正方体展开图的特点．
4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　）
A．100       
B．被抽取的100名学生家长       
C．被抽取的100名学生家长的意见       
D．全校学生家长的意见
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）
A．0        B．±1        C．1        D．﹣1
【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　）

A．4π﹣8        B．2π        C．4π        D．8π﹣8
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△BOC＝ ﹣ ×4×4＝4π﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
7．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，
若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28        B．24        C．21        D．14
【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，再由平行四边形的周长为24，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线．
8．（4分）关于x的方程 ﹣1＝ 的解为正数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣4        B．k＜4        C．k＞﹣4且k≠4        D．k＜4且k≠﹣4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到x的值，根据分式方程解是正数，即可确定出k的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，
解得：x＝ ，
根据题意得： ＞0，且 ≠2，
解得：k＞﹣4，且k≠4．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
9．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）

A．a＝4       
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）       
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5       
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝ ＝2
∴a＝4，故A选项正确；
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
10．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝ ．
其中正确的有（　　）

A．①②③        B．②③④        C．①③④        D．①②④
【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBP＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝ x，CQ＝2QE＝2x，CE＝ x，由CE+DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝ ，根据S△BDP＝ BD•PDsin∠BDP求解可判断④．
【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；
∵∠CBD＝∠CDB＝45°，
∴∠DBP＝∠DPB＝135°，
又∵∠PDB＝∠BDH，
∴△BDP∽△HDB，故②正确；
如图，过点Q作QE⊥CD于E，

设QE＝DE＝x，则QD＝ x，CQ＝2QE＝2x，
∴CE＝ x，
由CE+DE＝CD知x+ x＝1，
解得x＝ ，
∴QD＝ x＝ ，
∵BD＝ ，
∴BQ＝BD﹣DQ＝ ﹣ ＝ ，
则DQ：BQ＝ ： ≠1：2，故③错误；
∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，
∴∠PDQ＝30°，
又∵∠CPD＝75°，
∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，
∴DP＝DQ＝ ，
∴S△BDP＝ BD•PDsin∠BDP＝ × × × ＝ ，故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为　5.5×104　米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于55000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：55000＝5.5×104，
故答案为5.5×104．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
12．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　k＜1　．
【分析】利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为　88.8　分．
【分析】根据加权平均数的计算方法求值即可．
【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：
92×40%+85×40%+90×20%
＝36.8+34+18
＝88.8
故答案为：88.8
【点评】本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　7﹣i　．
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
【解答】解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝ 经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为　y＝ x2﹣ x+3　．（填一般式）

【分析】点C（0，3），反比例函数y＝ 经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，故点G（ ，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：点C（0，3），反比例函数y＝ 经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝ ，故点G（ ，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故答案为：y＝ x2﹣ x+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）
16．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣ |
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+ +1﹣4× +2 ﹣2
＝﹣1+ +1﹣2 +2 ﹣2
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（7分）解不等式组： ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【解答】解：
解不等式①，x＞﹣3，
解不等式②，x≤2，
∴﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示如下：

∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键．
18．（7分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中a，b满足（a﹣2）2+ ＝0．
【分析】先化简分式，然后将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝  ﹣
＝ ﹣
＝﹣ ，
∵a，b满足（a﹣2）2+ ＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
a＝2，b＝﹣1，
原式＝ ＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行双绞线的判定定理是解题的关键．
20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1： ，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝ ，求得BG＝BH﹣HG＝ ，得到FG＝ ，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH，GH＝AE＝2，
∵AB＝30×30＝900cm＝9米，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝ ，
∴BG＝BH﹣HG＝ ，
∵斜坡EF的坡度i＝1： ，
∴FG＝ ，
∴BF＝FG﹣BG＝ ﹣ ，
∴S梯形ABFE＝ （2+ ﹣ ）× ＝ ，
∴共需土石为 ×200＝50（81 ﹣81+36 ）立方米．

【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．
21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）设第一批仙桃每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的 倍，列方程解答；
（2）设剩余的仙桃每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于440元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则 × ＝ ，
解得 x＝180．
经检验，x＝180是原方程的根．
答：第一批仙桃每件进价为180元；

（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．
则： ×225×80%+ ×225×（1﹣80%）×0.1y﹣3700≥440，
解得 y≥6．
答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：
代号        活动类型
A        经典诵读与写作
B        数学兴趣与培优
C        英语阅读与写作
D        艺体类
E        其他
为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．
（1）此次共调查了　200　名学生．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　108°　．
（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？
（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．

