湘教版初中八年级下数学册全册教案免费下载合集

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菱形的面积的求法：（课件展示）如图，菱形ABCD被它的两条对角线分成四个直角三角形，它们全等吗？为什么？如果知道了菱形ABCD的两条对角线的长度，你能算出菱形ABCD的面积吗？（让学生思考交流）然后师生共同分析并展示推演过程。并一起总结结论：菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。
三、实际应用，巩固新知
1、        展示书中例1：学生思考回答，然后展示解答过程。
2、        学生独立完成书91页练习，师生一起订正。
四、归纳小结，教学反思：
  1、你对菱形知多少？请你谈一谈。
★         从概念上来谈——
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
●        从性质上来谈——
①、菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心;
②、菱形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.
③、菱形的四边都相等；
④、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；
⑤、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
※        从计算上来谈——
          菱形的面积等于它的对角线长的乘积的一半。即：设菱形的两对角线长分别为a，b，则它的面积S= ab.
五、强化训练，综合拓展：
    1、书93页  习题3.2 A 1、2
2、操作题：你能把有一个内角为72°的菱
形ABCD分成4个等腰三角形。


3.2.2菱形判定（1）
教学目的：
1、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形是菱形；
2、会用这些定理进行有关的论证和计算；
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。
教学重点：菱形的判定方法。     教学难点：定理的证明方法及运用。
教学程序
一、复习提问：
1．什么样的平行四边形是菱形？
2．菱形有什么性质？
3．有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？
二．新课讲解
设问：（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？有哪两个条件？
（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？
已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，
求证：平行四边形ABCD是菱形。
分析：我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD，得平行四边形ABCD是菱形。（I板书证明过程。）
方法二：四边相等的四边形的菱形。
设问：如何证明这个命题呢？（让学生思考并证明）
几何证言表达：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形。
小结：（1）菱形判定方法，填写下表。
        应具备两个条件
菱形的定义               
菱形判定方法一（定义）               
判定方法1               
判定方法2               
练习：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（       ）
（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（       ）
（3）两组对边分别平行，且对角线              的四边形是菱形。
（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（       ）
综合应用练习
(1)如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
四．作业布置



3.2．3菱形的判定（2）
教学目的：
1、理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些定理进行有关的论证和计算；
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点：菱形定义及其性质。
教学难点：性质的证明方法及运用。
教学程序：
一．引入新课
    1．提问：我们已经学习了矩形的性质，矩形有哪些性质呢？
2．矩形有哪些判定方法？
二．新课讲解
设问：菱形的定义是什么？它能否作为菱形的判定？有哪些条件？
    （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）性质1：（几何语言表达）已知：在菱形ABCD，求证：AB=BC=CD=DA。
（3）性质2：（让学生思考，然后板书证明过程。）
设问：菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简间写出推理的过程。）
（4）菱形的面积公式：  
例题讲解：（补充例题）分析解题过程并板书。


    （1）跟踪练习1，矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表。
矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表、填图：
        矩     形        菱     形
性     质               
判     定               
三．本课小结：
    菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）
性质1：菱形的四条边都相等；
性质2：菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
   四．作业布置  P94 A 3\4   B1\2

3.3矩形（1）第一课时
教学目标：
知识与技能目标：
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
过程与方法目标：
1．经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法.
2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想.
情感与态度目标：
1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.
教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握.

