北师大版初中八年级数学下册全册教案合集下载

admin

1.创设情景，探索交流
情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公倾的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。
你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那第二块试验田每公顷的产量 是        kg.
  根据题意，可行方程。
                                                 。
答案：等量关系包括：
第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。

第一块试验田的面积=第二块试验田的面积
第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg



情景二：从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系？
如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为xh，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为            h。
根据题意，可得方程
                             。
答案：等量关系包括：
600km=客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
480km=客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h
由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2×由普通公路从甲地到乙地所需的时间

通过几个实际问题，让学生经历从实际问题抽象、概括分式这一“数学化” 的过程。在教学过程中，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。）
2.深入探讨，概括概念
做一做：
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐灾。已知第一次捐款的总额为4800元，第二次捐款的总额为5000元，第二次捐款的人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额刚好相等。如果设第一次捐款的人数为x 人，那么x 满足怎样的方程？
（注意让学生努力寻找等量关系，加强学生的思维能力。）
答案：等量关系为


议一议：上面所得到的方程有什么共同的特点？
    （鼓励学生认真观察、独立思考，并用自己的语言描述，然后再与同拌讨论、交流自己的结果。通过这一过程加强学生的观察能力、语言概括能力。）
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
3. 练习巩固，促进迁移
见课本P78“随堂练习”
4. 巩固应用，拓展研究
练习1：
甲6小时完成的工作改由甲、乙合作4小时可以完成，问乙单独做多少小时可以完成？设乙单独做x 小时可以完成，那么x 应满足怎样的方程？
练习2：
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
  这一问题中有哪些等量关系？
  如果设原定是x人，那么每人平均分摊          元。
  人数增加到原定人数的2倍，每个平均分摊           元。
  根据题意，可行方程。                                                 ：
    等量关系包括：

实际参加培训的人数=2×原定参加培训的人数。
原计划每人平均分摊的费用-实际每人平均分摊的费用=4元；
方程为：  
5.回顾联系，形成结构
什么是分式方程？怎样列分式方程？
（通过问题的提出，总结本节课的相关知识，让学生再次体会“实际问题——分式方程模型”的过程，嘉庆学生的建模意识。）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P33－P35



















第二课时
1.创设情景，引出问题
解方程： 你能设法求出上节课中的分式方程   的解吗   
2.探索交流，发现规律
回顾：
解方程 时，我们一般是先去分母，两边同时乘以最小的公分母3×7，得 ，即7x=9x+21，这种形式相对就容易计算。通过移项，合并同类项求得x=-10.5。
联系：
对于分式方程 ，如果两边同时乘以分母最小的公因式，是不是也能像上面的方程一样的解决呢？
请你试试看！
（通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流，发现解分式方程的一般步骤。）
  解：方程的两边都乘以x(x+3000),得
              9000(x+3000)=15000x
           解这个方程，得x=0.5
思考：如何检验x=0.5是方程的解？
检验：将x=0.5代入原方程，如果得到的左边的值等于右边的值，则它就是原方程的解。
请你检验一下x=0.5是不是方程的解？
（同过检验，体验方程解的意义，同时为分式方程的增根的研究作好准备。）
3.例题讲解，加深印象
例1：解方程：
解：方法一：方程两边都乘以2x，得
                 960-600=90x
            解这个方程，得x=4
            检验：将x=4代入原方程，得
                左边=45=右边，
            所以，x=4是原方程的根。
方法二：先化简得方程两边都乘以x，得
    32-20=3x解这个方程，得x=4
            检验：将x=4代入原方程，得

admin

               左边=45=右边，
            所以，x=4是原方程的根。
4.应用拓展，深化研究
议一议：在解方程 时，小亮的解法如下：


你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流。
（让学生充分进行讨论、交流。寻找增根产生的原因。）
在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称之为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式。
    事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。
验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。
5.练习巩固，课内深化.
      
