小学数学教研论文：对“有价值的数学”的探索与思考

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对“有价值的数学”的探索与思考



浙江省宁波市鄞州区鄞江镇中心小学教科室 叶杰军



    “学习有价值的数学”是数学课程标准中提出的基本理念之一，在今后相当长的时间内，将指导着中小学数学教学实践。因此，如何正确理解“学习有价值的数学”，对于改善中小学数学课堂教学具有重要意义。

一、什么样的数学是有价值的呢？

这是一个传统的教学材料：某水池有一进水管，单独放水需12小时把空水池放满，有一出水管，单独放水需20小时放完一池水。问同时打开进水管和出水管，几小时可以把水放满？

记忆中在讨论《课标》讨论稿时，许多专家、教师认为：像这样的数学教学内容，可以认为是没有价值的。因为这一问题情境在现实生活中是很少存在的，一般情况下是不会采用同时打开进水管和出水管来把水池放满的。

在现实生活中，是否真的没有进水管与出水管同时打开的情境呢？笔者十分赞同在2002年7-8期上发表“怎样理解‘有价值的数学’”一文的俞正强老师的观点。当俞老师把这个问题交给学生讨论时，学生们的回答出乎意料，因为他们发现，现实生活中“同时打开进水管与出水管”的现象几乎十分普遍，如：

A．排队候场。不断来排队的人和不断进场的人，来排队的人多于进场的人，就会有等候的人。

B．草场。不断生长的草和不断被吃掉的草。

C．人体的新陈代谢。不断的补充和不断的消耗。

D．社会人口的增减。不断出生的人和不断死亡的人，出生的人多于死亡的人时，人口就增加；反之则减少。……

从学生们的回答中可以发现，在学生的理解里，进、出水管同时打开是表示有进有出的一种动态平衡。这种对动态平衡意识的感情，是一种多么有价值的数学体验！

看来，我们必须认识到在理解“有价值的数学”时，应该避免表面的肤浅理解，避免实用主义。

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（一）有价值的数学应具备的几个特性：

《标准》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”这一提法反映了义务教育阶段面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性的基本精神，代表着一种新的数学课程理念和实践体系。从中也体现为有价值的数学应具备的三大基本特征：基础性、普及性和发展性。笔者认为从更广泛的意义上来说，有价值的数学具体还表现为具备下列特性：

1．趣味性

长期以来，我国基础教育是学科课程一统天下，教师中心、书本中心、知识中心仍占有相当显著的位置，无论是小学还是中学，也无论是文科课程还是理科课程，在学习的方式上几乎都是以接受教师讲授为主的。教师所要做的是如何准确地说明解释以使学生理解的明明白白，学生的最佳状态则是跟着教师的思路走，并把老师讲的记下来。教师常用的教学方式是例题、示范、讲解，学生习惯的学习方式是听讲、记忆、练习。尤其在数学课中，人们相当重视知识的逻辑性、系统性，为了严密、完整，不产生歧义，常常用大量的文字表述某个概念。结果，数学是枯燥的、抽象的、难学的，成为学生们对数学的普遍认识。

而兴趣是学生最好的老师，从这个意义上分析，“有价值的数学”首先应是能吸引和激发学生学习兴趣的数学，即具有趣味性。

新数学课程在教材编排上版式活泼、图文并茂，内容上顺理成章、深入浅出，将枯燥的数学知识演变得生动、有趣、有较强的可接受性、直观性和启发性，对培养学生的学习兴趣有极大的帮助。这就需要我们教师精心设计教学过程，激发他们的学习兴趣，让学生亲身去感受数学，萌发一种教学真有趣，我就要学习数学的心理。