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教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用.
教学方法：    分析启发法
教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件.
教学过程设计：
一.  情境导入： 演示平行四边形活动框架，引入课题.
二．讲授新课：
1. 归纳矩形的定义：
问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.）
结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
2．探究矩形的性质：
（1）.  问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？（学生思考、回答.）  结论：矩形的四个角都是直角.
（2）. 探索矩形对角线的性质：
让学生进行如下操作后，思考以下问题：（幻灯片展示）
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
①. 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
③.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
        （学生操作，思考、交流、归纳.）
          结论：矩形的两条对角线相等.
（3）. 议一议：（展示问题，引导学生讨论 解决.）
①.  矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，简述你的理由.
②. 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？                                   
（4）. 归纳矩形的性质：（引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”.）
矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形.
例解：（性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能.）
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=OA=4
厘米.求BD与AD的长.
    （引导学生分析、解答.）
探索矩形的判别条件：（由修理桌子引出）
（1）. 想一想：（学生讨论、交流、共同学习）
对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？为什么？
结论：对角线相等的平行四边形是矩形.
  （理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.）
（2）. 归纳矩形的判别方法：（引导学生归纳）
           有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
           对角线相等的平行四边形是矩形.
三．课堂练习：（出示P98随堂练习题，学生思考、解答.）
四．新课小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
（师生共同从知识与思想方法两方面小结.）
五．作业设计：P99习题3.3第1、2、3题.
板书设计:
        4.  矩  形               
矩形的定义：
矩形的性质：        前面知识的小系统图示：        三.矩形的判别条件：        例1
课后反思：在平行四边形及菱形的教学后。学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证一些矩形的特殊性质。一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决。总的看来这节课学生掌握的还不错。当然合情推理的能力要慢慢的熟练。不可能一下就掌握熟练。

3.3 矩形（2）
教学目标
1 使学生掌握矩形的对称性，并会利用矩形的对称性解简单的几何问题。
2 感受矩形的对称美，
3 通过折纸发现矩形的轴对称性，培养学生动手操作的能力，感受知识的产生过称。
重点、难点：
重点：矩形的对称性的产生过程及应用     难点：矩形的轴对称性的证明和应用。
教学过程
一 创设情景，导入新课
1 复习：
（1）什么叫轴对称图形？怎样判断两点A,B关于直线l对称。
如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形.
连结A、B，如果直线l垂直AB且平分AB，那么点A、B关于直线l对称。
（2）什么叫矩形？矩形和平行四边形对比，共同的性质是什么？矩形独特的性质是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形和平行四边形共同的性质是：对边平行、对角相等，对角线互相平分。
矩形独特的性质是：矩形的对角线相等，矩形是四个角是直角。
（3）怎样判断一个四边形是矩形？
A 如果一个四边形是平行四边形，可以判断其中有一个角是直角或对角线相等。
B 如果一个四边形有一个角是直角，或对角线相等，可以判断它是平行四边形
2 矩形具有哪些对称性呢？这节课我们来学习这个问题。
二 合作交流，探究新知
1 矩形的轴对称性
（1）做一做：在纸上画一个矩形ABCD，把它剪下来。
①先沿着矩形的对角线所在直线折叠，观察对角线两旁的部分能否重合？由此你发现什么？（矩形的对角线所在直线不是矩形的对称轴）
②怎样折叠才能使折痕两旁的部分互相重合呢？试试看，你有几种方法？由此你发现了什么？
矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩形的对称轴。
（2）想一想：矩形为什么是轴对称图形，过每一组对边中点的直线为什么都是矩形的对称轴？你能说出理由吗？（交流讨论）
分析：设E、F、M、N分别是AB,CD，AD,BC的中点。要判断矩形关于直线EF对称，只需要判断点A、点B关于直线EF对称就可以了，怎样判断点A、点B关于直线EF对称呢？（交流讨论）（只需要判断直线EF垂直平分线段AB，）怎样判断直线EF垂直平分线段AB呢？（
（∵四边形ABCD是矩形，∴OA= AC=OB= BD,

