北师大版初中八年级数学下册全册教案合集下载

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［生］如函数y=2x－5,当y＞0时，有2x－5＞0,当y＜0时，有2x－5＜0.
Ⅲ.课堂练习
解下列不等式或不等式组：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）;
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）;
（3） ;
（4）
解：（1）去括号，得6x+15＞8x+6
移项、合并同类项，得2x＜9
两边都除以2，得x＜ .
（2）去括号，得
10－4x+12≤2x－2
移项、合并同类项，得6x≥24
两边都除以6，得x≥4.
（3）去分母，得5（x－3）＞2（x+6）
去括号，得5x－15＞2x+12
移项、合并同类项，得3x＞27
两边都除以3，得x＞9
（4）   
解不等式（1），得x＜0
解不等式（2），得x＞0
这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：

图1－47
所以，原不等式组的解集为无解.
Ⅳ.课时小结
回顾本章的知识点，并进行有关练习.
Ⅴ.课后作业
复习题A组
Ⅵ.活动与探究
某化工厂2000年12月在判定2001年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息：
1.生产该种化肥的工人数不超过200人；
2.每个工人全年工作时数不得多于2100个；
3.预计2001年该化肥至少可销售80000袋；
4.每生产一袋该化肥需要工时4个；
5.每袋该化肥需要原料20千克；
6.现库存原料800吨，本月还需用200吨，2001年可以补充1200吨.
请你根据以上数据确定2001年该种化肥的生产袋数的范围.
解：设2001年可生产该化肥x袋.根据题意得

解得80000≤x≤90000且x为整数.
［答］2001年该化肥产量应确定在8万到9万袋之间.
●板书设计
§1.7  回顾与思考
一、1.简述本章的知识点
2.重点知识讲解
（1）不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同.
（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
（5）一元一次不等式与一次函数.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业





















2.1  分解因式
一、教学目标
1．经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。
2．了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
3．感受整式乘法在解决问题中的作用。
二、教学重难点
探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（1）读一读：
首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示（演示章头图）.
章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。
（2）想一想：
993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
今天我们大家一起来研究一下这个问题。
2.探索交流，概括概念
想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。
小时是这样做的

（1）       小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？
（2）       993-99还能被哪些正整数整除。
答案：
（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。
（2）还能被98，99，49，11等正整数整除。
归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。
议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。
鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。
做一做：计算下列各式：
（1）（m+4）（m-4）=           ;
（2）（y-3）2=             ；
（3）3x（x-1）=             ；
（4）m（a+b+c）=              .
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x=（   ）（   ）
（2）m2-16=（   ）（   ）
（3）ma+mb+mc=（   ）（   ）
（4）y2-6y+9=（   ）（   ）
请问，通过以上两组练习的演练，你认为这两组练习之间有什么关系？
答案：
第一组：（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；
第二组：（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一组是把多项式乘以多项式展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个固式的积的形式，它们这间恰好是一个互逆的关系。
议一议：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能在举一些类似的例子加以说明吗？与同伴交流。
（引导学生区分这良种互逆的恒等变形，从而引出下面分解因式的概念。）
概 括：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
3.巩固应用，拓展研究
课本P40随堂练习。
（学生单独完成，然后相互评价结果，互相指正，让学生在这一过程加深对分解因式概念的掌握。）
教师在学生相互评价之后可指出因式分解的要求：
（1）       分解的结果要以积的形式表示；
（2）       每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
（3）       必须分解到每个多项式因式不能再分解为止。
4.练习巩固，促进迁移
（1）下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（   ）
A．（x+3）（x-3）=x2-9          B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b）        D．
答案：C

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（2）证明：一个三位数的百位数字与个位数字交换位置，则新数与原数之差能被99整除。
证明：设原数百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，则原数可表示为100x+10y+z，交换位置后数字为100 z +10y+ x。
则：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）
=100 z-100x+x-z
=100（z-x）-（z-x）
=99（z-x）
则原结论成立。
（3）（陕西省，中考题）如图3-1①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长了b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②所示），通过教育处两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ）
      A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2         B．（a+b）2=a2+2ab+b2
      C．（a-b）2=a2-2ab+b2                D．a2-b2=（a+b）（a-b）