如：学习“百分数的意义”时，可问学生：“大家经常喝牛奶，可牛奶盒上写着‘脂肪3.3%，蛋白质2.9%……，这些3.3%、2.9%表示什么意思。”又如：学完“10内各数的认识”后，我让学生用第几排第几个来描述自己坐的位置；让他们说一说家里的电话号码是由哪几个数学组成的；让他们记录一星期的气温……。学生完成题目时，兴致特别高，争先恐后地交流。他们在交流中体验到了数学就在身边，感受到了数学的乐趣。从对自己的座位表述中，他们区别了第几排和第几个；通过交流家里的电话号码，知道了由于数的排列顺序不同，构成的电话号码也不同，解决了生活中的实际问题，领悟了数学的奥秘，从中也体现出数学的价值所在。

2．生活性

数学教学不应该是刻板的知识的传授，而应该遵循源于生活、富于生活、用于生活的理念。实践表明，越贴近学生生活的，学生熟悉的内容在情感上越容易引起学生的同鸣。所以，应从熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发，使他们体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，对数学产生亲切感。

因此有价值的数学在学习内容上应当是现实的、有趣的，富有挑战性的。

例如：在“除数是小数的除法”的教学中，教师可紧密联系学生“购物”的生活经验，创设出“一个橡皮擦0.3元，一本练习本0.45元，一付三角板0.54元，一支彩色笔0.9元，一支自动铅笔1.35元，如果你有2.7元，要买其中一种物品，算一算能买多少”的情境，引导学生思考：在日常生活中你是怎样算的？于是学生联系自己的生活经验和已有知识，很快探索出了“除数是小数的除法”的计算方法，使他们在获取数学知识的同时，也得到了积极的情感体验。

3．个性性

“有价值的数学”在解题策略、方法上更多的体现出个性性。

例1：在下面的横线上填数，便这列数具有某种规律，并说明有怎样的规律。

3，5，7，___，___，___。

我们（教师）首先应鼓励学生通过独立思考，从不同的角度去探究可能隐含的规律，并在全班进行交流。在解决这个问题时，只要学生给出一个答案，并能作出合理的解释，就可以给予肯定。下面是学生可能给出的一些答案：

（1）在横线上依次填入9，11，13，形成奇数列。

（2）在横线上依次填入11，17，27，使这列数从第三个数开始每个数都是前两个数的和减1。

（3）在横线上依次填入27，181，4879，使这列数从第三个数开始，每个数都是前两个数的积减8。

这样的教学有利于培养学生独立地思考，合作交流的能力，有利于培养学生寻求数的规律的能力，突出其个性性，这种比单纯地做几道计算题更具有挑战性，也更有价值。

从数学习题的分类来看，上例无疑可以说是一道数学开放题，相比较常规封闭题而言，虽然数学开放题在整个数学习题中所占的比例远低于封闭题，但其训练学生的实践能力和创新意识来说，数学开放题具有其独到的作用，也就是说从某一角度来说，数学开放题比封闭题更有价值。例如下面所举的例2与例2'对比题，其训练价值无疑是后者（开放题）更高一些。

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例2：将一个正方形分割为四个面积相等的小正方形。（封闭题）

