新人教版八年级数学上册第12章全等三角形教学案

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新人教版八年级数学上册第12章全等三角形教学案
课题：全等三角形复习课
【复习目标】
1、加深对全等形及全等三角形有关概念的理解和掌握.
2、归纳重点、要点、考点及易错点知识的迁移.
3、通过不同题型的训练、让学生熟练运用三角形的判定定理及角平分线的性质定理、判定定理准确的解题和证题.
【复习过程】
一、课本概念、性质、定理等
1、 全等形：
   （1）定义：能够完全      的两个图形叫做全等形.
   （2）性质、判定：形状、    相同的         全等形。
2、全等三角形：能够完全         的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形中能够重合的顶点叫做           ，重合的边叫        ，重合的角叫                 .
3、全等三角形的性质:全等三角形的对应       相等 ，对应角              ，面积  
               ，周长                    。
4、判定三角形全等的方法：
   1）定义法：能够完全 重合的两个三角形是全等三角形（这种方法一般不用）。
   2）常用判定定理有          ，          ，           ，          ，直角三角形的判定定理除        ，          ，          ，         ，还有         
  注意：
   1）一般地，判定两个三角形全等必须有三个元素、 并且至少有一组边对应相等。
   2）判定两个三角形全等时、要根据条件灵活选择方法。
5、角的平分线
    1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
2）角平分线的性质：角平分线上的点到       的两边的       相等。
如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。
应用格式：
    OP为 AOB的平分线
     AOP =  BOP
   角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
    点P在 AOB的平分线上，且PD OA于D，PE OB于E，
    PD = PE .
  注意：角的平分线上的点到角两边的距离相等有两个前提条件:
        点在角的平分线上 过这点作角的两边的垂线。                                    

6、角平分线的判定：
（1）如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把这个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的平分线 .
  应用格式：
        AOP =  BOP，
       射线OP为 AOB的平分线 .
   （2）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 .
       应用格式：
         PC OA于C ，PD OB于D，且PC = PD.
         射线OP为 AOP的平分线 .

   二、知识点归纳
1、全等三角形
（1）全等三角形的性质是以后证明线段相等或角相等的常用依据。
（2）全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的平分线也相等。
（3）全等三角形的周长和面积相等。
2、常见 的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型.
     （1）平移型：
          如图、 ABC向右平移，得到 DEF ，则 ABC  DEF

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（2）旋转型：
   如图，两对三角形的全等属于旋转型、图形的特点是：
   图1的旋转中心为O点、有公共部分 1；图2的旋转中心为O点，有一对对顶角 1和 2.

（3）翻转型：
     如图、两对三角形的全等属于翻折型，其中图1中有公共边AB，图2中有公共角 A .


3、对判定三角形全等的方法的理解
（1）判定两个三角形全等的条件中至少有一组边对应相等，没有对应边相等就无法确定三角形的大小。
（2）要注意“两边夹角”和“两角夹边”的位置关系.
（3）在运用“AAS”时，要特别注意“S”对应的两边是一组对应角的对边，否则就不一定全等。
（4）在判定两个直角三角形全等时，不需要用“SSS”，只要有两组对应边分别相等即可。
  当两直角边分别相等时用“SAS”（夹直角）
  当斜边和一条直角边分别相等时用“HL”。
  判定两个直角三角形全等的方法有“SAS”, “ASA”, “AAS”, “HL”, 在实际证明中，可以根据条件灵活运用不同的方法，不要只拘泥于”HL”。
（5）有两边和一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。
（6）有三个角分别相等的两个三角形也不一定全等。
4、全等三角形的证题思路
  证明两个三角形全等，选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定.
  （1）已知两边找夹角然后用SAS  找另一边然后用SSS
  （2）已知一边一角
边为角的对边时另找任一角然后用AAS 。
边为角的邻边时找夹角的另一边然后用SAS 或找夹边的另一角然后用ASA或找这一边的对角然后用AAS .
已知两角找夹边然后用ASA或找其中一角的对边然后用AAS.
5、证明角相等常用的方法：
  （1）对顶角相等.
  （2）同角（或等角）的余角（或补角）相等.
  （3）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.
  （4）角平分线的定义.
  （5）等式性质.
  （6）全等三角形的对应边相等.
6、证明线段相当常用的方法
  （1）中点的定义.
  （2）全等三角形的对应边相等.
  （3）等式的性质.
7、证明一个几何命题的步骤
  （1）明确命题中的已知和求证. （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证.
  （3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.