    答案：D。
5.回顾联系，形成结构
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？
（如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程；如果把多项式的因式分解看作一个变形过程，那么整式乘法就是它的逆过程。因此，整式乘法与多项式的因式分解互为逆过程。这种互逆关系，一方面说明两者的密切关系，另一方面又说明了两者的根本区别。）
（通过归纳总结，使学生对多项式的因式分解与整式乘法两者的密切关系，从而更好得理解多项式的因式分解。）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P17－P18




































2.2 提公因式法
一、教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
二、教学重难点
教学重点用提公因式法把多项式分解因式
教学难点探索多项式因式分解方法的过程
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
张老师准备给航天建模竞赛中获奖的同学颁发奖品。他来到文具商店，经过选择决定买单价16元的钢笔10支，5元一本的笔记本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由于购买物品较多，商品售货员决定以9折出售，问共需多少钱。
(让学生独立完成，然后选取两种比较多用的方法展示)
关于这一问题两位同学给出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）
方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）
请问：两位同学计算的方法哪一位更好？为什么？
答案：第二位同学（第二种方法）更好，因为第二种方法将因数10×90%放在括号外，只进行过一次计算，很明显减小计算量。
（使学生在具体的实际问题解决过程中发现提取公因数便于计算，从而使他们初步感知提取公因式方法的实际应用。）
2.探索交流，概括概念
（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？
（2）将上面的多项式分别写成几个因式的乘积，说明你的理由，并与同位交流。
讨论概括：
（1）多项式ab+bc各项都含有相同的因式b，我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。如b就是多项式ab+bc的公因式。同样，多项式3x2+x各项都含有相同的公因式x，多项mb2+nb-b各项都含有相同的公因式b。
（有了上面的情景，学生在刚回顾因数意义的同时，很容易说明因式的含义。）
（2）这里意在让学生根据因式分解的意义尝试进行分解。
    如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.巩固应用，拓展研究
例1 将下列各式分解因式：
（1）       3x+6；
（2）       7x2-21x；
（3）       8a3b2-12ab3c+abc；
（4）        -24x3-12x2+28x
答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）         （2）7x2-21x=7x?x-7x?3=7x（x-3）
（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab?8a2b-ab?12b2c+ab?c
=ab（8a2b-12b2c+c）
（4）  -24x3-12x2+28= -（24x3+12x2-28）
                   = -（4x?6x2+4x?3x-4x?7 ）
                   = -4x(6x2+3x-7)

想一想：提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？
（进一步体会分解因式与整式乘法的互逆关系）
4.练习巩固，促进迁移
（1）写出下列多项式的公因式：(课本练习)
  ① ma+mb  ② 4kx-8ky  ③ 5y3+20y2  ④ a2b-2ab2+ab
（2）把下列各式分解因式：
①3x2-6xy+x  ②-4m3+16m2-26m
答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）    （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
（3）利用分解因式计算：
① 33×0.48+85×0.48-18×0.48   ② 7.18×2.25+28.5×0.225-2.03×2.25
5.回顾联系，形成结构
想一想：这节课我们学了写什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P12－P13






第二课时
1.课前热身，复习回顾
想一想：什么是公因式？怎样提取公因式？
做一做：
（1）下列用提取公因式法分解因式正确的是（   ）
A．a3+2a2+a=a(a2+2a)         

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B．-x2y+4x2y2-7xy=-xy(x-4xy+7)
C．6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x+6)    D．a(a-b)2+ab(a-b)=(a+ab)(a-b)
（2）（-3）2005+（-3）2004等于        
（通过提问和几个练习使学生回忆上节课的内容，为本节课的学习作好准备。）
2.应用拓展，深化研究
把下列各式分解因式：
① a（x-3）+2b（x-3）； ② 5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：① a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）
② 5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2
=5（x-y）3+10（x-y）2
=5（x-y）2（x-y+2）
（此题是上节课的延伸，公因式由前节课的单项式过渡到多项式，难度逐渐提高，符合学生的认知规律。）
第1小题在教学时引导学生把（x-3）看作一个整体，从而解决工艺市是多项式的情况；
第2小题是在第1小题的基础上，进一步解决符号问题。教学时要引导学生正确理解（x-y）与（y-x），（x- y）2与（y-x）2的关系。
3.练习巩固，促进迁移
课本练习P45“做一做”
（加强学生的符号感）
3.巩固应用，拓展研究
（1）把下列各式分解因式：
① 3x2-6xy+x          ② -4m3+16m2-26m
答案：①3x2-6xy+x=x（3x-6y+1）    ② -4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
（2）
      