例2'：将一个正方形分割为四个面积相等的图形。（开放题）

4．文化性
《课标》指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”从这一层面来讲，文化性也是有价值数学的重要特性。
当今世界，数学已变得越来越重要。“数学文化”的内涵越来越丰富，数学与人类的关系越来越密切。但是，正是人们越来越需要数学的时代，数学却越来越难被人们理解、接受，审视我国小学数学教育，我们不难发现，数学教育由“开放”走向“封闭”，是十分可悲的现象；把数学学习与学生的生活、社会的发展割裂开来，更是严重的错误；让学生学习毫无“应用”之言的“数学”，对学生的发展没有任何价值。
我们知道，“数学文化”的形成，是人类在生活和生产过程中，经过无数次“经历”和“体验”，逐步抽象、概括形成的一种有自身特色的“文化”，但是，在我国数学教育漫长的发展过程中，又出现了一个严重的问题，即把数学与人们的生活和社会发展现实隔离开来，把学生封闭在狭窄的课堂里，去研究一些“纯数学”问题，使学生的数学学习严重地与他们的生活实际、社会发展实际脱节，不仅感受不到“数学文化”的魅力，体验不到数学的价值，而且使他们从心理上感到数学学习的枯燥、乏味，甚至厌倦数学，这难道不是一种可悲的现象吗？数学社会学研究表明：学生的数学学习，并不是独立于社会环境的一个体系。学生认识的起点，往往不是规定中的逻辑公理，而是学生生活中的一些实际事例。鉴于此，现代小学数学教育呼唤回归生活，强调数学科学世界与生活世界的统一，科学精神与人文精神的整合。从某种意义上讲，让数学回归生活，让学生从生活中学习数学，已成为时代的一种呼声。
“数学文化”的一个显著特点，就是它源于生活，又广泛应用于生活。因此，国际数学课程改革的一个重要趋势，就是提倡学习有价值的数学，强调数学课程的应用性和实践性。目前，现实数学观点正逐步为广大数学教师所接受，在数学界得到普遍的认同。现实数学观点强调：学校数学教育具有现实的性质（数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去）；学生应该用现实的方法学习数学（通过熟悉的现实生活，自己逐步发现和得出数学结论）；基于此，“人人学习有价值的数学”，“人人都获得必要的数学”，“让不同的人在数学上得到不同的发展”就成了时代的又一种呼声。
我们知道，“文化的核习是价值观的问题”。因此，在数学教学中，我们应借助数学科学的文化价值，把蕴含在数学知识、技能中的价值观念、审美情趣、思想方法和行为规范加以挖掘和提升，让学生在数学学习活动中，通过“再现、重演数学知识中隐含着的原始实践和认识活动（包括认知活动和情感体验活动等）”，从而接受“数学文化”的熏陶，使学生在获得一个公民必需的基本数学知识和技能的同时，在情感、态度、价值观等方面也得到较好的发展。例如：在“0的认识”教学中，教师可创设一个小朋友“放飞小鸟”的情境，让学生不仅感受到“一只小鸟也没有用‘0’来表示”，同时也受到保护野生动物的教育。例如：在“分类”的教学中，教师可创设这样的问题情境：妈妈从超市买回一些食品（有熟食、水果、饮料……），请你帮妈妈分一分，并放在相应的地方。于是学生要先调查，看看自己家冰箱里面放什么物品？食品柜里放什么物品……然后再尝试分一分，提出自己解决问题的方案。这样，学生不仅学习了“分类”知识，而且达到了了解生活、学会生活的目的。

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5．后继性
有价值的数学从教材体系上更加突出体现为对后继学习有用性（有价值）上，即具有后继性的特性。
《数学课程标准》中关于计算数学的一个很重要的改革方向是强化口算，淡化笔算。以“两位数加一位数的进位加法”为例，许多老师在教给学生口算的方法后，往往通过大量的有关练习使学生“熟能生巧”。也许学生能达到老师所期望的水平，但训练是否“科学、价值高”，恐怕就没有更多地去深思了。
笔者认为，在“两位数加一位数的进位加法”训练题中，我们可以把它分成两类：一类是对后继学习有用的题，例如：“64+7=？”……另一类是对后继学习用处不大的题，例如：“65+7=？”……对于教师来说，在两位数加一位数的进位加法训练中，尽可能地选择“后继学习有用题”，对学生来说无疑是大有益处的，可以说，这就是让学生学习“有价值的数学”。
后继学习有用题。例：64+7=？因为在以后的学习中，当学生遇到用乘法计算“89×8=？”时，采用笔算或口算过程中会遇到64+7=？的问题。所以，这样的“两位数加一位数进位加法题”是对学生后面学习有帮助的，我称之为“后继学习有用题”。
后继学习用处不大题。例：65+7=？因为65不属于乘法口诀中的一个积，所以在以后的乘法计算中，不可能遇到类似上面的情况，这样的题对学生后面学习影响不大或没有，我称之为“后继学习用处不大题”。
从上面这两类题目来看，我们是否可以在训练学生“两位数加一位数的进位加法”中，对题目应有所侧重呢？答案是肯定的。
据笔者调查目前不同版本教材有关“两位数加一位数进位加法”训练题编排情况如下：

