借助一次函数模型作决策

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河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建

决策类一次函数模型是中考重要模型，它是刻画变量之间关系的有效数学模型，现实生活中的许多问题可以通过建立一次函数模型去研究它，在中考试题中占有重要地位，这类试题往往与方程、不等式（组）结合在一起，需要灵活运用不等式（组）及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。　 这类应用题重在考查学生阅读能力，应用数学知识分析问题能力，建立数学模型解决实际问题能力，培养学生应用数学的意识。要解好此类问题必须做到： 　　 一是建摸。它是解答应用题的最关键的步骤，即在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，从而根据题意建立一次函数模型。　　 二是解摸。即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。 现以06年的中考题为例对此类问题的解法作一说明，望对同学生们的复习能有所帮助。 一、由方程（组）确定决策点 1、由题目条件建立方程（组），求得决策点 这类试题的特点是由题目的条件，分析出两个解析式，由两解析式组成方程组，求得方程组的解，从而建立讨论点。 例1：(06锦州)小刚家装修，准备安装照明灯.他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当.假定电价为0.45元/度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)=功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用=电费+灯的售价]. (1)分别求出y1、y2与照明时间x之间的函数表达式； (2)你认为选择哪种照明灯合算？ (3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？ 　　解：(1)根据题意，得，即； 　　，即. 　　(2)由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450； 　　由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450； 　　由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450. 　　∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算. 　　(3)由(2)知当x＞1450小时时，使用节能灯省钱. 　　当x=2000时，y1=0.018×2000+1.5=37.5(元)； 　　当x=6000时，y2=0.0036×6000+22.38=43.98(元)， 　　∴3×37.5-43.98=68.52(元). 　　∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元. 　　点拔：解决此问题的关键是分析题意，由题意建立一次函数模型，进一步通过两函数解析式组成的方程组确定分类讨论点，根据一次函数的性质做出决策，第三问需要把所给的自变量的值直接代入一次函数的解析式，通过比较两上费用的大小作出决策。 2、借助图像信息，建立方程组确定决策点 图象信息问题的重点是观察图象，从中获取信息，并且要常常进行“数”与“形”之间的互换，如函数图象如何转化为函数解析式，图像中的信息如何转化为数据，进而转化为方程与函数，几何图形的线段如何转化为距离，等等，这里涉及函数、方程、几何知识的综合运用，则是本类题的难点， 例2：（2006　梧州非课改）甲、乙两个同学同时从各自的家里返回同一所学校，他们距学校的路程（千米）与行走时间（小时）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题： 　　（1）分别求出甲、乙两同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式． 　　（2）在什么时间，甲、乙两同学距学校的路程相等？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校远？在什么时间段内，甲同学比乙同学离学校近？ 　 　　解：（1）设甲同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为．由图可知，函数的图象经过点 　　　 解得　　　 　　设乙同学距学校的路程（千米）与（小时）之间的函数关系式为 　　由图可知，函数的图象经过点 　　　　解得　　　　 　　（2）由题意得，，解得．　 　　所以当行走了小时的时候，甲、乙两同学距学校的路程相等． 　　由图象知，当时，甲同学比乙同学离学校远．　 　　　　　　　当时，甲同学比乙同学离学校近． 　　例3：（2006　吉林课改）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作： 　　请根据图中给出的信息，解答下列问题： 　　（1）放入一个小球量桶中水面升高___________； 　　（2）求放入小球后量桶中水面的高度（）与小球个数（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 　　（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？ 　　解：（1）． 　　（2）设，把，代入得： 　　解得即． 　　（3）由，得，即至少放入个小球时有水溢出． 　　二、由不等式确定决策范围 　　此类问题的特点是自变量的取值范围蕴含于题目的条件中，需要我们有良好的数据分析与概括能力从题目本分离出取值范围。 　　例4：(06临沂)某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30天）里，有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？ 　　