（3）已知关于x的方程 的解是负数，求a的取值范围。
（6.回顾联系，形成结构
想一想：解分式方程一般需要经历哪几个步骤？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
7.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P35－P37
























                                   第三课时
1.创设情景，探索交流
做一做：（课本问题）

某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有的房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
（1）    你能找出这一情景中的等量关系吗？
（2）    根据这一情景你能提出哪些问题？
（3）    你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
（引导学生从不同角度寻求等量关系，让学生明白解决此类问题的关键是找出等量关系。）
答案：
（1）    第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元
第一年出租的房屋的间数=第二年出租的房屋的间数
  
（2）    求出租的房屋总间数；分别求出两年每间房屋的租金
（3）    设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为（x+500）元，根据题意，得
              
2.例题讲解，分析应用
例3 （课本例题）
某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。
此题的主要等量关系是什么？请大家找找看
主要的等量关系是：
          小丽家今年7月份的用水量—
小丽家去年12月份的用水量=5m3
    所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。
解：设该市去年居民用水的价格x元/ m3 ，则今年的水价为（1+1/3）x元/ m3，根据题意，得
         

解这个方程，得x=1.5
经检验，x=1.5是所列方程的根。
1.5×（1+1/3）=2（元）
所以，该市今年居民用水的价格2元/ m3。
   （本例密切联系学生生活实际，又关注社会热点——水资源问题。让学生将实际问题转化为数学模型，并进行解答、解释解的合理性，通过本例对学生进行节约用水的教育。）
练  习
（1）某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的 ）
3.练习巩固，促进迁移
（1）为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？
解：设普通快车的平均速度为xhm/h，则直达快车的平均速度为1.5km/h，依题意，得
                 解得：x=46
经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。
∴x=46,1.5x=69
（2）编一道可化为一元一次方程的分式方程的应用题，并解答，编题要求：①要联系实际生活，其解符合实际；②根据题意列出的分式方程中含两项分式，不含常数项，分式的分母均含有未知数，并且可化为一元一次方程；③题目完整，题意清楚。
    （此题让学生去发现显示生活中的素材，可创编电费、卫生费等问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力，增强他们的应用意识。）
解  所编应用题为：
甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做2个，甲做10个所用时间与乙做6个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
解  设甲每小时做x个，那么乙每小时做（x-2）个，根据题意，有
      
∴x=5,x-2=5-2=3
答：甲每小时做5个，乙每小时做3个。

admin

（3）甲、乙两地相距500千米，两车都从甲地开往乙地，大汽车早出发2小时，小汽车比大汽车晚到20分钟，已知小汽车和大汽车速度比是5：3，求两车的速度。
4.回顾联系，形成结构
想一想：用分式方程解应用题一般需要经历哪几个步骤？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P37－P38


























回顾与思考
教学目标
（一）知识与技能目标
．使学生系统了解本章的知识体系及知识内容．使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的四则运算法则及它们之间的内在联系．在熟练掌握分式四则运算的基础上，进一步熟悉掌握分式方程的解法及其应用．
（二）过程与方法目标
在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练．
（三）情感与价值目标
培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力,提高学生的运算能力．培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
教学重点和难点
1．教学重点：(1)熟练而准确地掌握分式四则运算．(2)熟练掌握分式方程的解法及应用．
2．教学难点：分式、分式方程的模型思想的建立，以及分式和分式方程的应用。

教学方法
查缺补漏，引导法．
教学过程
(一)总结知识体系
要求学生读教材P．86的回顾与思考，在读书时思考讨论：
1．这一章学习中要掌握哪些内容，有哪些知识点？
2．这一章中每一节学习的内容间有什么内在联系？
在学生讨论后，教师归纳总结出：
1)分式的定义、性质、运算：

(二)例题
在分式   中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
分析：提问．

(2)分式的分子、分母满足什么条件时，分式有意义？(分母≠0)
(3)分式的分子、分母满足什么条件时，分式的值为正？(分子、分母同号)
2、化简
（1）　　　　　　　　　　（2）
(三)练习
教材P．86中1—4．
(四)小结
分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算，这也是我们以后学习的基础．我们要不断提高自己的计算能力．
六、作业
教材P．87中5—8．
教学反思








4.1 线段的比
一、教学目标
1.      结合现实情景了解线段的比和成比例线段。
2.      理解并掌握比例的性质及其简单应用。
3.      通过现实情景，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
二、教学重难点
教学重点：理解并掌握比例的性质及其简单应用。
教学难点：利用引入比值k的方法研究比例的主要性质。
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
    （展示图片）色彩斑斓的世界中有许多形状相同的图形，你知道相似图形友什么特征吗？
    （通过章前导图的阅读，力求以一段简短的文字和几幅典型的图案，反映图形相似的基本特征和文化价值，并引出本章的学习知识，激发学生的学习兴趣。）