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又∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB），你能写出证明过程吗？
解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA= AC=OB= BD,（矩形的对角线相等且互相平分）
   ∵E是AB的中点 ∴EF垂直平分AB（等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）
∴ 点A、B关于直线EF对称，同理：点C、D关于直线EF对称，
∴矩形关于直线EF对称，同理：矩形关于直线MN对称。
（3）得出结论：矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。
（4）矩形是中心对称图形吗？为什么？(因为矩形是平行四边形，所以矩形也是中心对称图形) 。
结论： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
2 矩形的两条对称轴把矩形分成的四个小矩形的关系.
观察：矩形的对称轴把矩形分成了四个小矩形，这四个小矩形全等吗？为什么？
∵矩形关于直线EF、MN对称，所以四边形AEOM，EBNO,NOFC,FOMD能够完全重合。因此这四个矩形全等。
三 应用迁移，巩固提高
例 如图，矩形ABCD被它的两条对称轴EF、MN，其中E、F、M、N分别在边AB、DC、AD、BC上，连结ME，EN，NF，FM.,试问：四边形MENF是什么样的四边形？（交流讨论）
估计学生不难发现四边形MENF是菱形但要讲出道理会有一定的困难，教师引导学生分析：
要判断四边形MENF是菱形，思路1可以先判断四边形ABCD是平行四边形，再判断MN⊥EF,或者判断一组邻边相等。思路2 判断四条边相等。
解：方法1 ∵四边形ABCD是矩形  ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，
∴OF=OE,OM=ON ∴ 四边形MENF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵MN⊥AD,AB⊥AD, ∴MN∥AB,
∵EF⊥AB,   ∴EF⊥MN, ∴四边形MENF是菱形。（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）
方法2 ∵四边形ABCD是矩形  ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，
      ∴ MF=ME=NE=NF,     ∴四边形MENF是菱形(四条边相等的四边形是菱形)
方法3 连结AC,BD，∵四边形ABCD是矩形  ∴四边形ABCD关于EF,MN对称，
∴E,N,F,M分别是边AB,BC，CD，DA的中点。MF=ME
∴FN∥DB, FN＝DB,ME∥DB,ME=DB
∴四边形MENF是平行四边形
∴四边形MENF是菱形
四 课堂练习，巩固提高
1 如图，EF是四边形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（   ）
A            B              C                   D  
2 矩形ABCD的两条对称轴为EF，MN，其中E、F、M、N分别在AB、DC、AD、BC上，连结ME,EN,NF,FM,AB=  cm,BC=  cm,则四边形ENFM的周长和面积各是多少？
五 反思小结，拓展提高   这节课你有什么收获？
矩形的性质：（1）与平行四边形相同的性质有哪些？独特的有哪些？
           （2）矩形具有哪些对称性？
矩形的判定：如果一个四边形是平行四边形，怎样判定它是矩形？
如果一个四边形的对角线互相垂直，或者邻边相等。怎样判定它是矩形，
六 作业：P 102 2,3
3.4    正方形(一)
教学目标:：
1、        能说出正方形的定义和性质。会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。
2、        通过一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系。
3、        在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情。
教学重点：正方形的定义和性质。     教学难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题。
教学过程：
一、        创设问题情境，搭建研究平台
在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学了平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
正方形四条边相等；正方形四个角是直角；正方形的面积等于边长的平方；正方形是轴对称图形，也是中心称图形。
生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但对已学过的平行四边形，矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥妙吗？
二、        讲授新课
把平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，让一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形。
请同学们给出正方形的定义：
一组邻边相等的矩形叫做正方形；一个角为直角的菱形叫做正方形；一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形叫正方形。
我们从它的定义可以发现，正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形；也是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的平行四边形，所以正方形也是特殊的平行四边形，即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形。
做一做：把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片。请你说明其中的道理。                                          
学生活动：通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形。
类比平行四边形、矩形、菱形、的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结。
学生活动：（讨论后发现）

