最新北师大版八年级数学下册5.3 第2课时 异分母分式的加减教学设计及反思word下载

水水水

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第2课时　异分母分式的加减

1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)
2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)　　　　　　　　　　　　　　　
一、情境导入
小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x＋1－2x－1呢？
二、合作探究
探究点一：分式的通分
【类型一】 最简公分母
  分式1x2－3x与2x2－9的最简公分母是________．
解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．
方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．
【类型二】 分母是单项式分式的通分
  通分．
(1)cbd，ac2b2；
(2)b2a2c，2a3bc2；
(3)45y2z，310xy2，5－2xz2.
解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．
解：(1)最简公分母是2b2d，cbd＝2bc2b2d，ac2b2＝acd2b2d；
(2)最简公分母是6a2bc2，b2a2c＝3b2c6a2bc2，2a3bc2＝4a36a2bc2；
(3)最简公分母是10xy2z2，45y2z＝8xz10xy2z2，310xy2＝3z210xy2z2，5－2xz2＝－－25y210xy2z2.
方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
【类型三】 分母是多项式分式的通分
  通分．
(1)a2（a＋1），1a2－a；
(2)2mn4m2－9，3m4m2－6m＋9.
解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．
解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
a2（a＋1）＝a2（a－1）2a（a＋1）（a－1），
1a2－a＝2（a＋1）2a（a＋1）（a－1）；
(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，
2mn4m2－9＝2mn（2m－3）（2m＋3）（2m－3）2，3m4m2－6m＋9＝3m（2m＋3）（2m＋3）（2m－3）2.
方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
探究点二：异分母分式的加减法
【类型一】 异分母分式的加减法运算
  计算：
(1)xx2－4－2x2＋4x＋4；
(2)a2－4a＋2＋a＋2；
(3)mm－n－nm＋n＋2mnm2－n2.
解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．
解：(1)原式＝x（x＋2）（x－2）－2（x＋2）2
＝x（x＋2）（x＋2）2（x－2）－2（x－2）（x＋2）2（x－2）
＝x（x＋2）－2（x－2）（x＋2）2（x－2）＝x2＋4（x＋2）2（x－2）；
(2)原式＝a2－4＋（a＋2）2a＋2＝2a（a＋2）a＋2＝2a；
(3)原式＝m（m＋n）（m＋n）（m－n）－n（m－n）（m＋n）（m－n）＋2mn（m＋n）（m－n）＝m2＋2mn＋n2（m＋n）（m－n）＝m＋nm－n.
方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．
【类型二】 分式的混合运算
  计算：
(1)(x2－4x＋4x2－4－xx＋2)÷x－1x＋2；
(2)a－52a－6÷(16a－3－a－3)．
解：(1)原式＝[（x－2）2（x－2）（x＋2）－xx＋2]÷x－1x＋2
＝(x－2x＋2－xx＋2)÷x－1x＋2＝－2x＋2•x＋2x－1＝－2x－1；
(2)原式＝a－52a－6÷(16a－3－a2－9a－3)
＝a－52（a－3）÷（5＋a）（5－a）a－3
＝a－52（a－3）•a－3（5＋a）（5－a）
＝－110＋2a.
方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．
探究点三：分式运算的化简求值
【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值
  先化简，再求值：(1x－y＋1x＋y)÷2xx2＋2xy＋y2，其中x＝1，y＝－2.
解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．
解：原式＝2x（x－y）（x＋y）•（x＋y）22x＝x＋yx－y，
当x＝1，y＝－2时，原式＝1＋（－2）1－（－2）＝－13.
方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．
【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值
  先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：2x＋6x2－4x＋4•x－2x2＋3x－1x－2.
解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．
解：原式＝2（x＋3）（x－2）2•x－2x（x＋3）－1x－2
＝2x（x－2）－1x－2
＝2－xx（x－2）
＝－1x.
当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)
方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．
【类型三】 整体代入求值
  已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1•a2－2a＋1（a＋1）（a＋3）的值．
解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．
解：1a＋1－a＋3a2－1•a2－2a＋1（a＋1）（a＋3）＝1a＋1－a＋3（a＋1）（a－1）•（a－1）2（a＋1）（a＋3）＝1a＋1－a－1（a＋1）2＝2（a＋1）2＝2a2＋2a＋1.
∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝28＋1＝29.
方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．
探究点四：运用分式解决实际问题
  有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？
解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．
解：设两次航行的路程都为s.
第一次所用时间为sv＋a＋sv－a＝2vsv2－a2，
第二次所用时间为sv＋b＋sv－b＝2vsv2－b2，
∵b＞a，∴b2＞a2，
∴v2－b2＜v2－a2，
∴2vsv2－b2＞2vsv2－a2.
∴第一次的时间要短些．
方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．
三、板书设计
1．分式的通分
2．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．
3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．

对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.

水水水

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2020-4-12 19:54 上传

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