人教版初中九年级数学下册全册教案下载合集

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即热气球升空点A与着火点B的距离为980（1+ ）m．
    17．过A点作AE⊥CD，垂足为E，则四边形ABCE是矩形．
    ∴AB=CE=25m，AE=BC=150m．  在Rt△AED中，∠DAE=20°，AE=150m．
    ∴DE=AE?tan∠DAE=150×tan20°≈150×0.3640=54.6m，
    CD=CE+ED=25+54.6≈80（m）．  即烟囱CD的高度约为80m．
    18．（1）α=29°18′，β=33°59′．
        （2）x=（cot29°18′?tan33°59′-1）×153.48≈30.88（m）．
    19．（1）如图在距电线杆足够远E处（安全地带）放一标杆EF，用测角仪从标杆EF的顶端测得电线杆顶端A的仰角为β，向后退bm到C处，再放一标杆CD，用测角仪从D处测得电线杆顶端A的仰角为α．
    （2）量得标杆长度为am．
    （3）由于cotα=  ．
    ∴DM=AM?cotα，FM=AM?cotβ．
    ∴AM?cotα-AM?cot=b．
    ∴AM=  
    ∴电线杆的高h=a+
第4课时  方位角与方向角问题
    复习引入
    本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
    探究新知
    （一）方位角与方向角
    1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
                     
              图28．2-1                            图28．2-2
    2．方位角
    教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
    （二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
    教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
    解题时一般有以下三个步骤：
    1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
    2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
    3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．
    （三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）

    教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
    教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
    解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，
    PC=PA?cos（90°-65°）
    =80×cos25°≈80×0.91=72.8．
    在Rt△BPC中，∠B=34°，
    ∵sinB= ，
    ∴PB= ≈130.23．
    因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
            
              图28．2-9                         图28．2-10
    与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．

   图28．2-11
    在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．
    然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
    以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
    随堂练习
    课本第95页练习第1题、第2题．
    课时总结
    利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
   

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1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
    2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
    3．得到数学问题的答案．
    4．得到实际问题的答案．
    教后反思:
    ________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
    第4课时作业设计
    课本练习
    课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
    双基与中考
    一、选择题．
    1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（  ）．
      A．南偏西35°     B．东偏西35°    C．南偏东55°     D．南偏东35°
                    
     (第1题)                  (第5题)                 (第8题)
    2．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（  ）．
      A．甲的最高     B．乙的最低      C．丙的最低     D．乙的最高
    3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（  ）．
      A．5<h≤10      B．10≤h≤10     C．10<h<15    D．h>10
    4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（  ）．
      A．30°     B．45°     C．60°    D．无法确定
    5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（  ）．
      A．42m     B．（30+24 ）m     C．78m     D．（30+8 ）m
    6．△ABC中，已知 +（tanB- ）2=0且AB=4，则△ABC的面积是（  ）．
      A．4         B．4      C．2     D．2
    7．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（  ）．
      A．7       B．14      C．7      D．14
    8．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（  ）．
      A．1.8tan80°m             B．1.8cos80°m
      C．                  D．1.8cot80°m
    9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（  ）．
    A．4sin54°    B．4cos63°     C．8sin27°     D．8cos27°
    10．如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是（  ）．
A．20海里     B．36海里     C．72海里    D．40海里
           
           (第10题)                     (第11题)
    11．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算电线杆AB的高为（  ）．
      A．5米     B．6米     C．7米     D．8米
    二、填空题．
    12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m，则旗杆高度为______m．（用含根号的式子表示）
    13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．
    14．如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD，根据图示数据得下底宽AD=______米．
              
                    (第14题)                     (第15题)
    15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=30°，则顶点B的坐标是________．
16．如图，燕尾槽的外口宽AD=90mm，深为70mm，燕尾角为60°，则里口宽为________．
              
                 (第16题)                        (第17题)
    17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．
    三、解答题．
    18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）

   

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19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？

答案：
    一、1．D  2．D  3．B  4．A  5．C  6．A  7．A  8．D  9．C  10．D  11．D
二、12．8 +   13． a米  14．29.2  15．（3+4 ，3 ）  
16．（90+ ）mm  17．500（1+ ）m
    三、18．由题意可知：
    OA=16．1×2=32.2（海里）．
    ∠1=32°，∠2=58°．
    ∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）
    =180°-（32°+58°）=90°．
    由B在A的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．
    又∵在Rt△AOB中，tanA= ，
    ∴OB=OA?tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．
    ∴v= =19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．
    即：乙船的速度约为10.0海里/小时．
    19．过点C作CD⊥AB于D，CD= -1>0.7，这条公路不会穿过公园．


小结与复习
知识结构

    基础知识
    1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，
    ∠A+∠B=90°，  a2+b2=c2，
    sinA=cosB= ，   cosA=sinB= ，
    tanA=cotB= ，   cosA=tanB= ．
    2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
    3．同角三角函数间的关系：
    sin2A+cos2A=1，tanA?cotA=1，tanA= ．
    4．特殊角的三角函数
三角函数        0°        30°        45°        60°        90°
  sinα         0          
  