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边：正方形四条边都相等；对边平行；
角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质。在利用这些性质解决问题时，要根据需要选择相应的结论，做到“对症下药”。
应用举例：
【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
师生共析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形。
已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O。
求证：△ABO.△BCO.△CDO.△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC﹦BD,AC⊥BD
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴△ABO.△BCO.△CDO.△DAO都是等腰直角三角形.
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 。
拓展讨论：
1、        图中有多少个等腰直角三角形。
2、        正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴。
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABD、△BCD、△ABC、△ADC。且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO；△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC。
连接正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有四条对称轴。这进一步体现了它既有矩形的性质，同时也具有菱形的性质。
补充题：已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F。
求证：DECF是正方形。
证明：DE⊥AC      ∠DEC=90°               
DF⊥BC      ∠DFC=90° 四边形DECF是矩形               
            ∠ACB=90°           
CD平分∠ACB           
DE⊥AC      DE=DF   
DF⊥BC            
  四边形DECF是正方形
三、        随堂练习   课本  P104练习2
四、        课时小结
图   形
性        质                       平行四边形        矩形        菱形        正方形
对边平行且相等                               
四条边都相等                               
对角相等                               
四个角都是直角                               
对角线互相平分                               
对角线互相垂直                               
对角线相等                               
每条对角线平分一组对角                               
五、课后作业      习题3.4    1
3.4   正方形(二)
教学目标:：
1、        知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。
2、        经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法。
3、        理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。
教学重点：掌握正方形的判定条件。
教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。
教学过程：
一、        创设问题情景，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中。

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。
1、怎样判断一个四边形是矩形？
2、怎样判断一个四边形是菱形？
3、怎样判断一个四边形是平行四边形？
4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？


议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1、探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
（1）直接用正方形的定义判，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么临就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边想的相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
2、正方形判定条件的应用
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
（1）        四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
（2）        四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3）        对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）        对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）        对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
师生共析：
（1）        是真命题。因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题。

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（2）        真命题。四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真。
（3）        假命题。对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形。如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形。
                 
（4）        假命题。它可能是任意四边形。如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形。
（5）        真命题。
方法一，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形。可判定其为真。
方法二，对角线平分       平行四边形
                                 对角线垂直
                                平行四边形
                                对角线相等                  
        方法三，由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形。
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF。
师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决。
像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法。
解：将△ADF旋转到△ABC，∠∠∠∠∠△
则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
【例3】画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
画法：1、画线段=30cm，取AC的中点O。
      2、过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm。
      3、连结AB﹑BC﹑CD﹑DA.
     则四边形ABCD就是所要画的正方形.
证明：∵AO=CO,BO=DO
四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC=BD, ∴平行四边形ABCD是矩形。
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形。
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）。
说明:由学生分析画法,在证明过程中让学生逐一说出判断理由,以加深对正方形的判定方法的认识.
三、随堂练习        课本P104练习3。
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用。
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。







五、课后作业   习题3.4     2、3
补例、如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB
解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
　　　∠EAF=45°怎么用呢？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了.
证明：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB.
　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°.
　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°.
　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.
　∴ △AEF≌△AEH.

3.4正方形(三)
    教学目标
    知识与技能：
    了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．
    过程与方法：
    经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
    情感态度与价值观：
    培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
    重难点、关键
    重点：探索正方形的性质与判定．
    难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．
    关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．
    教学准备
    教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．
    学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．
    学法解析
    1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，在取得一定的经验的基础上，认知正方形．

    3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．
    教学过程
    一、合作探究，导入新课
    【显示投影片】
    显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．
    【活动方略】
    教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
    1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
    2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
    3．正方形具有哪些性质呢？
    学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．
实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．

admin

教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：

    学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
    正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．
    正方形性质：
    （1）边的性质：对边平行，四条边都相等．
    （2）角的性质：四个角都是直角．
    （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
    （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．
    【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．
    二、实践应用，探究新知
    【课堂演练】（投影显示）
    演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与OA、OB相交于M、N．
求证：（1）BM=CN，（2）BM⊥CN．