观察课本P90图4-1，回答下面问题
（1）如果吧大树和小颖的高分别看成如图4-1所示的两条虚线段AB，CD，那么着两条线段的长度比是多少？
（2）已知小颖的身高是1.6m，大树的实际高度是多少？
（创设一个恰当的问题情景，促进学生自觉地认识现实中的比例的模型，在解决问题的氛围中了解线段的比。）
2.探索交流，概括概念
学生动手操作，测量AB，CD的长度，容易得出比值约为4.7：1。问：图形上两者有这种比例关系，那么实际高度上是否也是满足这个关系呢？学生容易得出正确的结论，通过比值关系得出大树的实际高度约为7.52m
议一议：两条线段长度的比与所采用的单位有没有关系？
（通过思考、交流，引导学生得出：线段的长度比与所采用的长度单位无关。）
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m,n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
练习：
（1）（课本练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长。
（2）下列四组线段中，a、b、c、d能成比例线段的是（   ）

议一议：
两条线段的比实际上就是两个数的比。如果a、b、c、d四个数满足 ，那么ac=bd吗？反过来，如果ac=bd，大门 吗？与同伴交流。
（学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结论。）
    在引出进成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例。
第一个问题可以通过引入比值k的方法，借助代数推理得到解决：设 =k，那么a=kb,c=kd,ad=kb?d=b?kd=bc；对于第二个问题，要注意：由ac=bd得出 是有条件的。
如果 ，那么ac=bd   （比例的基本性质）
如果ac=bd（a、b、c、d都不等于0），那么 （注意指出这个结论与基本性质是互逆关系。）
3.应用巩固，拓展问题
   例3
               
           
想一想：

（让学生通过引入比值k的方法，借助代数推理得到解决。）
结论：（1）成立。其推导方法与例3类似。
     

admin

（2）当b+d+f≠0时，结论成立，其推导方法与例3类似。
通过以上研究后，给出下列性质：

4.课堂练习，促进迁移
（1）分别计算本课始图“变化的鱼”中BC与GH的比、CD与HL的比、BD与GL的比，并计算△BCD与△GHL的周长比。（课本练习）
（提示学生，计算两个三角形的周长比时可应用比例的等比性质。）
（2）已知 ，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值。
5.回顾联系，形成结构
今天我们学习了哪些知识？它们有什么性质？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
课外作业：课本第92页“习题4.1”
第二课时
1.创设情景，导出问题
你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将各点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？
图（1）中的鱼是将各点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1），（3，0），（4，-2），（0，0）用线段顺次连接而成的；图（2）中的鱼是将图（1）中鱼上的每一个点的横坐标、纵坐标都乘以2得到的。
  
（1）    线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度各是多少？
（2）    线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比各是多少？它们相等吗？
（3）    在图中，你还能找到比相等的其他线段吗？
（利用学生已学习过的“变化的鱼”为问题情景，一方面可以比较自然地引入成比例线段，另一方面还涉及图形的相似，既能够体现研究成比例线段的必要性，又为后面的研究埋下伏笔。）
2.探索交流，发现规律
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
练习：
（1）（课本练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长。
（2）下列四组线段中，a、b、c、d能成比例线段的是（   ）

议一议：
两条线段的比实际上就是两个数的比。如果a、b、c、d四个数满足 ，那么ac=bd吗？反过来，如果ac=bd，大门 吗？与同伴交流。
（学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结论。）
    在引出进成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例。
第一个问题可以通过引入比值k的方法，借助代数推理得到解决：设 =k，那么a=kb,c=kd,ad=kb?d=b?kd=bc；对于第二个问题，要注意：由ac=bd得出 是有条件的。
如果 ，那么ac=bd   （比例的基本性质）
如果ac=bd（a、b、c、d都不等于0），那么 （注意指出这个结论与基本性质是互逆关系。）
3.应用巩固，拓展问题
   例3
               
           
想一想：

（让学生通过引入比值k的方法，借助代数推理得到解决。）
结论：（1）成立。其推导方法与例3类似。
     （2）当b+d+f≠0时，结论成立，其推导方法与例3类似。
通过以上研究后，给出下列性质：

