2019山东省菏泽市中考数学试题及解析word免费下载

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2019年山东省菏泽市中考数学试卷

一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置
1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　）
A．﹣         B．         C．0        D．﹣2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．         B．         C．         D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝﹣a6        B．a2•a3＝a6        C．a8÷a2＝a4        D．3a2﹣2a2＝a2
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（　　）

A．5cm2        B．8cm2        C．9cm2        D．10cm2
5．（3分）已知 是方程组 的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1        B．1        C．﹣5        D．5
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．OC∥BD        B．AD⊥OC        C．△CEF≌△BED        D．AF＝FD
7．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　）

A．（1010，0）        B．（1010，1）        C．（1009，0）        D．（1009，1）
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

A．         B．        
C．         D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）计算（ ）﹣1﹣（﹣3）2的结果是　   　．
10．（3分）已知x＝ + ，那么x2﹣2 x的值是　   　．
11．（3分）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是　   　．

12．（3分）一组数据4，5，6，x的众数与中位数相等，则这组数据的方差是　   　．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　   　．

14．（3分）如图，直线y＝﹣ x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　   　．

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）解不等式组：
16．（6分）先化简，再求值： （ ﹣1）÷ ，其中x＝y+2019．
17．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．

18．（6分）列方程（组）解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
19．（7分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．

20．（7分）如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝ 的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．

21．（10分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了“读书感悟•分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；
        频数        频率
A        4       
B               
C        a        0.3
D        16        b
（1）求a，b的值；
（2）求B等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从A等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求A等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．

22．（10分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3 ，GB＝6，求⊙O的半径．

23．（10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6 ，AD＝3，求△PDE的面积．
24．（10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝ OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2019年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置
1．（3分）下列各数中，最大的数是（　　）
A．﹣         B．         C．0        D．﹣2
【分析】比较确定出最大的数即可．
【解答】解：﹣2＜﹣ ＜0＜ ，
则最大的数是 ，
故选：B．
【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．         B．         C．         D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2＝﹣a6        B．a2•a3＝a6        C．a8÷a2＝a4        D．3a2﹣2a2＝a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；
B、原式＝a5，不符合题意；
C、原式＝a6，不符合题意；
D、原式＝a2，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（　　）

A．5cm2        B．8cm2        C．9cm2        D．10cm2
【分析】由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别为1cm、1cm、2cm，可求其表面积．
【解答】解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别1cm、1cm、2cm，
所以其面积为：2×（1×1+1×2+1×2）＝10（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查三视图、圆柱的表面积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
5．（3分）已知 是方程组 的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1        B．1        C．﹣5        D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将 代入 ，
可得： ，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．OC∥BD        B．AD⊥OC        C．△CEF≌△BED        D．AF＝FD
【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC，得出∠DBC＝∠OCB，证出OC∥BD，选项A成立；
由平行线的性质得出AD⊥OC，选项B成立；
由垂径定理得出AF＝FD，选项D成立；
△CEF和△BED中，没有相等的边，△CEF与△BED不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，
∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，
∴AD⊥BD，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，选项A成立；
∴AD⊥OC，选项B成立；
∴AF＝FD，选项D成立；
∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
7．（3分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（　　）

A．（1010，0）        B．（1010，1）        C．（1009，0）        D．（1009，1）
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2019的坐标．
【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4＝504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）

A．         B．        
C．         D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQ＝ AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝ AQ•AP＝ x2；
②当2≤x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣ （4﹣x）2﹣ ×2×（x﹣2）﹣ ×2×（x﹣2）
＝﹣ x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．（3分）计算（ ）﹣1﹣（﹣3）2的结果是　﹣7　．
【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣9＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
10．（3分）已知x＝ + ，那么x2﹣2 x的值是　4　．
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵x﹣ ＝ ，
∴x2﹣2 x+2＝6，
∴x2﹣2 x＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
11．（3分）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1的度数是　80°　．

【分析】直接作出BF∥AD，再利用平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝100°，
∴∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°，
∴∠2﹣∠1＝80°．
故答案为：80°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°是解题关键．
12．（3分）一组数据4，5，6，x的众数与中位数相等，则这组数据的方差是　 　．
【分析】分别假设众数为4，5，6，分类讨论，找到符合题意的x的值，再根据方差的定义求解可得．
【解答】解：若众数为4，则数据为4，4，5，6，此时中位数为4.5，不符合题意；
若众数为5，则数据为4，5，5，6，中位数为5，符合题意，
此时平均数为 ＝5，方差为 [（4﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2]＝ ；
若众数为6，则数据为4，5，6，6，中位数为5.5，不符合题意；
故答案为 ．
【点评】本题主要考查众数、中位数及方差，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．
13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　8 　．

【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝ ＝2，
由勾股定理得：DE＝ ＝ ＝2 ，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4× ＝8 ，
故答案为：8 ．

【点评】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
14．（3分）如图，直线y＝﹣ x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是　（﹣ ，0）　．