版本	总题数	乘法中有价值的题数	所占百分比
人教版	83	9	10.8%
浙教版	111	19	16.8%
北师大版	167	31	18.9%
江苏版	115	22	18.8%
现代版	111	61	54.9%

从上表中可以看出大多数版本的教材，还未考虑到这个重要因素，有价值的题数所占百分比不是很高。今后的教材内容改革中（包括执行《课程标准》的实验教材）是否也应认真考虑这个因素，就像如今教材中“开放题”与“封闭题”的关系一样，相互补充，取长补短。
据笔者研究统计，全部“后继学习有用题”一共才60道。

14+6	18+7	28+2	36+7	48+6	54+8
16+4	18+8	28+3	36+8	48+7	56+4
16+5	24+6	28+4	45+5	49+1	56+5
16+6	24+7	28+5	45+6	49+2	56+6
16+7	27+3	28+6	45+7	49+3	56+7
18+2	27+4	35+5	45+8	49+4	63+7
18+3	27+5	35+6	48+2	49+5	63+8
18+4	27+6	36+4	48+3	49+6	64+6
18+5	27+7	36+5	48+4	54+6	64+7
18+6	27+8	36+6	48+5	54+7	72+8

为什么说只有60道“后继学习有用题”？如果说x+y是“后继学习有用题”，则它应该满足以下几个条件：（1）x是两位数，且应为乘法口诀中的积（乘法口诀表中重复两位数的积只能算一个）。 在90个这样的两位数中有27个是对后继学习有用的两位数。（2）假设x=a×b，那么y要小于a，b中较大的一个因数。例：x=56=7×8，则y只能取4、5、6、7。（3）两位数加一位数的加法“x+y”要满足进位，那么结合第2个条件，在27个有用的两位数中还应排除：11个两位数，27-11=16（个）。例：x=10=2×5，则y能取1、2、3、4，但x+y属于不进位的情况。因此，综上分析，就决定了两位数加一位数的加法：x+y=？属于对后继学习有用的进位题一共有60道。（见上表）

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（二）有价值数学的概念定位
“人人学有价值的数学”是指作为教育内容的数学，应满足学生未来社会生活的需要，能适应学生个性发展的要求，并有益于启迪思维、开发智力。“有价值”的数学应该与学生的现实生活和以往的知识体验有密切的关系，是对他们有吸引力、能使他们产生兴趣的内容。“有价值”的数学应当适合学生在有限的学习时间里接触、了解和掌握。那些对学生来说有如“天外来客”般难以琢磨的内容，那些必须通过高强度训练才有可能被学生接受的内容，就没有人人都要学的必要。
就内容来说，“有价值的数学”应包括基本的数的概念与运算，空间与图形的初步知识，与信息处理、数据处理有关的统计与概率初步知识等等，还包括在理解与掌握这些内容的过程中形成和发展起来的数学观念与能力，如数感、符号感、空间观念、统计观念、推理能力和应用意识等等。
在更广泛的意义上，“有价值的数学”是满足素质教育要求的数学，它应当有助于学生健全人格的发展和积极向上价值观的形成，有助于学生自信心、责任感、合作意识、创新意识、求实态度和科学精神的培养。“有价值的数学”不仅是对学生进一步学习有用的数学，而且是对学生从事任何事业都有用的数学。特别值得一提的是，这样的数学学习体验应当极大地丰富学生的现实生活，学生会因为数学学习而感受生活的丰富多彩，感受数学学习的内在魅力。
二、由学习有价值的数学引发的几点做法
《课标》在安排学习内容中安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践与综合应用”四个学习领域。
（一）数与代数
做法1、力求避免单纯的为计算而计算，设计结合具体情境的计算问题。
例1：据有关科学研究一个人的身高75%取决于遗传因素，25%取决于环境因素，曾经有过许多预测公式，对儿童对他成长后的身高进行估测。
公式1：h＝（h父＋h母）÷2（儿子和女儿都一样）
公式2：h儿＝（h父＋h母）÷2×1.08
       h女＝(h父×0.923＋h母) ÷2
提供上述信息，让学生调查验证（完成下表）哪个公式更精确。