解：设该报亭每天从报社买进报纸x份，所获月利润为y元。根据题意，得 　　y=（0.50－0.30）x·10＋(0.50－0.30)×150×20＋(0.10－0.30)(x－150)×20. 　　(150≤x≤200)    　　即y=－2x＋1200(150≤x≤200).由于该函数在150≤x≤200时，y随x的增大而减小，所以当x=150时，y有最大值，其最大值为：－2×150＋1200=900（元） 　　答：报亭每天从报社买进150份报纸时，每月获得利润最大，最大利润为900元。 　　点拔：本题的情景也是我们日常生活中经常遇到的决策性问题．解决此类问题的关键是根据题目中的条件列出解析式，再通过分析题意找出自变量x的取值范围，最后根据一次函数的增减性及取值范围，确定自变量x的值，进而求得最大利润，最后作出决策。 　　三、由不等式组确定决策范围 此类问题的特点是，把题目中的一些条件蕴含于表格之中，通过分析表格与题目条件才能得到方程组，进而得到自变量的取值范围，找出讨论点。 　　例5：（06益阳市）城西中学七年级学生共400人，学校决定组织该年级学生到某爱国主义教育基地接受教育，并安排10位教师同行.经学校与汽车出租公司协商，有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机座位）与租金如右表，学校决定租用客车10辆. (1)为保证每人都有座位，显然座位总数不能少于410.设租大巴x辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？ 大巴 中巴 座位数（个/辆） 45 30 租金（元/辆） 800 500 　　（2）设大巴、中巴的租金共y元，写出y与x之间的函数关系式；在上述租车方案中，哪种租车方案的租金最少？最少租金为多少元？ 　　解：(1)根据题意得解得： 　　又因为车辆数只能取整数，所以 　　故租车方案共3种：①租大巴8辆，中巴2辆；②租大巴9辆，中巴1辆；③租大巴10辆. 　　（2） 　　为一次函数，且y随x的增大而增大. 　　∴x取8时，y最小. 元 　　答:租大巴8辆，中巴2辆时租金最少，租金为7400元. 　　点拔：此类问题为一次函数与不等式的综合题，要解决此问题首先需要根据实际问题建立不等式组，从而得出自变量的取值范围，经分类讨论得到适合条件的解，然后再根据一次函数的增减性最后确定选择方案。 　　四、由题目条件，自动生成分类讨论点 　　例6：（06遂宁）有一种笔记本原售价为每本8元。甲商场用如下办法促销：每次购买1～8本打九折、9～16本打八五折、17～25本打八折、超过25本打七五折 乙商场用如下办法促销： 购买本数（本） 1～5 6～10 11～20 超过20 每本价格（元） 7.60 7.20 6.40 6.00 （1）、请仿照乙商场的促销表，列出甲商场促销笔记本的购买本数与每本价格对照表； 　　（2）、某学校有A、B两个班都需要购买这种笔记本。A班要8本，B班要15本。问他们到哪家商场购买花钱较少？ 　　（3）、设某班需购买这种笔记本的本数为x，且9≤x≤40，总花钱为y元，从最省钱的角度出发，写出y与x 的函数关系式 解：(1)甲商场的促销办法列表为： 购买本数(本) 1～8 9～16 17～25 超过25 每本价格(元) 7.20 6.80 6.40 6.00 (2)若A班在甲商场购买至少需57．6元，而在乙商场购买也至少需要57．6元，所以A班在甲商场购买、乙商场购买花钱一样多． 　　若B班在甲商场购买至少需102元，而在乙商场购买至少需要96元，所以B班在乙商场购买花钱较少． 　　(3)由题意知，从最省钱的角度出发，可得y与x的函数关系式为： 　    　 　　点评：此类问题，多用于商品的促销活动中，大多属于分段函数，即在不同的取值范围内有不同的解析式，需要我们根据取值范围的不同列了不同的解析式，通过对解析式的比较，发现问题，得出结论，从而做出决策。 　　五、由一次函数与二次函数的综合来共同决策 　　例6：(06绵阳)某产品每件的成本是120元，为了解市场规律，试销阶段按两种方案进行销售，结果如下： 　　方案甲：保持每件150元的售价不变，此时日销售量为50件； 方案乙：不断地调整售价，此时发现日销售量y (件)是售价x (元)的一次函数，且前三天的销售情况如下表： x (元) 130 150 160 y (件) 70 50 40 ⑴如果方案乙中的第四天、第五天售价均为180无，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？ 　　⑵分析两种方案，为获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售利润S是多少？ 　　(注：销售利润 = 销售额 － 成本额 ，销售额 = 售价×销售量) 　　解：（1）设方案乙中的一次函数解析式为ｙ＝kx+b, 　　∴,解得k=－1,b=20. 　　∴方案乙中的一次函数为y=-x+200 　　∴第四天、第五天的销售量均为：－180+200=20件。 　　∴方案乙前五天的总利润为：130×70＋150×50＋160×40＋180×20＋180×20－120×（70＋50＋40＋20＋20）=6200元。 　　∵方案甲前五天的总利润为：（150－120）×50×5=7500元，显然6200<7500，∴前五天中方案甲的总利润大。 　　（2）若按甲方案中定价为150元/件，则日利润为（150－120）×50=1500元。 　　对乙方案：∵S=xy－120y=x（－x＋200）－120（－x＋200） 　　=－x2＋320x－24000 　　=－（x－160）2＋1600 　　即将售价定在160 元/件时，日利润最大，最大利润为1600元 　　∵1600>1500 , 　　∴将产品的销售价定在160元/件，日销售利润最大，最大利润为1600元。 　　点拔：此题具有较强的综合能力，首先需要分析题意理出两种销售方式（甲销售方式为一次函数关系，乙销售方式为二次函数关系），进而把一次函数与二次函数结合在一起，这是两种不同类型的函数模型，最后分别求出两种函数模型的最大值通过比较求得最大利润，最终做出决策采用哪种消费方案。