4.课堂练习，促进迁移
（1）分别计算本课始图“变化的鱼”中BC与GH的比、CD与HL的比、BD与GL的比，并计算△BCD与△GHL的周长比。（课本练习）
（提示学生，计算两个三角形的周长比时可应用比例的等比性质。）
（2）已知 ，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值。
5.回顾联系，形成结构
今天我们学习了哪些知识？它们友什么性质？
（让学生总结，通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
课外作业：课本第92页“习题4.1”































4.2  黄金分割
一、教学目标
1、通过学生的上网搜集，从不同形式的艺术作品、摄影作品及优秀建筑上认识黄金分割的重要意义。体会到“黄金分割”及“勾股定理”是几何中的两大宝藏。
2、“宇宙万物，凡符合黄金分割总是最美的。”对学生进行美育教育。
3、通过以学生搜集信息、发布信息、处理和整合信息、应用信息为主线，培养学生获取知识的能力，分析问题解决问题的能力。
4、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作中增强学生的时间意识和自信心。
二、教学重难点
认识黄金分割, 在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。
三、教学过程设计
1、创设情境，设疑激趣
（多媒体演示）
自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？


（欣赏完图片，学生讨论并引入课题）
2.探索交流，概括概念
如图，五角星是我们常见的图形．
请度量点Ｃ到点Ａ、Ｂ的距离，并求你发现了什么？

解：用刻度尺量得：
     AC=2.41cm   AB=3.90cm   BC=1.49cm
      
      故 即线段AB、AC、AC、BC成比例线段．
如图，点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点．
学习了二元一次方程后，我们可以求得

admin

这一神奇的比例关系由古希腊数学家，哲学家毕达哥拉斯发现，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”．冠以"黄金"二字，足见人们对它的珍视。中世纪数学家开普勒(Kepler)将黄金分割律和勾股定理并称为“几何学中的两大宝藏”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”．
3.寻求实例，感受美
我们以黄金分割在人体、摄影、艺术、建筑、乐器、健康…　…方面的应用来了解黄金分割的魅力所在。（同学们以小组为单位，上网查找资料）。
（1）人体：人体本身就是黄金分割律的杰出样本。文艺复兴时期，著名画家、解剖学家达．芬奇通过人体解剖的测量和研究，发现人体结构中许多比例关系接近o．618。如古希腊神话中的太阳神阿波罗的形象、女神维纳斯的塑像，分别代表男女形体美的典型，并完全符合黄金分割律，美妙绝伦。有人曾断言：“宇宙万物，凡符合黄金分割律的总是最美的。”下面让我们用我们找到的资料来证明这些美的存在。
（2）摄影：在照片中要表现的主要部分应安排在什么位置才好看呢？摄影中最常用的办法是黄金分割法，即在整个画面的0.618位置确定照片的趣味中心。
（3）艺术：
（4）建筑：科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。
（5）乐器：古希腊数学家，哲学家毕达哥拉斯(PInthagoras)有一天路过一铁匠铺，被清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”！他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1：0.618．这一发现至今是各种乐器制造的科学依据。
（6）健康：
（7）其它：
4.动手操纵，创造美
如图，已知线段AB，按照如下的方法作图：
（1）    经过点B作BD⊥AB，使BD=1/2AB
（2）    连接AD，在DA上DE=DB
在AB上截取AC=AE



根据上述作图回答下列问题：
（1）    如果设AB=1，那么BD，AD，AC，BC分别等于多少？
（2）    点C是线段AB的黄金分割点吗？
（先独立思考，再与同伴交流。）
想一想：小名同学这样画了一个矩形AEFD：
①作正方形ABCD；
②取AB、CD中点M、N，连接MN；
③连NC；
④延长AB至E，使NE=NC；
⑤过E作AE的垂线，交DC延长线于F
小名说这个矩形就是黄金矩形，你能帮助他说出其中的道理吗？

5.回顾联系，形成结构
在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为0.618，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守0.618比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618之处。
黄金分割冠以"黄金"二字，足见人们对它的珍视。艺术家们发现，遵循黄金分割来设计人体形象，人体就会呈现最优美的身段，音乐家们发现，将手指放在琴弦的黄金分割点处，乐声就益发宏亮，音色就更加和谐；建筑师们发现，遵循黄金分割去设计殿堂，殿堂就更加雄伟庄重，去设计别墅，别墅将更使人感到舒适；科学家们发现，将黄金分割运用到生产实践和科学实验中，能够取得显著的经济效益……。黄金分割的应用极其广泛，不愧为几何学的一大宝藏。