（3）把下列各式分解因式：
① 4q（1-p）3+2（p-1）2
② 3m（x-y）-n（y-x）
③ m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）
答案：① 4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）
② 3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）
③ m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）
（4）计算
① 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；
② 1998+19982-19992
答案：① a2b+ab2=ab（a+b）,当a+b=13时，原式=40×13=520
② 1998+19982-19992=-1999
（5）比较2002×20032003与2003×20022002的大小。
解答：设2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x?10001（x+1）-（x+1）?10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
5.回顾联系，形成结构
想一想：这节课我们学了写什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业
北师大版八年级（下）P1－P2






















2.3 运用公式法
一、教学目标
    1．    经历通过整式乘法的平方差、完全平方公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维。
    2．    会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）。
二、教学重难点
用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
(1) 观察多项式x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？
（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系。）
(2) 将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
（让学生充分交流，加深对这种方法的理解。）
2.探索交流，概括概念
讨论：
（1）多项式的各项都能写成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此。
（2）逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,
可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
所以我们可以借助乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2= (a+b)(a-b)
3.巩固应用，拓展研究
例1  把下列各式分解因式：
     
（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么）
提问：a2-b2= (a+b)(a-b) 中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？
例2          把下列各式分解因式：
(1) 9(m+n)2-(m-n)2;               (2) 2x3-8x;
解  (1)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)   
（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式。）
(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
    （引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止。）
4.应用加强，课内深化
1 把下列各式分解因式：

    2 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？
           
5.练习巩固，促进迁移
（1）把下列各式分解因式
① -(x+y)2+z2  (让学生比较（x+y+z）(z-x-y)与-(x+y+z)(x+y-z)是否相等)
② 9（a+b）2-4（a-b）2      ③m4-16m4
（2）如图，水压机有四根空心钢立柱．每根的高h都是18米，外径D为1米，内径d为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨．求四根立柱的总重量．(π取3.14，结果保留两个有效数字)．
解：设四根立柱总重量为w吨，则
　　
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
（3）已知a,b,c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断△ABC的形状。
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0   ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0   ∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0  

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∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴这个三角形是等边三角形.
（4）设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
答案：当x+2z=3y时，x2-9y2+4z2+4xz的值为定值0。
（5）分解因式：
（6）分解因式：
5.回顾联系，形成结构
想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P23－P24


























回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
（二）能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
（三）情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
●教学重点
复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点
利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法
引导学生自觉进行归纳总结.
●教具准备
投影片三张
第一张（记作§2.6 A）
第二张（记作§2.6 B）
第三张（记作§2.6 C）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.
Ⅱ.新课讲解
（一）讨论推导本章知识结构图
［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?
［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.
（2）分解因式与整式乘法的关系.
（3）分解因式的方法.
［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）
［生］

