小学数学论文欣赏：例谈整数笔算教学中算法的抽象

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作者:高邮市实验小学（蓓蕾学校） 徐宏臻
现在的计算课，尤其是起始课，许多老师比较重视算理的教学，或让学生操作学具、算珠，或观察教具演示、图片，或联系已有的数学活动经验等探明算理，也比较重视算法的不断运用，但往往不太重视算法的逐步抽象。笔者在听课中时常发现，许多老师把算法抽象得太快，像走过场。在让学生自主探索算法，相互交流和比较算法后，教师就迅速引导学生优化算法，牵引学生向最简洁的一般算法靠拢。教师没有在直观算理和抽象算法之间架设多座“桥梁”，引导学生逐步经历比较、优化和演变的过程，使学生有充分的感悟、体验和发现的机会，致使许多学生迷糊地接受算法，机械地记忆算法，生硬地套用算法，计算中经常发生理解上的错误。这样的教学容易挫伤学生学习的积极性，  影响学生计算技能的形成和数学思维的发展，也不利于学生以后自主迁移和创造。为此，笔者认为，算法抽象要慢些走。教师要积极引导学生充分经历算法的逐步优化和抽象过程，在此过程中增加学生的活动经验，增强学生的深度体验，发展学生的数学思考，让学生学会自主探索，学会数学表达，形成运算意识和技能。

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如在教学“两位数乘一位数(不进位)”笔算时，笔者发现一些学生在巩固练习阶段，经常发生这样的错误：

尽管老师在纠错时，反复强调应该用十位上的“1”乘“4”，得“4”个十，这个“4”要写在十位上，但学生再次练习时，错误依旧。究其原因，从表面上看是学生受加法竖式计算的定势影响，把乘法算法与加法混淆了，实际上是教师把乘法算法硬塞给学生，学生还不懂得乘法算式和算法的意义，还不知道算理是如何过渡到算法的。
其实，儿童的思维还处在以具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上要依赖于形象或表象的支撑，可以说，动作思维、形象思维或表象思维在低年级儿童思维中占有很大的比重。过早的抽象会增加学生理解的难度和记忆的负担。为此，教师要充分尊重儿童的思维特点和认知风格，在形象思维与抽象思维之间铺路架桥。
我们在具体教学时，要让学生在充分理解算理的基础上，先自主探索算法，再相互交流和比较算法，并不断优化和提取算法，最后逐步抽象和概括出算法，要让学生切实体验到过渡和演变的过程，以获得对算理的深层理解和对算法的切实掌握。补救措施可如下：
1．再次理解并外化意义。
教师首先要让学生准确理解算式的意义，在算式和算理之间自觉转换。如让学生知道12×4表示求4个12相加的和是多少，与12+4的意义不同。在此基础上引导学生外化意义，或用4个12连加、或操作、或画图、或想象成如下图。

这样便于学生利用直观算理抽象算法，培养学生的数感。

2．再次交流并比较算法。
对于如何计算12×4，教师仍要放手让学生自主探索算法，并通过交流和比较来逐步优化算法。学生出现如下算法：

教师引导学生通过比较，再次感到用画图和加法计算都比较麻烦，用乘法竖式计算简便些，而第④种算法更简单。教师还要引导学生进一步思考：类似的乘法竖式计算中是不是还有相同的现象?为此，需要继续研究。
3．再次优化并提炼算法。
教师引导学生尝试用两种乘法竖式计算其他类似的算式，如11×9等：

这样便于学生进一步强化算理，不断优化并提炼出最简便的一般算法。学生通过多次观察和比较，采用不完全归纳法得到：可以把十位上的数乘一位数所得的积的十位上的数字直接写在十位上，从而得到最简化的竖式。

4．再次反思并理解算法。

教师还要启发学生思考：用这样的竖式简算的根据是什么?教师要结合具体的竖式，如12×4的竖式，借助直观算理，使学生感悟到：竖式中的2×4表示求4个2的和是多少，得8个一，因此，8要写在个位上；竖式中的l×4实际上表示的是求4个10的和是多少，得4个十，因此，4要写在十位上；最后把两次所得的积合并。这样学生才会在抽象算法与直观算理之间建立实质性的有意义的联系，才会对算法不但知其然，而且知其所以然，还知道算法是如何演变过来的。

5．再次抽象并概括算法。
此时，用最简的一般算法进行计算已经成为学生的自觉选择，算法总结也呼之欲出。学生完全可以结合自己的体验和发现，很快地概括出算法。即使以后遗忘了算法，自己也能很快地探索出来。
以上引导，再次从具体到抽象，从个别到一般，从感性到理性，竖式由繁到简，学生充分经历了算法的不断建构过程，逐步建立了基本的算法模型，获得了对算理和算法的深层理解。学生从中还学会了比较、优化、概括和归纳，学会了数学化地表达，这将非常有利于学生的自主迁移和创造，也有利于其灵活地运用算法进行计算。