数学人教八年级下第17章勾股定理单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
1．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )．
A．6,7,8 B．5,6,7 C．4,5,6 D．3,4,5
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a∶b＝3∶4，c＝10，则△ABC的面积为( )．
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为有理数的边数为( )．
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
5．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，则下列结论错误的是( )．
A．若a＝b，则|a|＝|b| B．全等三角形的周长相等
C．若a＝0，则ab＝0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
7．三角形的三边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
8．如图所示，直线l上有三个正方形a， b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )．
二、填空题(每小题4分，共20分)[来源:数理化网]
9．如图，一棵树在离地面3米处断裂，树的顶部落在离底部4米处，树折断之前有__________米高．
10．命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是__________，它是__________命题．
11．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．若AE＝a，AB＝b，BF＝c，请写出a，b，c之间的一个等量关系为__________．
12．在同一地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少飞了________米．
13．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.
14．(本小题满分10分)如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
15．(本小题满分10分)为了减少交通事故的发生，“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30 m处，过了2 s后，测得小汽车与车速监测仪的距离为50 m，问这辆小汽车超速了吗？
16．(本小题满分12分)如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN＝ AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
利用图2中的直角梯形，我们可以证明 .其证明步骤如下：
又∵在直角梯形ABCD中有BC__________AD(填大小关系)，即__________，
18．(本小题满分12分)如图，正方形网格MNPQ中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
(1)设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
(2)设MB＝a，BQ＝b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？
2. 答案：B 设a＝3x(x＞0)，则b＝4x.根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝102.求得△ABC的两直角边的长分别为6和8，其面积为24.
3. 答案：B 由勾股定理，得AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ＝5.由此可以看出，只有AC的长度是有理数．
4. 答案：B 由勾股定理得，AB＝ ＝10 cm，由折叠知AC＝AE＝6 cm，设CD＝DE＝x cm，则BE＝AB－AE＝4 cm，DB＝(8－x) cm.
即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.故CD＝3 cm.
5. 答案：B 因为AB2＋BC2＝82＋152＝172＝AC2，所以△ABC是直角三角形，且AC为斜边，AC所对的角∠B＝90°，△ABC的面积＝ AB·BC＝60，无法推出∠A＝60°.
6. 答案：D A的逆命题是若|a|＝|b|，则a＝b.假命题；B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形．假命题；C的逆命题是若ab＝0，则a＝0.假命题；D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等．真命题．
7. 答案：B (a＋b)2－c2＝2ab，则a2＋b2＋2ab－c 2＝2ab，
8. 答案：C 由题意易得图形中的两个直角三角形是全等的．
所以由勾股定理可得Sb＝Sa＋Sc＝5＋11＝16.[来源:数理化网]
10. 答案：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一 半，那么这条直角边所对的角等于30° 真 把题中的结论作为条件，把条件作为结论，可知此命题为真命题．
11. 答案：c2＝a2＋b2 在Rt△A′B′E中，A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b，
13. 答案：25 如图，由题意知AC＝20，BC＝15，则AB＝ ＝25.
14. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝ ＝30(m)．
因为20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，
由勾股定理得，MN2＝5a2.同理可得CN2＝25a2，
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
[尝试证明]∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∠EDC＋∠DEC＝90° ，
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，
∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c2.
18. 解：(1)①S△ABQ＝ AQ·BQ＝ ×3×4＝6，
②S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP＝72－6－6－6－6＝25.
S正方形ABCD＝S正方形MNPQ－S△ABQ－S△BCM－S△CDN－S△ADP，即c2＝ (a＋b)2－ ab－ ab－ ab－ ab，
即直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边长的平方．
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