（二）重点知识讲解
［师］下面请大家把重点知识回顾一下.
1.举例说明什么是分解因式.
［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）
把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.
［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
如:ma+mb+mc=m（a+b+c）
从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.
3.分解因式常用的方法有哪些?
［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
a2－b2=（a+b）（a－b）
a2±2ab+b2=（a±b）2
4.例题讲解
投影片（§2.6 A）
［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2
（2）6x2y3=3xy?2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2
（4）4ab+2ac=2a（2b+c）
［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是.
［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.
（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.
（3）不是因式分解,而是整式乘法.
（4）是因式分解.
投影片（§2.6 B）
［例2］将下列各式分解因式.
（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3;
（3） － x2;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2;
（5）x4－25x2y2;
（6）4x2－20xy+25y2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.
解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5
=2a2b3（4a2－2ab+b2）;
（2）－9ab+18a2b2－27a3b3
=－（9ab－18a2b2+27a3b3）
=－9ab（1－2ab+3a2b2）;
（3） － x2=（ ）2－（ x）2
=（ +  x）（ － x）;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2
=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2
=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］
=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）
=（5x+y）（x+5y）;
（5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）
=x2（x+5y）（x－5y）;
（6）4x2－20xy+25y2
=（2x）2－2?2x?5y+（5y）2
=（2x－5y）2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2
=（a+b）2+2?（a+b）?5c+（5c）2
=［（a+b）+5c］2=（a+b+5c）2
投影片（§2.6 C）
［例3］把下列各式分解因式:
（1）x7y3－x3y3;
（2）16x4－72x2y2+81y4;
解:（1）x7y3－x3y3
=x3y3（x4－1）
=x3y3（x2+1）（x2－1）
=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）
（2）16x4－72x2y2+81y4
=（4x2）2－2?4x2?9y2+（9y2）2
=（4x2－9y2）2
=［（2x+3y）（2x－3y）］2
=（2x+3y）2（2x－3y）2.
［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢?
［生］可以.
分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习
1.把下列各式分解因式
（1）16a2－9b2;

admin

（2）（x2+4）2－（x+3）2;
（3）－4a2－9b2+12ab;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
解:（1）16a2－9b2=（4a）2－（3b）2
=（4a+3b）（4a－3b）;
（2）（x2+4）2－（x+3）2
=［（x2+4）+（x+3）］［（x2+4）－（x+3）］
=（x2+4+x+3）（x2+4－x－3）
=（x2+x+7）（x2－x+1）;
（3）－4a2－9b2+12ab
=－（4a2+9b2－12ab）
=－［（2a）2－2?2a?3b+（3b）2］
=－（2a－3b）2;
（4）（x+y）2+25－10（x+y）
=（x+y）2－2?（x+y）?5+52
=（x+y－5）2
2.利用因式分解进行计算
（1）9x2+12xy+4y2,其中x= ,y=－ ;
（2）（ ）2－（ ）2,其中a=－ ,b=2.
解:（1）9x2+12xy+4y2
=（3x）2+2?3x?2y+（2y）2
=（3x+2y）2
当x= ,y=－ 时
原式=［3× +2×（－ ）］2
=（4－1）2
=32=9
（2）（ ）2－（ ）2
=（ +  ）（ － ）
=ab
当a=－ ,b=2时
原式=－ ×2=－ .
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业
复习题  A组
Ⅵ.活动与探究
求满足4x2－9y2=31的正整数解.
分析:因为4x2－9y2可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数.
所以有 或
解：∵4x2－9y2=31
∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31
∴ 或  
解得 或
因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5.
●板书设计
§2.6回顾与思考
一、1.讨论推导本章知识结构图
2.重点知识讲解
（1）举例说明什么是因式分解.
（2）分解因式与整式乘法有什么关系?
（3）分解因式常用的方法有哪些?
（4）例题讲解
例1、例2、例3
（5）分解因式的一般步骤
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业





























3.1 分式
一、教学目标
1.能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感。
2.了解分式的概念，明确分式与整式的区别；掌握分式的基本性质，会化简分式。
3.在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。
二、教学重难点
教学重点：了解分式的概念，分式的基本性质；
教学难点：化简分式。
三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
读一读：看章首导图引出本章内容。
（章首图的主要意境是一个“代数式的庄园”，其中有整式，也有分式。在教学中，应利用章前图中提供的信息，让学生感受到分式与整式一样，也是表示现实情景数量关系的工具，是解决问题的一种模型。）
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？
（1）        这一问题中有哪些等量关系？
（2）        如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；
根据题意，可得方程                           ；
2.探索交流，概括概念
（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷；原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月；

(通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意义，发展符号感。)
做一做：
1.正n边形的每个内角为         度；
答：
2.一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为mkg，箱子的质量为nkg，则每千克苹果售价是多少元？

