教学研究优秀文章 小学数学数学模型的探究

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交流 小学数学数学模型的探究
湖南省常德市鼎城区花船庙小学　田家顺
摘  要：数学模型作为一个崭新的理念走进小学数学教学，教师只有认真理清数学模型思想的定义，以及与其它的数学思想之间的关系，才能很好的在研讨教材时进行教学设计，构筑建模过程，也只有老师在思路非常清晰的情况下，学生才能在老师的引导下自主探究建立数学模型，让学生体验数学的简洁美。

关键词： 小学数学   数学模型   界定   探究

数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新理念，强调的是数学理论与实际问题相结合。数学模型是一种应用性很强的理论，被广泛的应用于生物、医学、经济、管理、工程等各领域。从《数学课程标准（试行版）》开始被引入到教育领域，在前言部分进行了粗略的描述：“数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象”、“让学生亲身经历实际问题，抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程”。从这简要的描述可以看到对数学模型的一个初步的界定，但并不具体，同时在小学段（第一学段和第二学段）也没有提出明显的模型思想要求，作为一个关注数学模型的一线教学工作者，更多的是凭借数学模型在第三学段的模型思想以及高等院校的理论思想进行套用与探索。相比之下，《数学课程标准》（2011版）则明确的提出“树立模型思想”，并有着整段话语对建模型过程进行了系统的描述，显示出数学模型在教育领域越来越被大家所接受和认同。因数学模型在小学数学教学领域尚处在探索阶段，笔者根据自己在教学一线所获得的感悟，与大家共同探讨。

一、小学数学领域数学模型的界定

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。

课程教材研究所的王永春教授在《小学数学思想方法的梳理（三）》中谈到：因与符号化思想和数学知识相区别开来，在文章中采用的狭义的数学模型定义。王良春老师在文章中避开了数学模型与符号化思想及数学知识的关系的论述，这也是我们一线教学工作者感到困惑的地方，因此在实践教学中，我们会在研究每堂课时，争论某个问题到底该适用哪个概念。如：做除法想乘法，我们到底应该做为哪种描述更为合适，可不可以看做是一种数学模型。

根据《数学课程标准》（2011版）中所提出的“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现‘问题情境—建立模型—求解验证’过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”。从这一段的描述中我们可以看出，建立模型是数学运用和解决问题的核心，数学模型是小学数学课堂上师生进行探究的结果，是一种数学知识。《数学课程标准》提到“模型思想建立是……用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变量规律……”，可以清晰的看到有些数学模型是数学符号建立的。

综上所述，笔者认为，我们是否可以得出数学模型是由数学符号等构建出来的数学知识，即数学模型是由数学符号、数学思想按一定的数学方法构建出来；数学模型在小学数学阶段是由师生在课堂上构建出的数学认知结构。因此，将数学模型的广义定义应用于小学数学教学，会使得数学模型在小学数学教学中的地位更清晰，更具活力，为一线教学工作者进行更深入的探究提供广阔空间。

二、小学数学老师应怎样把握数学模型

根据数学模型的定义，教师清楚的了解哪些属于数学模型，“自然数系统”是描述离散数量的数学模型，6×3是描述3个6相乘的数学模型；九九乘法表是数学模型；平形四边形面积公式：S=ah是数学模型；关于五年级平面图形面积公式的复习，我们也可以做构建出模型，学生通过模型可以清晰的了解正方形、长方形、平形四边形、三角形、梯形之间推导

关系及原理。这样便于教师在进行教学设计时认真思考建模是建立的一个什么数学模型。

   我们初步可以判定每堂课可以形成一个核心的数学模型，在教学实践中，有些数学模型是显而易见的，如已经形成了公理的定义、概念、公式等等，而有些则需要我们老师进行仔细的研讨，特别是“数学广角”部分，教师构建出一个简洁、清晰、应用性强的数学模型，会让学生切切实实感受到数学的简洁美。

