一 圆
一、圆的认识(一)
1. 圆的特征:由一条曲线围成的封闭图形,圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2.圆的画法。
(1)手指画圆法。
以拇指为固定点,食指与拇指间的距离不变,将食指绕拇指旋转一周,食指的运动轨迹就形成了一个圆。
(2)实物画圆法。
把圆形物体放在纸上固定不动,用笔沿实物的边缘描一周,就画成了一个圆。
(3)系绳画圆法。
用一个图钉、一根线(没有弹力)和一支笔画圆的方法:用图钉将线的一端固定在一点上,用笔将线拉直并绕这个固定的点旋转一周,就画成了一个圆。
(4)圆规画圆法。
根据圆心到圆上任意一点的距离(即半径)都相等,可以用圆规来画圆。步骤如下:
①把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径);
②把带有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;
③把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一个圆。
3. 圆的各部分名称。
(1)圆心。
画圆时,圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心。
圆心一般用字母O表示。
(2)半径。
用圆规画圆时,圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径,即圆心到圆上任意一点的距离叫半径。
半径一般用字母r表示。
在同一个圆里,所有半径的长度都相等。
(3)直径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。直径一般用字母d表示。在同一个圆里,所有直径的长度都相等。
4. 圆的各部分之间的关系。
圆有无数条直径,无数条半径;同圆(或等圆)中的直径都相等,半径都相等;直径的长度是半径的2倍,可以表示为d=2r或r=。
5. 圆心和半径的作用:圆心确定圆的位置,半径决定圆的大小。
6. 圆在生活中的应用。
汽车车轮、自行车的车轮、球、齿轮、方向盘、圆规、井盖、钟表、水杯、环岛……
二、圆的认识(二)
1. 圆的对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。
2 . 常见的轴对称图形的对称轴的数量。
正方形有4条、长方形有2条、等边三角形有3条、等腰三角形有1条、等腰梯形有1条和圆有无数条。
3. 利用圆的对称性确定圆心的方法。
方法一 把圆形纸片按下面的方法对折,两条折痕的交点就是圆心。
方法二 把圆形纸片沿不同的方向任意折出两条直径(直径所在的直线即对称轴),两条直径(折痕)的交点就是圆心。
4.圆与内接或外接正多边形组成的组合图形的对称轴是经过圆心的正多边形的对称轴。
三、欣赏与设计
综合运用旋转、轴对称和平移的知识设计图案。
四、圆的周长
1.圆的周长的意义。
圆的周长就是圆一周的长度,也可以理解为将圆滚动一圈的长度。直径的长短决定圆周长的大小。
2.圆周长的测量方法。
方法一 用滚动法测量圆的周长。
在圆形硬纸板的边缘上点一点A,使点A对准直尺的0刻度,然后使圆形硬纸板在直尺上向右滚动一周,点A所指的新刻度就是这个圆形硬纸板的周长。
方法二 用绕线法测量圆的周长。
在圆形硬纸板的边缘上点一点A,使点A对准线的一个点,然后用线从点A开始绕圆形硬纸板一周,做好标记,再拉直并测量绕圆形硬纸板一周的线的长度,该长度就是圆形硬纸板的周长。
3.圆周率的意义。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,我们把它叫作圆周率,用字母π表示,计算时通常取3.14。
4.圆的周长的计算公式。
如果用字母C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。
5.圆的周长计算公式的应用。
已知圆的半径、直径和周长三种量中的一种量,就可以求出另外两种量。
(1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2πr。
(2)已知圆的直径,求圆的周长:C=πd。
(3)已知圆的周长,求圆的半径:r=C÷π÷2。
(4)已知圆的周长,求圆的直径:d=C÷π。
五、圆的面积
1.圆的面积的含义。
圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。
2.圆面积的计算方法:
方法一 用数格子的方法估算出圆的面积。
在圆内画方格数一数,得到圆的面积。
此方法无法得到圆的面积的精确值。
方法二 转化法:将圆转化成平行四边形。
(1)将一个圆形纸片分别分成8等份、16等份后剪切、拼接。
等分圆时,要沿着半径剪开;拼接时,也要使半径重合。
发现:把圆分成8等份、16等份后,可以拼成近似的平行四边形。
(2)将一个圆形纸片分成32等份后剪切、拼接。
发现:把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就越接近平行四边形。
3.拼成的平行四边形和圆之间的比较。
观察圆和剪拼后的图形,可以发现 1)在剪拼的过程中,图形面积的大小没有发生变化,只是形状改变了,即圆的面积等于拼成的平行四边形的面积。(2)拼成的平行四边形的高相当于圆的半径,它的底相当于圆的周长的一半。
4.公式推导。
圆的面积=平行四边形的面积
=底×高
=×r
=πr×r
=πr²
圆的面积计算公式1)文字公式为圆的面积=圆周率×半径的平方;(2)如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是S=πr²。
5. 把圆转化成三角形,推导圆的面积计算公式。
(1)把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿一条半径剪开,得到许多长短不同的草绳,然后把草绳按由短到长的顺序排列,拼成一个三角形。
(2)三角形的面积相当于圆的面积,三角形的底相当于圆的周长,高相当于圆的半径。三角形的面积=,所以圆的面积公式为S==πr²。
6.圆的面积计算公式。
如果用S表示圆的面积,r表示圆的半径,那么圆的面积计算公式是S=πr²。
7.圆的面积计算公式的应用。
求圆的面积必须知道圆的半径。当已知圆的直径或周长,求面积时,必须先求出圆的半径。
(1)已知圆的半径,求圆的面积:S=πr²。
(2)已知圆的直径,求圆的面积:r=,S=πr²=π。
(3)已知圆的周长,求圆的面积:r=C÷π÷2,S=πr²=π(C÷π÷2) ² 。
8. 圆环的面积计算公式。
内圆面积:S内=πr²
外圆面积:S外=πR²
圆环面积:S环=πR²-πr²=π(R²-r²)
半圆的面积=圆的面积÷2
组合图形的面积:
几种基本图形的面积相加;
几种基本图形的面积相减。
在食指绕拇指旋转一周的过程中,拇指所按的点不变,食指与拇指间的距离不变。
用图钉、线和笔画圆时,图钉要固定好,线要拉直。
用圆规画圆,针尖所在的位置是圆心,两脚间的距离是半径。
1.同一个圆里有无数条半径,长度都相等。
2.直径是圆内最长的线段。
1.判断直径和半径时,一定要看其是否经过圆心。
2.圆的大小与半径的长短有关,与它所在的位置无关。
3. 在同圆(或等圆)中,“d=2r”才能成立。
圆的对称轴是直径所在的直线,而不是直径。
易错点:对称轴是一条直线,所以直径所在的直线是圆的对称轴。
利用圆可以设计出美丽的图案,并且设计图案时可以综合运用平移、旋转和轴对称的知识。
绕线时,要选择没有弹性的线,并使线与圆形硬纸板的边缘完全重合。
所有圆的圆周率都相等,约等于3.14。
易错点:圆的周长的一半与半圆的周长不同,半圆的周长包括圆周长的一半和一条直径的长度。 半圆的周长用公式表示为C=πr+d=πr+2r。
错例:π=3.14
分析:在计算时,圆周率π通常取3.14,3.14是一个近似值。π是一个无限不循环小数,它的近似值是3.14,但它并不等于3.14。
正解:π≈3.14
把圆平均分成的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就越接近平行四边形。
1.拼接后的图形总有两条边是曲线,所以只能叫“近似平行四边形”。
2.圆的面积公式的推导过程中运用了转化的思想。
r²与2r的区别:
r²表示的是r×r,读作r的平方;2r表示的是r+r。半径越长,圆的面积。
错例:一个圆的半径是1.5 cm,它的面积是多少?
错解:
3.14×1.5×2=3.14×3=9.42(cm²)。
正解:
3.14×1.52=3.14×2.25=7.065(cm²)。
先算内圆的面积,后算外圆的面积,最后用外圆面积减去内圆面积。
半圆的面积:
S=πr²÷2
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发表于 2019-8-19 17:34:26
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