（进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义。）

议一议：
上面问题中出现了代数式， 它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
整式A除以整式B，可以表示成 的形式。如果除式B中含有字母，那么称 为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。
（这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念。教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背。）
3.巩固应用，拓展研究
例1 （课本例题）（1）当a=1,2时，求分式 的值；
（2）当a取何值时，分式 有意义？
答案：（1）
      （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义。
由分母2a=0,得a=0，所以，当a取零以外的任何实数时，分式 有意义。
（对与例1（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a本身是可以表示任何数的，但这里a作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）。）
4.练习巩固，促进迁移
（1）下列各式，哪些是整式，哪些是分式？

（2）分别求出使下列式子有意义的x的值。

（3）当x取何时，下列分式的值为零。

5.回顾联系，形成结构
想一想：什么是分式？分式中分母应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P25－P26

第二课时
1.创设情景，导出问题
      
引导学生独立思考、大胆质疑：为什么可以类比？因为字母可以表示任何的数。
1.    探索交流，概括概念

admin

讨论后得出结论
  
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
注意：在分式有意义的情况下，（本题实际隐含了m≠0，n≠0的条件，故成立）。
3.巩固应用，拓展研究
例2（课本例题）
     
（本例承上启下。一方面它是分式基本性质的应用，另一方面由此例引出分式的约分。教学时注意引导学生找出分子与分母的公因式。）
例2中， ，即分子、分母同时约去了整式ab； ，即分子、分母同时约去了整式x-1。
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
练习：化简下列分式：

注意在约分训练时，应使学生明确如下几点：①对于一个分式来说，约分就是要把分子分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；②约分的关键是确定分式的分子分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式的思考过程相似；③约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式。
议一议：在化简 时，小颖和小明出现了分歧。

你对他们两人的做法有河看法？与同伴交流。
（约分不彻底是学生容易出现的问题。教学时要根据学生出现的具体问题引导学生进行交流。）
在小明的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式。
4.练习巩固，促进迁移
1.学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品，若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，问这笔钱全部用来买笔或日记本，可买多少？
答案：设钢笔每支x元，日记本每本y元，则60(x+2y)=50(x+3y),则x=3y，于是，这笔钱全用于买钢笔，可买
这笔钱全用于买日记本，可买
2.下列分式的恒等变形是否正确，为什么？

答案：（1）由已知分式中隐含着a≠0的条件，所以可以用a分别乘以分式的分子与分母，分式的值不变，固（1）是正确的。
（2）∵字母c可取任意数，当然包括零，当c=0时，分子、分母都乘以c，就会使分式没有意义，所以（2）只有在c≠0时才是正确的。
3.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。
         
    4.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。
      
    5.不改变分式的值，使分子和分母中最高次项的系数是正数，并把分子和分母中的多项式按x的降幂排列。
  
       解法一： 由  可知x≠0，y≠0，故在等式两边同乘以xy得x+y=5xy。
             故   （∵xy≠0，∴分子、分母同除以xy）
    解法二：∵xy≠0，将所求分式的分子分母除以xy。
5.回顾联系，形成结构
想一想：分式化简应注意些什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
北师大版八年级（下）P26－P28





























3.2 分式的乘除法
一、教学目标
1.      经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情景说明其合理性。
2.      会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数化归能力。
3.      能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
二、教学重难点
教学重点：分式的乘除运算法则，进行简单分式的乘除运算。
教学难点：解决一些与分式有关的简单的实际问题。
三、教学过程设计
1.      创设情景，导出问题
观察下列运算：

（让学生全面参与、独立思考，并让他们说说自己是怎样想的，为什么可以这样想，等等。调动学生的学习积极性。）
2.探索交流，概括概念
   概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
经观察、类比不难发现
（在广泛交流的基础上，由学生自己总结出分式的乘除法法则，并用数学的符号语言加以表示。）
3.巩固应用，拓展研究
例1计算下列各题：


    （这是一个纯运算题目，应引导学生理解每一步的算理。加强学生的逻辑推理能力。）
例2 通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都d，已知球的体积公式为最简分式的个数是（     ）
A．1个      B．2个         C．3个         D．4个
答案：选B
3. 计算：