    思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°，就可以了．
    【活动方略】
    教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．
证：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB，
∵MN∥AB，∴∠1=∠2，∠ABO=∠3，
又∵∠1=∠ABO=45°，∴∠2=∠3，∴OM=ON，
∴△CON≌△BOM，∴BM=CN．
（2）由（1）知△BOM≌△CON，
∴∠4=∠5，∵∠4+∠BMO=90°，
∴∠5+∠BMC=90°，∴∠CGM=90°，∴BM⊥CN．
演练题2：已知：如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE= AD，F为AB的中点，求证：△CEF是直角三角形．

    思路点拨：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股逆定理，就可以解决问题．这里应用到正方形性质．
    【活动方略】
    教师活动：用投影仪显示演练题2，组织学生应用正方形和勾股逆定理分析解析．并请同学上讲台分析思路，板演．
    学生活动：先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题．
证明：设AB=4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB=2a，AE=a，DE=3a．
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2+CF2=（AE2+AF2）+（CB2+BF2）=（a2+4a2）+（16a2+4a2）=25a2，
CE2=CD2+DE2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∴EF2+CF2=CE2．
由勾股定理的逆定理可知△CEF是直角三角形．
    【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力．
    三、继续探究，学习新知
    【问题牵引】
    教师提问：怎样判定一个四边形是正方形呢？把你所想的判定方法写出来，并和同学们进行交流、证明．
    学生活动：分四人小组进行合作讨论，归纳总结出判定正方形的方法如下：
    判定方法：
    1．是矩形，并且有一组邻边相等．
    2．是菱形，并且有一个角是直角．
    【投影显示】
    例4  求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
    思路点拨：这是一道文字题，首先应该根据题意画出几何图形，然后依据图形写出已知求证，最后证明，本题可利用正方形性质：对角线互相垂直平分且相等，证出问题．
    【活动方略】
    教师活动：操作投影仪，画出图形，讲请怎样写出已知、求证．
    已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．
    求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
    【评析】这里教师可以让学生上台书写已知、求证．然后再纠正写法上的不足．
    学生活动：分析文字题后，举手上讲台“板演”．上述证明思路：因为四边形ABCD是正方形，所以AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO．∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形．且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
    四、随堂练习，巩固深化
    1．课本P104  练习1，2，3．
    2．【探研时空】    如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．
请拼成尽可能多的四边形．要求：每次拼四边形全部用上这四个直角三角形，但这些三角形互不重叠且不留空隙．

    思路点拨：思路1：特殊四边形，包括（1）菱形，除正方形之外只有一个，其边长为 ，对角线为2和4．图形略．（2）矩形，除正方形之外只有一个，其长为4，宽为1．图形略．（3）梯形，两个，一个是上底为1，下底为3，高为2的等腰梯形；另一个是上底为2，下底为6，高为1的等腰梯形，图形略．（4）一般的平行四边形，共4个，其一，两组对边分别为2和 ，高为2和  ；其二，两组对边分别为1和2 ，高为4和  ；其三，两组对边分别为2和2 ，高为2和  ；其四，两组对边分别为4和 ，高为1和  ，图形略．思路2：一般凸四边形共两个，一个的四条边长分别为 、2、2 ；另一个的四条边长分别为1、3、 、 ，图形略．
    【评析】这是一道江苏省徐州市2001年中考题，是很好的分类讨论题．
    五、课堂总结，发展潜能
    【问题提出】
   

admin

正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用列表和框图表示出来．
    1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质（投影显示）
        边        角        对角线
平行四边形                       
矩形                       
菱形                       
正方形                       
    2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形       
矩形       
菱形       
正方形       
    六、布置作业，专题突破
    1．课本P104 习题3.4            B、1、2
    2．选用课时作业优化设计
作业优化设计
    【驻足“双基”】
    1．正方形ABCD的对角线相交于O，若AB=2，那么△ABO的周长是_______，面积是________．
2．如图，已知E点在正方形ABCD的BC边的延长线上，且CE=AC，AE与CD相交于点F，则∠AFC=________．