【分析】根据函数解析式求得A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣ x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AP＝ ，
∴OP＝ ，
∴P（﹣ ，0），
故答案为：（﹣ ，0）．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）≥﹣4，得：x≤5，
解不等式x﹣1＜ ，得：x＜4，
则不等式组的解集为x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（6分）先化简，再求值： （ ﹣1）÷ ，其中x＝y+2019．
【分析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将x＝y+2019代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解： （ ﹣1）÷
＝
＝﹣（2y﹣x﹣y）
＝x﹣y，
∵x＝y+2019，
∴原式＝y+2019﹣y＝2019．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．（6分）如图，四边形ABCD是矩形．
（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵四边形ABCD是矩形，EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∴∠ECB＝30°，
∵BC＝4，
∴BE＝ ．
【点评】此题考查基本作图问题，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．
18．（6分）列方程（组）解应用题：
德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．
【分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．
【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，
由题意，得 +36＝ ．
解得x＝1．
经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．
所以1.8x＝1.8（千米/分钟）．
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
19．（7分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∴tan60°＝ ＝ ，
∴AD＝ ，
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴tan45°＝ ＝1，
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝ +BD＝80，
∴BD＝120﹣40 ，
∴BC＝ BC＝120 ﹣40 ，
答：BC的距离是（120 ﹣40 ）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（7分）如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝ 的图象经过点B和D，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）AB所在直线的函数表达式．

【分析】（1）根据题意得出AE＝6，结合平行四边形的面积得出AD＝BC＝4，继而知点D坐标，从而得出反比例函数解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）∵顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是﹣4，
∴AE＝6，
又▱ABCD的面积是24，
∴AD＝BC＝4，
则D（4，2）
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数解析式为y＝ ；

（2）由题意知B的纵坐标为﹣4，
∴其横坐标为﹣2，
则B（﹣2，﹣4），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
将A（0，2）、B（﹣2，﹣4）代入，得： ，
解得： ，
所以AB所在直线解析式为y＝3x+2．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．
21．（10分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了“读书感悟•分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；
        频数        频率
A        4       
B               
C        a        0.3
D        16        b
（1）求a，b的值；
（2）求B等级对应扇形圆心角的度数；
（3）学校要从A等级的学生中随机选取2人参加市级比赛，求A等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．

【分析】（1）根据A等级有4人，所占的百分比是10%即可求得总人数，然后求得a和b的值；
（2）首先计算出B等级频数，再利用360°乘以对应的百分比即可求得B等级所对应的圆心角度数；
（3）利用列举法求得选中A等级的小明的概率．
【解答】解：（1）总人数：4÷10%＝40，
a＝40×0.3＝12，
b＝ ＝0.4；

（2）B的频数：40﹣4﹣12﹣16＝8，
B等级对应扇形圆心角的度数： ×360°＝72°；

（3）用a表示小明，用b、c、d表示另外三名同学．
则选中小明的概率是： ＝ ．

【点评】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图以及树状图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（10分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3 ，GB＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BF＝ ＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABG＝∠A+∠C，
∴∠ABG＝2∠C；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3 ，GB＝6，
∴BF＝ ＝3，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OE＝6，
∴⊙O的半径为6．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．

（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；
（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝6 ，AD＝3，求△PDE的面积．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，求得∠BAE＝∠DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，求得∠EPD＝90°，得到DE＝3 ，AB＝6，求得BD＝6﹣3＝3，CD＝ ＝3 ，根据相似三角形的性质得到PD＝ ，PB＝ 根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，
即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE与△ADC中， ，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴BP⊥CD；
（2）在△ABE与△ACD中， ，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠CAB＝90°，
∴∠EPD＝90°，
∵BC＝6 ，AD＝3，
∴DE＝3 ，AB＝6，
∴BD＝6﹣3＝3，CD＝ ＝3 ，
∵△BDP∽△CDA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴PD＝ ，PB＝
∴PE＝3 ﹣ ＝ ，
∴△PDE的面积＝ × × ＝ ．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝ OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；
（2）PE＝ OD，则PE＝（ x2+ x﹣2﹣ x+2）＝ （﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE＝ PE×BD＝ （ x2+ x﹣2﹣ x+2）（﹣4﹣x），即可求解；
（3）BD＝1＝BM，则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1× ＝﹣ ，即可求解．
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），
则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），
即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为：y＝ x2+ x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣ x﹣2，则tan∠ABC＝ ，则sin∠ABC＝ ，
设点D（x，0），则点P（x， x2+ x﹣2），点E（x， x﹣2），
∵PE＝ OD，
∴PE＝（ x2+ x﹣2﹣ x+2）＝ （﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），
即点D（﹣5，0）
S△PBE＝ ×PE×BD＝ （ x2+ x﹣2﹣ x+2）（﹣4﹣x）＝ ；
（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情况，

BD＝1＝BM，
则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1× ＝﹣ ，
则xM＝﹣ ，
故点M（﹣ ，﹣ ）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

水水水

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2020-4-17 21:56 上传

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