学号	爷爷身高	奶奶身高	爸爸身高	妈妈身高	预测你的身高

例2：在学习了“年、月、日”知识后，我们可以让学生估计一下，哪一个答案接近自己的年龄？
①500分；   ②500周；   ③500时；   ④500月
学生可能会运用不同的方法进行猜测。此时，教师可以进一步引导学生如何知道自己的猜测是准确的或比较准确的。为了回答这个问题，学生将会进行必要的计算，从而体会到计算的必要性。
这样在一定情景之中，让学生愉快地、自觉地计算，从中也体现出计算题少有的应用性，从而使我们的计算题不仅仅只是数学形式上的训练价值，还具有实用价值。
做法2、算法多样化与最优算法的有效结合
《课标》在第一学段和第二学段分别提出“提倡算法多样化”和“鼓励算法多样化”，已引起我们小学数学教师的广泛注意，并在教学实践中开始探索如何落实、贯彻算法多样化的这一数学理念。
可正因为这是一项新的改革措施，难免会出现一些只追求形式的状况。例如我曾经听过这样一节课：在教学264+678这一类多位数加法中，教师鼓励学生用多种方法计算，由于三年级学生对数的组成比较熟悉，加上教师的引导启发，结果出现六七种算法。
①264+700-22
②264+680-2
③200+600+64+78
④260+670+4+8
⑤200+600+60+70+4+8
⑥列竖式从个位加起
……
课堂气氛十分活跃，学生各抒己见，教师也就鼓励学生各取所好，布置几道课堂作业，却发现有些思维稍慢的学生，提笔不知所措，不得不东张西望，跟着做得快的同学写计算过程。一堂计算课就这样结束。对于这样的教学你认可吗？举一个不恰当的例子:比如前边有一条沟，下面架着桥，我们是可以领着学生从桥上过去的，可我们因为追求形式上的多样性，当出现学生非要去钻那条沟时，而我们就让他（们）钻到沟里去了。
那对于《课标》中“提倡算法多样化”，我们怎如何理解？在提倡算法多样化的同时，老师要不要提出一种最优的算法？笔者认为算法多样化绝不是形式上的越多越好，而是从培养学生数学素养，发展学生数学思维的角度提出的，更深层次的目的是从逐步培养学生创新意识和自我价值观念角度提出的。为此，数学教学中的算法多样化应区别于趣味数学的游戏，应当组织学生学会从多种算法中分析、辨别出最优或较优的方法，当然不应是教师主观指定的算法。教师要做的仅仅是如何从学生的算法恰当好处地做到算法多样化与最优算法的有效结合。
让学生从小就学会“多中选优，择优而用”的思想，同时，学生发现自己所创造的算法被列为最优或较优，在他们幼小心灵里会萌发自我的价值，增强学习的自信心，在以后的学习中会主动挑战自我，这才真正是数学体现价值的魅力所在！
做法3：重视计算器和计算机的使用
计算器和计算机的逐步普及，对数学教育产生了深刻的影响。因此《课标》强调，“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”。
一方面，计算器可以使学生从繁琐的纸笔计算中解放出来，也为解决实际问题提供了有力的工具。另一方面，计算器和计算机对学生的数学学习方式也有很大的影响。计算器可以帮助学生探索数学规律，理解数学概念和法则。
从基础教育的目标和解决问题的要求来看，数学价值的重要体现已不再是计算的熟练程度和技巧，而是对运算意义的理解。在碰到一个涉及实际的计算问题时，首先要确定需要进行什么运算，依照什么样的顺序来进行这些运算，也就是通常说的列出算式，即这个问题的数学模型。而计算的问题完全可以让计算器或计算机“代劳”。当然，这里无意“砍掉”必要的计算。事实上，要理解运算的意义，不可能离开必要的计算。同时，用计算器计算时必须加强估算，这也需要有一定的计算能力作保证。
例如：任意给定四个互不相同的数字，组成最大数和最小数，并用最大数减去最小数，对所得结果的四个数字重复上述过程，你会发现什么？（利用计算器探索数学黑洞）
又如：在存款方案中，哪一种方案更有利时，可以利用计算器来计算各种方案所得的利息，像10000元存三年的情况：
方案一：定期存三年；方案二：一年一年存，连本带利存三年；方案三：先存一年，再存二年；方案四：先存二年，再存一年。因为银行利率往往是一个不容易计算的百分率，加上实际人们去存钱时，也不一定是像整万元的数额，所以如果让学生用笔算解决这个问题，既化时间，又收效不大，而使用计算器则能收到事半功倍之效，体现出数学的价值。
（二）空间与图形
儿童最先感知的是三维世界，是“空间与图形”。人们认识周围世界的事物，常常需要描述事物的形状、大小，并用恰当的方式述事物之间的关系。所以，图形直观、几何模型，以及几何图形的性质，是准确描述现实世界空间关系，解决学习、生活和工作中各种问题的必备工具。特别是随着计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是被广泛地运用到人类生活和社会发展的各个方面，因而“空间与图形”的教育价值首先在于使学生更好地认识、理解生活的空间，更好地生存和发展。
20世纪80年代以来，我国中小数学教学研究和改革不断深入，实践证明，不断改进几何教学方法，学生通过刻苦学习确实能掌握一些平面图形的性质，具有一定的逻辑推理能力。但大量的调查也表明，传统的平面几何教学又具有“双刃剑“功能：几何内容的过分抽象和“形式化”，缺少与现实生活的紧密联系，使“几何”直观的优势没有得到充分的发挥；过分强调演绎推理和“形式化”使不少学生怕学几何，甚至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习的兴趣和信心。这种状况不改变，“空间与图形”的教育价值就不能得到全面、充分的体现。
2000年上半年，鄞州区五年级数学期末试卷中，有这样一题：
计算图形的面积
①已知下图平形四边形中一条底边上的高是20米，求出图的面积。