    3．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（  ）．
    A．      B．      C．      D．
    4．四条边都相等的四边形一定是（  ）
    A．正方形     B．菱形     C．矩形     D．以上结论都不对
5．如图所示的运动：正方形ABCD和正方形AKCM中，将正方形AKLM沿点A向左旋转某个角度．连线段MD、KB，它们能相等吗？请证明你的结论．

    【提升“学力”】
6．如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．

   【聚焦“中考”】
    7．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
    （1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
8题图           7题图
8．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为多少？

    9．今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出的三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤，这里图纸略）
答案:1．2+2 -1  2．112.5°  3．A  4．B  
5．提示：证△ADM≌△AKB  6．不变，值为45°，可利用△CDG≌△ADE，证明DE=DG，得出结果  
7．（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）  
8．   9．叙述有道理即可．
3.5 梯形
教学目标 ： 1 通过具体情景，了解梯形的概念，及梯形的分类。
2 探索并掌握梯形的性质和判定方法。 3 会利用梯形的性质解与梯形有关的问题。
教学重点、难点：重点：梯形的定义、性质、判定。 难点：梯形的性质判定的运用。
教学过程
一 创设情景，导入新课
1 复习：什么叫平行四边形？什么叫菱形？什么叫矩形？










2 观察下面图形：







它们是什么形状？（梯形）什么叫梯形？梯形有什么性质？怎样判定一个四边形是梯形？这节课我们来学习这些内容----- 3.5 梯形（板书课题）
二 合作交流，探究新知
1 梯形的定义
（1）观察下图,请你比较平行四边形和梯形有什么区别？(平行四边形有两组对边分别平行，梯形只有一组对边分别平行)
（2）你能给梯形下个定义吗？
一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫梯形。
平行的两边叫梯形的底（通常把较短的叫上底，较长的叫下底），不平行的两边叫腰，两底的公垂线叫高.
考考你：
判断下面说法是否正确？
（1）一组对边平行的四边形是梯形。             (             )
（2）只有一对边平行的四边形是梯形。           (             )
（3）一组对边平行但不相等的四边形是梯形。     (             )
2 梯形的分类
观察下面梯形，它们有什么区别？（第2个两腰相等，第3个一腰和底垂直）

两腰相等的梯形叫等腰梯形，一腰和底垂直的梯形叫直角梯形。板书：

3 等腰梯形的性质
A、性质1    想一想：
(1)        如图：△ABC中，AB=AC,如果作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE是等腰三角形，∴AD=AE, ∴AB-AD=AC-AE,
即：DB=EC.又DE≠BC, ∴四边形DBEC是等腰梯形。
（2）上面梯形中哪些角是相等的？你能用一句话来表达这个结论吗？
梯形同一底上的两个角相等。
但是这个梯形是从等腰三角形上截下来的，是不是所有的梯形同一底上的两个角相等呢？（交流讨论）
（3）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC.
求证：∠B=∠C，∠BAD=∠CDA.
证明：作DE∥AB,交BC于E，
则 ∠DEC=∠B，∵AD∥BC, ∴AB=DE, ∵AB=DC, ∴DE=DC.
∴∠DEC=∠C, ∴∠B=∠C
∵∠A+B=180o,∠C+∠ADC=180o, ∴∠A=∠ADC.
你还有别的方法吗？
估计学生会想到：
方法1 分别过A，B作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F。证明△ABE
≌△DCF,得到∠B=∠C
方法2分别过A，B作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F
如图，把三角形DEC沿着AD平移，使DF与AE重合，
DC的像是AC，因为AD∥BC，∴点C的像是点
  ∵AB=DC=A ,∴∠B=∠A B, ∵∠A B=∠C    ∴∠B=∠C
（4）归纳结论：梯形同一底上的两个角相等。
即：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠A=∠D,∠B=∠C