湘教版初中八年级下数学册全册教案免费下载合集

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例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（x2 -5x ）的值．
    分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x= ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0      
∴4x2-4x+1+y2-6y+9=0
        ∴（2x-1）2+（y-3）2=0
        ∴x= ，y=3
    原式= +y2 -x2 +5x
    =2x + -x +5
    =x +6
    当x= ，y=3时，
    原式= × +6 = +3

五、归纳小结   本节课应掌握：
（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
    六、布置作业      1．教材习题  1、2、3、5．         2．选作课时作业设计．
    第一课时作业设计
    一、选择题
    1．以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是（  ）．
      A．①和②    B．②和③     C．①和④    D．③和④
    2．下列各式：①3 +3=6 ；②  =1；③ + = =2 ；④ =2 ，其中错误的有（  ）．         A．3个    B．2个    C．1个    D．0个
    二、填空题
    1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
    2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
    三、综合提高题
    1．已知 ≈2.236，求（ - ）-（ + ）的值．（结果精确到0.01）
    2．先化简，再求值．   （6x + ）-（4x + ），其中x= ，y=27．
答案:  一、1．C  2．A         二、1．        2．6 -2
    三、1．原式=4 -  -  -  =  ≈ ×2.236≈0.45
2．原式=6 +3 -（4 +6 ）=（6+3-4-6） =- ，
当x= ，y=27时，原式=- =-  

4.3 二次根式的加、减法（第二课时）
    教学内容   利用二次根式化简的数学思想解应用题．
    教学目标   运用二次根式、化简解应用题．
               通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
    重难点关键  讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
    教学过程
    一、复习引入
    上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）


    分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
    解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
    则有PB=x，BQ=2x      依题意，得： x?2x=35       x2=35         x=
   所以 秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
    PQ= =5
答： 秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 厘米．


    例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．

    解：由勾股定理，得                                
  AB= =2
    BC= =
    所需钢材长度为
AB+BC+AC+BD  =2 + +5+2  =3
≈3×2.24+7≈13.7（m）

    答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．
    三、巩固练习    练习3
    四、应用拓展
    例3．若最简根式 与根式 是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
    分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式 不是最简二次根式，因此把 化简成|b|? ，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
    解：首先把根式 化为最简二次根式：
     = =|b|?
    由题意得        ∴         ∴a=1，b=1
    五、归纳小结      本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
    六、布置作业          1． 7．            2．选用课时作业设计．
    作业设计
    一、选择题
    1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（  ）．（结果用最简二次根式表示）   A．5       B．       C．2       D．以上都不对
    2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（  ）米．（结果同最简二次根式表示）
      A．13       B．       C．10       D．5
    二、填空题
    1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
    2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 ，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
    三、综合提高题
    1．若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值．
   

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2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
    （ -1）2=（ ）2-2?1? +12=2-2 +1=3-2
    反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
    ∴3-2 =（ -1）2             ∴ = -1

求：（1） ；

（2） ；

（3）你会算 吗？
（4）若 = ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
答案:   一、1．A  2．C   二、1．20   2．2+2
三、1．依题意，得  ，  ，  
所以 或  或  或
2．（1） = = +1  （2） = = +1
（3） = = -1  
（4）   理由：两边平方得a±2 =m+n±2     所以

4.3 二次根式的加、减法（第三课时）
    教学内容   ： 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
    教学目标
    含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
    复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
    重难点关键     重   点： 二次根式的乘除、乘方等运算规律；
                   难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
    教学过程
    一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题:
    1．计算     （1）（2x+y）?zx    （2）（2x2y+3xy2）÷xy
    2．计算     （1）（2x+3y）（2x-3y）    （2）（2x+1）2+（2x-1）2
    老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
    二、探索新知
    如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
    整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
    例1．计算:   （1）（ + ）×     （2）（4 -3 ）÷2
    分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
    解：（1）（ + ）× = × + ×
    = + =3 +2
    解：（4 -3 ）÷2 =4 ÷2 -3 ÷2
    =2 -
    例2．计算         （1）（ +6）（3- ）     （2）（ + ）（ - ）
    分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
    解：（1）（ +6）（3- ） =3 -（ ）2+18-6  =13-3
    （2）（ + ）（ - ）=（ ）2-（ ）2 =10-7=3
    三、巩固练习       练习1、2．
    四、应用拓展
例3．已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简 + ，并求值．
    分析：由于（ + ）（ - ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式= +

= +
    =（x+1）+x-2 +x+2  
=4x+2
    ∵ =2-
    ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
    ∴bx-b2=2ab-ax+a2
    ∴（a+b）x=a2+2ab+b2
    ∴（a+b）x=（a+b）2
    ∵a+b≠0
    ∴x=a+b
    ∴原式=4x+2=4（a+b）+2