对于学生完成此题的正确率，笔者曾经对全镇作过统计（见下表）：

班级	五（1）	五（2）	五（3）	五（4）	五（5）	全镇
正确率	36.73%	6.00%	19.64%	5.50%	0%	13.60%

统计结果令人吃惊，不仅各班的正确率不高，而且其中五（5）班没有一个做对，绝大多数学生列式为25×20（正确列式应为18×20）。这难道不值得我们反思吗？

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做法：突破以“求积为中心”的旧观念，切实加强空间观念的培养。

《课标》强调学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学段中，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动，从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第三学段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式的性质，进一步认识图形及其性质，丰富几何的活动经验和良好体验，发展空间观念。

例如：在实际生活中有关长方体、正方体和圆柱体的表面积计算比较复杂，都要根据具体的实际情况去具体分析，先确定有哪几个方面，然后灵活地计算，根本不可能简单地去套用一个公式。正因为这样，各种版本的小学数学教材在讲述这些知识时，一般都不出现这些表面积的计算公式。即S表=（a×b＋a×c＋b×c）×2，这也就制约了我们在教学这部分内部时，应该把精力放在教这些形体特征的认识和对表面积概念的建立上。加强对学生动手操作的指导，促使学生更加地发展空间观念，引导学生根据实际情况去想计算的方法。如果我们违背了教材的这种意图，单方面地想以给出表面积的计算公式来“一劳永逸”，这只能把学生的注意引向死记死套公式，而对培养空间观念和思维能力都无利。笔者曾在杭州富阳听了一节数学教研员上的《长方形的周长》，教师在推导计算方法中，放手让学生自己解决问题，学生想出了至少三种计算方法：1：（长＋宽）×2；2：长×2＋宽×2；3：长＋宽＋长＋宽。对于学生的解法，教师没有刻意去引导得出方法1为计算公式，而是通过归纳讨论得出平面封闭图形周长计算的更一般规律：就是围成这平面封闭图形一周的长度。教师的这一处理可以为除了长方形、正方形等其他的平面封闭图形周长计算打下基础，从而使学生避免三角形、梯形等没有周长的错误观念，重点培养和发展了学生的空间观念。