  
1
  cosα         1          
  
  
0
  tanα         0          
1          
不存在
  cotα        不存在          
1          
  0
    解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型        已知条件        解法
两边        两直角边a、b        c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A        一直角边a，斜边c        b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A一边一锐角        一直角边a，锐角A        ∠B=90°-∠A，b=a?cotA，c=         斜边c，锐角A        ∠B=90°-∠A，a=c?sinA，
b=c?cosA
    解直角三角形注意点
    1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
    2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
    3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
    4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
    5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
    6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
    7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
    应用题解题步骤
    度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
    第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
    第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
    第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
    第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
    思想方法总结
    1．转化思想
    转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
    2．数形结合思想
    本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
    3．函数思想
    锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
    4．方程思想
    在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
    中考新题型
    例1  计算：
     （1）sin230°-cos45°?tan60°
（2）
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
    解：（1）sin30°-cos45°?tan60°= - × = -
    （2）原式= +1-3×（ ）2+2  = +1-1+2（1- ）=2

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   说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
    例2  如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
    分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．
    解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
    ∴BC=AB?sinα=200sin30°=100（米）．
    在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
    ∴DF=BD?sinβ=200?sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
    ∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
    答：缆车垂直上升了246.28米．
    说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．

    课时作业设计
    本章单元测试．
    单元测试
    一、选择题．
    1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA= ，则BC等于（  ）．
      A．45      B．5      C．        D．
    2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA= ，则cosA等于（  ）．
      A．       B．        C．        D．
    3．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（  ）．
      A．15sin50°米     B．15cos50°米；  C．15tan50°米     D．15cot50°米
           
         (第3题)               (第6题)                 (第7题)
    4．如果sin2a+sin230°=1，那么锐角a的度数是（  ）．
      A．15°      B．30°      C．45°     D．60°
    5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值为（  ）．
      A．         B．           C．          D．1
    6．如图，为了测量河两岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（  ）．
      A．a?sina     B．a?cosa     C．a?tana     D．a?cota
    7．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC=4，BC=3，则sin∠ACD的值为（  ）．
      A．        B．         C．         D．
    8．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是（  ）．
      A．2cm     B．4cm     C．6cm     D．8cm
    9．在△ABC中，sinB=cos（90°-C）= ，那么△ABC是（  ）．
      A．等腰三角形    B．等边三角形
      C．直角三角形    D．等腰直角三角形
    10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（  ）．
    A．sinA=      B．cosA=     C．tanA=     D．cotA=
    11．如图，为测楼房BC的高，在距离房30米的A处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC的高为（  ）．
A．30tanα米     B． 米
           
                  (第11题)                    (第12题)
    12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（  ）．
      A．        B．2      C．1     D．2
    二、填空题．
    13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，那么PP′的长为________．
（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°= ）
              
          (第13题)              (第14题)              (第21题)
    14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）
    15．sin30°=________．
    16．用计算器计算： sin40°=________．（精确到0.01）
    17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．
    18．锐角A满足2sin（A-15°）= ，则∠A=________．
    19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．
    20．已知A是锐角，且sinA= ，则cos（90°-A）=________．
    21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．
    三、计算题．
22．计算： -2sin60°-（ +2）．


23．计算：cos60°+ - -2-1．


24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．


（2）



25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．



    四、解答题．

admin

26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°，问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？（ 取1.73）



27．我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（计算结果保留根号）

    28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，求拉线下端点A与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）












答案：
    一、1．B  2．B  3．C  4．D  5．B  6．C  7．C  8．B  9．A  10．B  11．A  12．B
    二、13． -   14．2.38  15．   16．1.10  17．   18．75°  19． -2  20．   21．5
    三、22．解： -2sin60°-（ +2）0=2 - -1= -1．
      23．解：原式= + -2 - =- ．
      24．（1）   （2）1    25．θ=45°．
    四、26．过点C作CE⊥AB于E，Rt△CBE中，tan30°= ，
    ∴BE=CE?tan30°= ．
    Rt△CAE中，tan60°= ，
    ∴AE=CE?tan60°=3 ．
    ∴AB=AE+BE=4 ≈4×1.73=6.92<8．
    ∴保护物不在危险区．
    27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，
    ∴BC=DC=50．
    在Rt△ADC中，AC=CD×tan∠ADC=50 ．
    AB=AC-BC=50（ -1）（米）．
    答：该船在这段时间内的航程为50（ -1）米．
    28．解：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．
    ∵tan∠CAD= ，
    ∴AD= ≈3.12（米）．
    答：拉线下端点A与杆底D的距离AD约为3.12米．








【锐角三角函数全章教案】
锐角三角函数（第一课时）
教学三维目标：
一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
教学程序：
一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
      siaA= ,cosA= ,tanA=
3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。




4.学生练习P21练习1，2，3
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45°     tan60°
归纳结果
        30°        45°        60°
siaA                       
cosA                       
tanA                       

2. 求下列各式的值
（1）sia 30°+cos30°（2） sia 45°- cos30°(3) +ta60°-tan30°
三．拓展提高P82例4.（略）
1.        如图在⊿ABC中,∠A=30°,tanB= ,AC=2 ,求AB
四．小结
五．作业课本p85－86  2,3,6,7,8,10













解直角三角形应用（一）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系      sinA=   cosA=   tanA=
(2)三边之间关系
a2  +b2  =c2 (勾股定理)         
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例  1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=      a= ，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=  20   =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．

admin

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
   (四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．            2解决问题要结合图形。
四、布置作业
．p96   第1，2题













解直三角形应用（二）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=    AB= = =4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。

．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式        sinA=
来解决的两个实际问题即已知 和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60 ，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
（2）．请学生结合图形独立完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题
  












解直三角形应用（三）
（一）教学三维目标
(一)知识目标

admin

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34 方向上的B处。这时，海轮所在的B
处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，
已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
  





















解直三角形应用（四）
一．教学三维目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例  燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．

分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．