    五、归纳小结     本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
    六、布置作业  1．教材  1、8、9．      2．选用课时作业设计．
作业设计
    一、选择题               1．（ -3 +2 ）× 的值是（  ）．
      A．  -3     B．3 -      C．2 -       D．  -
    2．计算（ + ）（ - ）的值是（  ）． A．2     B．3     C．4     D．1
    二、填空题        1．（- + ）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2 ）（1+2 ）-（2 -1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
    3．若x= -1，则x2+2x+1=________． 4．已知a=3+2 ，b=3-2 ，则a2b-ab2=_________．
    三、综合提高题              1．化简
    2．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
    课外知识
    1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
    练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ）．
A． 与      B． 与      C． 与      D． 与
    2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1- 与x+1+ 就是互为有理化因式； 与 也是互为有理化因式．
    练习： + 的有理化因式是________； x- 的有理化因式是_________．
    - - 的有理化因式是_______．
    3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
    练习：把下列各式的分母有理化
    （1） ；   （2） ；  （3） ；   （4） ．
    4．其它材料：如果n是任意正整数，那么 =n
    理由： = =n
    练习：填空 =_______； =________； =_______．

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答案: 一、1．A  2．D           二、1．1-   2．4 -24    3．2  4．4
三、1．原式＝  = =
=-（ - ）= -
2．原式＝ = =
= 2（2x+1）
    ∵x= = +1  原式＝2（2 +3）=4 +6.
5.1概率的概念
教学目标：       
了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点.
学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力.
重点、难点：
重点：随机事件的特点.   难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件.
教学过程
【问题情境】  摸球游戏
三个不透明的袋子均装有10个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏.
游戏规则
每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前面的试验.每人摸球5次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最少的为第三名.
         教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球.
    学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的,在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第3个袋子中摸出黄色球是必然的.
教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.
         通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧妙地实现从实践认识到理性认识的过渡.
决定性事件：肯定会出现的的一些事件就叫决定性事件.
随机事件：在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随“机遇”而定，带有偶然性，这种事件叫做随机事件.
【问题情境】
指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？

1.通常加热到100°C时，水沸腾；
2.姚明在罚球线上投篮一次，命中；
3.掷一次骰子，向上的一面是6点；
4.度量三角形的内角和，结果是360°；
5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；
6.某射击运动员射击一次，命中靶心；
7.太阳东升西落；
8.人离开水可以正常生活100天；
9.正月十五雪打灯；
10.宇宙飞船的速度比飞机快.       

教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性.
    学生积极思考,回答问题,进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件的特点.在比较充分的感知下，达到加深理解的目的.
教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存在着随机事件.       
引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程, 同时引入一些常识问题,使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具.
概率：在随机事件中，一个事件发生的可能性的大小叫作这个事件的概率.
在随机事件中，做了大量的试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的估计值.
【问题情境】
情境1
5名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签.
    情境2
小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.
在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件.
学生首先独立思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布.
开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加深对学习内容的理解.
【问题情境】
   请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件.
教师引导学生充分交流，热烈讨论.
随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识.
归纳小结
决定性事件：肯定会出现的的一些事件就叫决定性事件.
随机事件：在基本条件相同的情况下，可能出现不同的结果，究竟出现哪一种结果，随“机遇”而定，带有偶然性，这种事件叫做随机事件.
概率：在随机事件中，一个事件发生的可能性的大小叫作这个事件的概率.
在随机事件中，做了大量的试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的估计值.
5.2概率的含义
教学目标:
知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
在具体情境中了解概率的意义
让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.
重点难点      重点：在具体情境中了解概率含义.   难点：对频率与概率关系的初步理解
教学过程
一、创设情境，引出问题
教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.
学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？

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由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大
在学生讨论发言后，教师评价归纳.
用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.
质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？
引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.
二 、动手实践，合作探究
1．教师布置试验任务.
（1）明确规则.
把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.
（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..
2．教师巡视学生分组试验情况.    注意：
（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.
（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.
3.各组汇报实验结果.
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因.
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导他们小组合作，进一步探究.
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作.
4．全班交流.
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.
表25-2
抛掷次数         50        100        150        200        250        300        350        400        450        500
“正面向上”的频数                                                                                
“正面向上”的频率                                                                                 













想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.
想一想2（投影出示）
随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）.
表25-3
试验者        抛掷次数（n）        “正面朝上”次数（m）        “正面向上”频率（m/n）
棣莫弗        2048        1061        0.518
布丰        4040        2048        0.5069
费勒        10000        4979        0.4979
皮尔逊        12000        6019        0.5016
皮尔逊        24000        12012        0.5005
通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.
在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.
5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.
教师归纳：
（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.
三、评价概括，揭示新知
问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？
学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.
通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.
归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.  
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率  会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.
注意指出：
1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.

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2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
想一想(学生交流讨论)
问题2．频率与概率有什么区别与联系?
从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.
四．练习巩固，发展提高.
学生练习   1．书上P143.练习.1.  巩固用频率估计概率的方法.
2．书上P143.练习.2   巩固对概率意义的理解.
教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题.
五．归纳总结，交流收获：
1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.
2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.

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