（三）统计与概率

统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，他通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的决策。

随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法将越来越重要。统计和概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会的一种普遍适用并且强有力的思维方式。

因此，义务教育阶段应当使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。不仅如此，让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观与方法论。

做法：让学生经历数据的收集、整理、分析和判断过程。

例如：教师在开始教学“统计与概率”这一部分知识时，可以提出一个涉及统计且需要合作才能回答的问题。比如：“我们班想在元旦购买一些大家喜欢的水果开一个联欢会，应该买些什么水果？要买多少才合适呢？”为了回答这一问题，孩子们会想到做一个调查，就产生了统计的必要，然后再思考具体统计方法，进而作进一步的分析、判断。

又如：一名身高1.4米的学生在一个平均水深1.2米的游泳池中会不会有危险？在解决该问题的过程中，学生需要在一个具有现实背景的问题情境中去准确把握“平均数”的意义，即“平均水深1.2米”意味着什么。这个问题是单纯的计算无法解决的，只有真正理解平均数的概念，才能解决这个问题。

（四）实践与综合应用

《课标》的“实践与综合应用”领域，是《课标》的一个特色。这个领域反映了数学课程与教学改革的要求，也提供了学生进行一种实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。

“实践与综合应用”是新数学课程中一个全新的内容。理解和把握这个领域，对于数学课程的发展和数学教学的改革是非常重要的。

传统的数学课程不大注意与学生熟悉的现实生活的联系，对数学应用的处理总是留有人为编造的痕迹；几何、代数都是按着各自的学科体系、以直线式的结构发展，相互之间的联系不多，即使有一些也比较牵强，综合运用就更谈不上了。这在一定程度上造成了我们的学生强于基础、弱于应用，强于答案、弱于动手，强于考试、弱于创造的局面。《课标》认为，这些与课程结构有关的问题，应当通过调整课程结构解决。具体做法是在“数与代数”、“空间与图形”、“统计概率”这些知识性的领域之外，设置“实践与综合应用”这一领域。这个领域沟通了生活中的数学与课堂数学的联系，使得几何、代数和统计与概率的内容有可以以交织在一起的形式出现，使发展学生的综合应用知识的能力成为必须的学习内容，使传统的数学课本面貌有可以发生改变。这对于改变学生的学习方式，让学生在学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法，帮助学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥作用等方面具有重要意义。

做法：学数学用数学

就以商品打折为例，“满100送30”很多人会理解成就是打7折，这是打7折吗？如果是打7折，商家为什么不明确写上打7折。我们的学生将会如何识别澄清这一问题呢？这就是生活中的数学。数学从生活中走来，用数学的眼光去看待生活中的问题，才能体验生活中处处有数学，体验生活中处处需要数学，这不仅加深了他们对数学的认识，同时也使他们变得越来越聪明。

（五）灵活恰当地处理教材中滞后的、争鸣的教学内容

1．利息税

九年义务教育六年制小学数学浙教版第十一册第二单元“分数乘法”中“利息”这一节教材，介绍了存款的意义及储蓄方式，用实际事例说明了什么叫本金、利息、利率及利息的计算方法，并指出了根据国家经济的发展变化，银行存款的利率有时会有所调整。这部分内容属于百分数的一种具体应用，体现了数学与生活的联系。随着时代的发展，银行存款、贷款利率已作了下调，国家增设了个人所得税及存款利息税。虽然在有些类似竞赛的练习题中，对个人所得税、利息税有所涉及，但教材作业本中的练习却依然如故。以致许多教师在教学中常常要和我讨论如何处理利息税等问题。本人认为在教学中教师应根据我国实际情况，增加以下内容：