4.3  形状相同的图形
一、教学目标
1.结合具体实例认识形状相同的图形，体会相似图形在现实中的广泛应用;
2.进一步增强学生的数学应用意识。
二、教学重难点
教学重点：体会现实生活中的形状相同的图形。
教学难点：通过自己的动手制作形状相同的图形，感受数学的实用性及数学图形的美。
三、教学过程设计
1、引入新课
多媒体展示现实生活中我们会见到如下的图片，把学生的注意力引到图形的欣赏与感受上来，有利于切于课题：形状相同的图形
同一张底片洗出的不同尺过的照片；
两个足球；
两个不同色彩的正方体块；
复印机按一定的缩放比例复印出的图形。
通过学生的观察：教师提出问题：以上的每一组图片有什么共同的特点？分小组进行讨论
（设计说明：学生很容易观察出每一组图片中的图形的形状都是相同的，在这里安排学生进行讨论意在如何表达两个图形之间的关系：形状相同，大小不一定相同。）
学生此时可自由发言，考虑学生的认知水平和认知能力，教师可再加以点评：形状相同的图形可以是平面二维的，也可以是立体三维的。每一组图形形状相同，大小不一定相同。
2、强化认识
    通过一组图形的观察，让学生直观地判断哪些图形的形状相同？教师将事先仿课本P103页制作好的一组图形用投影显示：

说明：这一组图形只要求学生能直观地判断出形状相同的图形，无需也无法证明，意在感受形状相同的图形，强化学生的认识。学生分小组讨论举出身边见到的形状相同的实例，让学生体会到生活中的数学，用以强化学生热爱数学的思想和意识。
做一做

admin

完成课本P104页的“做一做”画两个形状相同的图形说明：这一环节的安排意在培养学生动手实践的能力，及动脑的能力，将准备好的橡皮筋分给学生，学生按小组共同合作完成，用以培养学生的自主、合作、探究的能力。
（1）   将2根长短一样的橡皮筋系在一起，联结出形成一个结点。
（2）   选取一个图形，在图形外取一个定点。
（3）   将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端。
（4）   拉动铅笔，使2个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形。
这个新的图形与已知图形形状相同

3.深入探究，挖掘素材
想一想：放大镜下的图形与原来的图形相似吗？
我们先来看一个简单的图形——角。请大家拿出手头的放大镜，研究一下这个问题。
（让学生动手操作动手实验，然后讨论后得出结论。）
下图所示的是一些相似的图形．

观察上图中的三组图形，看起来每组中的两个图形具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似形.

（让学生通过比较，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点。）
4、随堂练习
完成课本P105页的第1题练习。说明：这一环节的设计，意在让学生了解利用坐标变换也能制作出形状相同的图形，了解图形的放大与缩小的实际应用。
5.回顾联系，形成结构
（1）在现实生活中有许许多多的形状相同的图形（平面的、立体的）；
（2）感受研究形状相同的的图形具有现实意义。
（3）了解了两种制作形状相同的图形的方法（位似作图、坐标变换）。
6.课外作业
课外作业：课本：P106页的习题4.4的第1、2、3题






















4.4  相似多边形
一、教学目标
（一）教学知识点
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.
（二）能力训练要求
经历探索图形的边、角关系，培养学生的观察能力，分析判断能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性.
二、教学重难点
教学重点:探索相似多边形的定义，以及用定义去判断两个多边形是否相似.
教学难点:探索相似多边形的定义的过程.
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
［师］大家从语文的角度来分析一下“相似”一词的意思.
［生］“相似”就是差不多，但也不是完全相同，既有相同部分也有不同部分.
［师］很好，那“相似多边形”应怎么理解呢？
［生］“相似多边形”即为两个边数相同的多边形，并且形状一样、大小可能不同.
［师］大家的分析能力非常棒，究竟“两个相似多边形”需满足什么条件呢？本节课我们将进行探索.
2.探索交流，概括概念
    下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.
（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
［师］请大家动手验证一下.
［生］在上图中，六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形，其中 ∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等，AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1A1的比都相等.
［师］从上可知，幻灯片上的六边形与银幕上的六边形形状相同，只是大小不同，它们的对应角相等、对应边成比例.那么，形状相同的多边形是都有这种关系呢，还是只有六边形才有呢？下面我们继续进行探讨.
例 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系呢？对应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF；
（2）正方形ABCD与正方形EFGH.
［师］请大家互相交流.
［生］解：（1）由于正三角形每个角都等于60°，所以
∠A=∠D=60°，∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°
由于正三角形三边相等，所以