三、基础练习题
一）选择题
1、下列说法：（1）形状相同的两个图形是全等形      （2）面积相等的两个三角形是全等三角形（3）全等三角形的周长相等，面积相等      (4)在 ABC和 DEF中，若 A= D, B = E ,  C= F ,AB=DE,BC=EF,AC=DF, 则这两个三角形的关系可记作 ABC ≌  DEF.其中正确的有 （      ）.
     A、1个            B、2个           C、3个          D、4个
2、下列说法中，正确的是     （        )
A．周长相等的锐角三角形都全等             B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等             D．周长相等的等腰直角三角形都全等
3、已知一个等腰三角形的两边长是8cm和3cm，则这个三角形的周长为  （        ）
     A、19 cm         B、14cm          C、19cm或14 cm     D、11cm
4、如图，已知△ABC≌△CDA，并且AB=CD，那么下列结论错误的是（　　）  
     A．∠1=∠2        B．AD=CB      C．∠D=∠B         D．BC=AC
                                                                 

  5、如图，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点分别为B，D，如果AB=5cm，BC=7cm，AC=10cm，那么BD等于（   ）
      A、10 cm             B、7cm          C、5cm         D、无法确定
                                                         
  6、如图、在 ABC中,AB=AC,AD平分 BAC交BC于D,则下列说法
（1) ABD与 ACD全等       （2）AD是 ABC中BC边上的中线
（3）AD是 ABC中BC边上的高     （4） B =  C
                                                         
7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm．则△DBE的周长是 （      ）
  A、6  cm          B、7 cm        C、8cm      D、9cm
8、如图，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，则AB与CD之间的距离为   (       )．
  A、2            B、 3          C、 4          D、5
9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（　　）
   A. BD+DE=BC      B. DE平分∠ADB     C. AD平分∠EDC    D、DE+AC >AD
                                                               


10、如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论  ①AF⊥BC；    ADG ≌ ACF  ； ③O为BC的中点；    ④AG：DE= : 4
其中正确结论的序号是（　　）   
A、①        B、①③       C、③       D、①③④

二、）填空题
1、如图一、已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠AEB=______度
2、如图二,已知:AC和BD相交于O, 1= 2, 3= 4.则AC和BD的关系      .
3、  如图三，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=        ．
4、如图一，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则 点D到AB的距离是______．
                                          

5、如图二、OP平分∠MON，PA⊥ON于点A， 点Q是射线OM上的一个动点．若PA=2，则PQ的最小值为______，理论根据为____
6、在△ADB和△ADC中，有下列条件：① BD=DC，AB=AC；②∠B=∠C，∠BAD=∠CAD；③∠B=∠C，BD=CD；④∠ADB=∠ADC，BD=CD．能得出△ADB≌△ADC的序号是 _________ .
7、如图一，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD =______．
                                         

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8、如图， ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件______，使△AEC≌△CDA．

三、）解答题、证明题
   1、你能把下图中的正方形分成下列图形吗？
     (1)两个全等的三角形；        （2）四个全等的三角形
     （3）两个全等的长方形；  （4）四个全等的正方形

2、如图所示是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．请你用所学知识给予证明
                                 


3、如图，有三条公路两两相交于A、B、C处，现计划修建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，那么该如何选择加油站的位置？请你在图中确定加油站的位置P．
                  
                                      

4、如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由．


5、如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB 的平分线AE交CD于E，连结BE，BE恰好平分∠ABC，试判断AB、AD和BC的关系并证明．
                                


6、已知：AC//BD，AE 、BE分别平分 CAB和 DBA，CD过E点.
求证：AB=AC+BD                                                           
                             

7、如图、Rt ABD≌ Rt EBC, ABD= EBC=900，CE的延长线交AD于点F.
求证：AD EF
               

8、如图、已知 PA=PB,∠1+∠2=180°.
   求证:OP平分∠AOB                          


9、如图,在三角形ABC中,AB=AC,角A=90,D是AC上的一点,CE垂直BD于点E,且CE= BD,

求证：BD平分 ABC                     


10、 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以A B，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．
求证：FN=EC．

11、如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．
(1)求证：AF⊥CD．
(2)连接BE，还能得出哪些结论？请写出3个（不要求证明）


12、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=DC，BD平分∠ABC．
求证：∠A+∠C=180°．


13、某校八（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下两种方案：
（a）如图①，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC．并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A、B的距离；
（b）如图②，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使CD=BC，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B的距离．
阅读后回答下列间题：
（1）方案（a）是否可行？说明理由；                 
（2）方案（b）是否可行？说明理由．
（3）方案（b）中作BD AB，DE BD的目的是什么？若仅满足 ABD= BDE  900，方案（b）是否可行？说明理由.



      
14、如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30゜后，得到△AEF．
（1）△ABC与△AEF的关系如何？
（2）求∠EAB的度数；
（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一直线上？



15、如图、在 ABC中， BAC=900，AB= AC，若MN是经过点A的直线,BD MN于D，CE MN于E.
  (1)求证：BD= AE.
  (2)若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE还相等吗？为什么？
  (3)对于条件（2）BD、CE与DE有何关系？


16、如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．
（1）求证：BD=DE+CE；
（2）若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何，请证明；
（3）若直线AE绕点A旋转到图3时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE，CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明．
（4）根据以上的讨论，请用简捷的语言表述BD与DE，CE的关系．