        4. 先化简，再求值。
     
  
  
5.回顾联系，形成结构
想一想：分式的乘除法的法则是什么？在做分式的乘除法时应注意些什么？
（过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
6.课外作业与拓展
P28－P30


§3.3 分式的加减法
一、教学目标
1.经历探索分式加减运算法则，理解其算理；
2.会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力；
3.能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。
二、教学重难点
教学重点：分式的加减运算；
教学难点：解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型思想。

admin

三、教学过程设计
第一课时
1.创设情景，导出问题
从甲地到乙地有两条路，每条路都是3km，其中第一条是平路，第二条有1km的上坡路、2km的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h，那么
（1）    当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
（2）    她走哪条路花费时间少？少用多长时间？
（通过行程问题引入分式的加减运算，既体现了加减运算的意义，又让学生经历了从实际问题建立分式模型的过程，发展学生有条理的思考及代数表达能力。培养学生对分式的建模能力。）
答案：生活中到处都有分式的应用。
（2）走第一条路花费的时间少，少用了
2.探索交流，发现规律
讨 论：
（1）同分母的分数如何加减？
（2）你认为 应等于什么？
（3）猜一猜，同分母的分式应该如何加减？
（让学生相互交流，引导学生通过与分数类比，大胆猜想分式的加减运算法则。并让学生说明其合理性。培养学生的探索能力。）
    归 纳：
与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
3.练习巩固，促进迁移
做一做：

想一想：
（1）异分母的分数如何加减？
（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如 应该怎样计算？
（鼓励学生在同分母分式加减的基础上，思考异分母分式的加减。）
类比异分母分数的加减运算，学生容易想到，解决异分母分式的加减问题，其关键是化异分母分式为同分母分式的过程。
议一议：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。
           
         你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
（在化成同分母分式的过程中，学生容易出现问题。小明的做法往往是学生容易想到的，但比较麻烦。教学时可比较两人做法，使学生在比较过程中体会到后一中方法的快捷。）
根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
（最简公分母的概念在课本上没有进行严格的描述，学生只要能在具体问题中明确最简共分母即可，不必对这一概念进行深究。）
用一用：请你计算一下本课开始的行程问题中的分式的加减式。
（把所学的知识立即应用与实际问题，增强学生的学习兴趣。）
4.练习巩固，促进迁移

（后两小题是一组异分母加减的简单题目，只要分子、分母同乘以一个常数即可以化为同分母分式的加减运算，为下节课一般的异分母加减运算做好准备。）
5.回顾联系，形成结构
该如何进行分式的加减运算？在运算时应注意些什么？
（通过提问方式引导学生小结主要知识及学习活动，养成学习——总结——再学习的良好习惯，发挥自我评价的作用，培养学生的语言表达能力）
6.课外作业与拓展
八年级（下）P30－P31


























第二课时
1. 探索交流，发现规律
做一做：尝试完成下列各题：
  
（让学生再次经历异分母分式的加减运算，在此基础上归纳出异分母分式的加减法法则。这种安排容易被学生所接受，符合他们的认知结构。）

与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
2.巩固应用，拓展研究
   
   例2   
         
    例3  甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，甲每次购买1000kg，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料。
   （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
   （2）谁的购货方式更合算？
    答案：（1）设两次购买的饲料单价分别m元/kg和n元/kg（m、n是正数，且m≠n）
甲两次购买饲料的平均单价为
         
乙两次购买饲料的平均单价为

   （2）甲、乙所购饲料的平均单价的差是

      
   （让学生充分得思考、讨论、交流。通过实例，提高学生的运算能力、代数推理能力和“数学化”的能力。）
3.课堂练习，促进迁移


  
4.回顾联系，形成结构
异分母分式的加减法法则是什么？这节课你有什么收获？
（让学生自已总结本节所学内容，培养他们善于总结、归纳的能力）
5.课外作业与拓展
八年级（下）P32－P33

3.4   分式方程
一、教学目标
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。
2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系。
3.经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程，发展学生分析问题的能力，培养学生的应用意识。
二、教学重难点
        教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性。
        教学难点：掌握“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程。
三、教学过程设计
第一课时