（2）由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E=90°，∠B=∠F=90°，
∠C=∠G=90°，∠D=∠H=90°.
由于正方形四边相等，所以


［师］从上面的讨论结果来看，大家能否猜测出相似多边形的定义呢？
［生］可以.
对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形（similar polygons）.
相似多边形对应边的比叫做相似比（similarity ratio）.
[师]相似应该怎样表示呢？请认真看书.
［生］六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似.记作六边形ABCDEF ∽六边形A1B1C1D1E1F1，其中AB∶A1B1等于相似比.
［师］在记两个多边形相似时，要注意什么？
［生］要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
3.巩固应用，拓展研究
想一想（1）
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.
议一议
        (1)观察下面两组图形，（1）中的两个图形相似吗？为什么？（2）中的两个图形呢？与同伴交流.

(2)如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
［生］1.（1）中的两个图形不相似.

admin

因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例，虽然（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等,所以两个图形不相似.
（2）中的两个图形也不相似.
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似.
2.如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如（2）中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等.
4.练习巩固，促进迁移
做一做
    一块长3 m，宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？请大家交流后回答.

［生］答：不相似.
内边缘的矩形长为300 cm，宽为150 cm，外边缘的矩形长为315 cm，宽为165 cm，因为，所以内外边缘所成的矩形不相似.
想一想（2）
所有的边数相同的正多边形都相似吗？
［师］正多边形是指各边都相等，各角都相等的多边形，请大家根据定义进行判断.
［生］相似，因为各角都相等，各边都相等，所以在两个图形中满足对应角相等、对应边成比例，因此这两个正多边形肯定相似.比如：两个正三角形相似.
课堂练习
判断下列每组中的两个图形是相似多边形吗？并说明理由.
（1）两个大小不等的矩形；
（2）两个大小不等的正五边形；
（3）一个正方形与一个平行四边形；
（4）两个大小不等的菱形.
解：（1）两个大小不等的矩形不一定相似，虽然它们的对应角相等，都是直角，但它们的对应边不一定成比例.
（2）两个大小不等的正五边形是相似多边形，因为它们的对应角相等，对应边成比例.
（3）一个正方形与一个平行四边形不相似，因为平行四边形的四个角不相等，四条边也不相等，所以对应角不相等，对应边也不成比例.
（4）两个大小不等的菱形不一定相似.因为菱形的边长相等，两个菱形满足对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似.
5.回顾联系，形成结构
本节课通过探究相似多边形满足的条件，从而推导出相似多边形的定义，并能根据定义判断某些图形是否为相似多边形.
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P45－P47



















4.5  相似三角形
一、教学目标
（一）教学知识点
1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
（二）能力训练要求
1.能根据定义判断两个三角形是否相似，训练学生的判断能力.
2.能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.
二、教学重难点
教学重点:相似三角形的定义及运用.
教学难点:根据定义求线段长或角的度数.
三、教学过程设计
(一)创设情景，引入新课
［师］上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下.
［生］对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
［师］很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢？
［生］只要边数相同，满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角形，相似五边形等.
［师］由此看来，相似三角形是相似多边形的一种.今天，我们就来研究相似三角形.
（二）探索交流，概括概念
1.相似三角形的定义及记法
［师］因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出，大家可以吗？
［生］可以.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形（similar triangles）.如△ABC与△DEF相似，记作
△ABC ∽△DEF
其中对应顶点要写在对应位置，如A与D，B与E，C与F相对应.AB∶DE等于相似比.
［师］知道了相似三角形的定义，下面我们根据定义来做一些判断.
2.想一想
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
［生］由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.


（使学生认识定义所揭示的相似三角形的本质属性，即对应边成比例、对应角相等。）
3.议一议
投影片
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
［师］请大家互相讨论.
［生］解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=
DF=EF=a，DE=

所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.