【分析】（1）由A类型人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此可补全图形；
（3）用360°乘以B类型人数所占比例；
（4）总人数乘以前三项人数之和所占比例即可得；
（5）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：（1）此次调查的总人数为40÷20%＝200（人），
故答案为：200；
（2）D类型人数为200×25%＝50（人），
B类型人数为200﹣（40+30+50+20）＝60（人），
补全图形如下：

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为360°× ＝108°，
故答案为：108°；
（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有2000× ＝1300（人）；
（5）画树状图如下：
，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，
∴刚好一男一女参加决赛的概率 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═ （k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．

【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；
（2）设点P的坐标为（m， ）（m＞0），用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1
∴B（﹣1，﹣4）
将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═ （k≠0）中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）如图：

设点P的坐标为（m， ）（m＞0），则C（m，m﹣3）
∴PC＝| ﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝ m×| ﹣（m﹣3）|＝3
解得：m＝5或﹣2或1或2
∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4
又∵m＞0
∴m＝5或1或2
∴点P的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝ ，BC＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求⊙O的半径OC；
（3）求证：CF是⊙O的切线．

【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF＝90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）设OE＝x，OC＝3x，得到CE＝3，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由DF＝2OD，得到OF＝3OD＝3OC，求得 ，推出△COE∽△FOE，根据相似三角形的性质得到∠OCF＝∠DEC＝90°，于是得到CF是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴∠GAF＝90°，
∵AG∥BC，
∴AE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴∠BAC＝2∠EAC，
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠COD＝∠BAC；
（2）∵∠COD＝∠BAC，
∴cos∠BAC＝cos∠COE＝ ＝ ，
∴设OE＝x，OC＝3x，
∵BC＝6，
∴CE＝3，
∵CE⊥AD，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴x2+32＝9x2，
∴x＝ （负值舍去），
∴OC＝3x＝ ，
∴⊙O的半径OC为 ；
（3）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC，
∴ ，
∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOE，
∴∠OCF＝∠DEC＝90°，
∴CF是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．（12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝ MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．

【分析】（1）由于已知二次函数顶点坐标，故可设顶点式，再把点A代入求a即求得二次函数关系式．
（2）设点B横坐标为b，用b表示直线OB的k值即得到直线OB解析式，把x＝3代入即用b表示点M坐标．根据M、N关于点P对称，求得MP＝NP＝ MN，且能用b表示点N坐标．①由OP＝ MN，可列得关于b的方程，求解即得到点B、N坐标．求OB2、ON2、BN2的值得到OB2+ON2＝BN2，判断△NOB是等腰直角三角形．②有点B、N坐标求直线BN解析式（含b），令y＝0求得直线BN与x轴交点D的坐标，发现C为OD中点即直线NC垂直平分OD，根据垂直平分线性质得ND＝NO，由等腰三角形三线合一得∠BNM＝∠ONM，得证．
【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）
∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3
∵二次函数图象过点A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣
∴二次函数的关系式为y＝﹣ （x﹣3）2+3＝﹣ x2+2x

（2）设B（b，﹣ b2+2b）（b＞3）
∴直线OB解析式为：y＝（﹣ b+2）x
∵OB交对称轴l于点M
∴当xM＝3时，yM＝（﹣ b+2）×3＝﹣b+6
∴M（3，﹣b+6）
∵点M、N关于点P对称
∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，
∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
①∵OP＝ MN
∴OP＝MP
∴ ＝b﹣3
解得：b＝3+3
∴﹣ b2+2b＝﹣ ×（3+3 ）2+2×（3+3 ）＝﹣3
∴B（3+3 ，﹣3），N（3，3+3 ）
∴OB2＝（3+3 ）2+（﹣3）2＝36+18 ，ON2＝32+（3+3 ）2＝36+18 ，BN2＝（3+3 ﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3 ）2＝72+36
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3 ，﹣3）．
②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D
∵B（b，﹣ b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d
∴   解得：
∴直线BN：y＝﹣ bx+2b
当y＝0时，﹣ bx+2b＝0，解得：x＝6
∴D（6，0）
∵C（3，0），NC⊥x轴
∴NC垂直平分OD
∴ND＝NO
∴∠BNM＝∠ONM

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．第（2）题设点B横坐标为b后，即把b当常数进行求直线解析式和点坐标的运算，较多字母的运算过程要抓清楚常量和变量．

水水水

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2020-4-20 15:59 上传

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