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  案例1：一位青年教师在比武课中上《找次品》（人教版课本134页的例1，例2及相应练习）一课，建模过程（略），板书如下：

                            3（1，1，1）      1次

                            9（3，3，3）      2次

                            27（9，9，9）     3次

                            81（27，27，27）  4次

师：你有什么发现？（被测物品每次乘3，所用次数加1），根据规律如果是243个物品，至少要用几次？（5次），至少6次保证找到次品，被测物品可能是多少？（729），（生：7次）。教师进行小结：这节课我们研究的是什么问题？（板书：找次品）你有什么收获？还有什么疑问？（当被测物不能平均分3份时，怎么办？）大家想知道吗？课后你可以找到这样的数，继续试验。下节课我们一起来研究。

这堂课所建立的数学模型不是很完美，仔细研究，我们会发现这里我们实际是在求3的N次方，只不过在小学五年级阶段学生没有学“次方”概念，但我们老师可以初步的运用直观图示，让学生去发现、归纳、总结出“除以3的次数就是所测物品的次数”，然后通过运算解决问题。那么有6561个物品，我们就不需要再运行上面的推导方案，只需要学生拿出草稿纸计算除以几次3。从而真正实现数学模型去解决实际问题。

设计建模过程如下：

物品 个数	分法	平均 分成	分了 几次	算式
3	（1，1，1）	3份	1次	3÷3
9	（3，3，3（1，1，1））	3份	2次	9÷3÷3
27	（9，9，9（3，3，3（1，1，1）））	3份	3次	27÷3÷3÷3
81	……	3份	4次	81÷3÷3÷3÷3
……	……	……	……	……

教师在黑板上板书可不设计表格，笔者是为了书写方便。整个过程由学生探究得出，不仅可以体验到探究的乐趣，而且可以体验到原来数学可以把世界变得如此简单。  

案例2：一堂数学课中有几个模型？

一位老师执教人教版四年级上册《口算除法》，教材中用两个学生展示计算思路：

     男生：20×4=20      80÷20=4

     女生：8÷2=4       80÷20……

  在教学中，教师根据教材设计了准备练习，在出示例题后，学生得出：

1、想80里面有几个20；

2、同时缩小10倍，8÷2=4；

3、做除法，想乘法。

    在学校组织的教学研讨沙龙上，引起广泛争议。

    争议1：学生得出的第一点和第三点，它们之间应该表达的是同一个意思，即“想80里面有几个20”本来就是乘法的原理，乘法是“几个几”的数学模型。

争议2：学生得出的第二点是根据教材中女生的思路得出，这里学生通过直观感知到了“商不变”的性质，但探究、运用“商不变”性质，是以后的教学内容，在这堂课中，我们在学生练习中可以发现，学生在讲这个想法时思路不清晰，数学语言表述不清楚、不规范，这是小学数学课比较忌讳的。许多老师认为，对学生正确的引导应该是“80里面有8个十，20里面有2个十”，再引导学生思考“8个十里面有几个2个十”。我们会发现，“8个十里面有几个2个十”也是表述的“几个几”，即乘法，追根溯源，这个思路是“做除法想乘法”这个数学模型的运用。因此，本堂课应该是“做除法想乘法”这个数学模型的应用，这个处理数学除法的模型将伴随孩子一生。

结束语：数学模型作为一个新的理念走进小学数学教育教学领域，作为一线教师，理清数学模型在老师中的地位与作用，切实研究好每堂课中所应建立的数学模型，才能有效的设计好整个建模过程，让学生真切的体验数学的魅力。

参考文献

[1] 期刊.张永东，陈怀琳. 小学数学模型构建策略研究[j]. 厦门广播电视大学学报, 2012年, 第2期:第92-97页.

[2] 期刊. 李林. 中学数学建模教与学[d].福建师范大学 , 2003年.

[3] 电子文献.王永春. 小学数学思想方法的梳理[r].