（1）讲清国家下调利率的意义及征收个人所得税、存款利息税的意义，使学生从小树立爱国家、依法纳税的思想。

（2）增加利息税、信贷方面的内容。

如：小英去年11月1日把800元存入银行，定期2年，年利率为2.25%，利息税为20%，计算到明年11月1日到期时，她可取出本金和利息共多少元？

计算方法为：

①到期利息：800×2.25%×2=36(元)

②扣除利息税应得利息：36×(1-20%)=28.8(元)

③到期可取出本金和利息一共为：800+28.8=828.8(元)

对课本中的练习，教师应给予适当的修改，增加利息税的内容，补充这方面的习题，真正体现数学与社会生活的密切联系。教师要用活教材，并且让学生活学活用。

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2．比多几分之几？
此类题的解法的争论，已历时几十年之久。不少有杂志常刊登类似的文章。曾有人为了区别“比差”和“比倍”，而主张加上“它的”词语，“比多它的几分之几”，这样“几分之几”就成了分率即多的几分之几，没有“它的”即属“比差”的解法。有人提出此类题属迥避的题目就迥避。更多的人认为两种解法都对。
笔者以为类似的争论，都把问题复杂化了，其实这个问题非常简单：“多（少）多少”就是比差，“多（少）几分之几”就是比倍。这个结论能否定？如5比4多多少？无疑解为5-4=1，5比4多几分之几？无疑解为（5-4）÷4=。因此，-多多少，应解为-=，这里的、都是具体的量，也是具体的量，不能理解为分率。而“比多几分之几”，这里的、同样为具体的量，所求的“几分之几”应是分率，此题应解为：（-）÷=，“”是对“”这个具体量（单位“1”）而言，它是分率。如果要想求和相差多少的话，绝不能叙述为“多（少）几分之几”，应为“多（少）多少”。但在一些应用题中，要视单位“1”而定。例：一堆煤，大卡车每小时运它的，小卡车每小时运它的，大卡车每小时比小卡车每小时多运这堆煤的几分之几？这里要求的是以“这堆煤”为单位“1”的几分之几，而和都是以“这堆煤”为单位“1”的，因此这里求的是和相差数（比差），即-=，其实也应该可以理解为分率，列式为（-）÷1=。当把题目的问题改为“大卡车每小时比小卡车多运几分之几？”时，这时的单位“1”不是“煤的总数”，而是“小卡车每小时的运煤量”了，即大卡车每小时运煤量比小卡车多出部分是小卡车的几分之几（比倍），故解为：（-）÷ =。
因此，“比多几分之几”中的“几分之几”绝不能理解为“多少”，它只能表示为分率，故此题只有唯一的正确解法：（-）÷=。
在浙江教育出版社出版的小学数学习题精选（六年级）一书中P222有这样一道选择题：
（11）甲比乙少，那么乙比甲多（     ）。
A.     B.     C.     D.
笔者认为此题的答案是B。你认为呢？
3．关于“0”是自然数
在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。为什么有这样的变化？作为数学教师必须清楚。许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1、2、3、……、n”为自然数集，而现在则定义“0、1、2、3、……、n”为自然数集。显然仅仅掌握这样的解释对于一个数学教师是不够的。《陕西教育》2003年第5期刊登有田俊平老师“解析‘0’为什么是一个自然数”一文，文中比较详细地解析了0作为自然数的理由。很遗憾的是我们的浙教版教科书旧的在第七册至今没有把“0”列入自然数的范围，新的第七、八册是回避了这个问题。这“0”从不是自然数到列为自然数我记得说说也有好几年了，可是教材的滞后，加上许多教师奉教材至上的思想，以致许多问题仍停留在不必要的争论之中。例：
①最小的一位数是________。（1还是0）
②最小的自然数是________。（1还是0）
③0是否为偶数，合数呢？
4．意义该如何理解？
五年级在学习小数乘法的意义时，许多教师会碰到尽管自己花了很大力气去让学生搞清：
4×5是表示5个4相加是多少或4的5倍是多少；
4×0.5是表示4的十分之五是多少；
4×1.5是表示4的1.5倍是多少。
但有些学生还是有些糊涂，（我们）教师便帮助他们总结规律：
要看后面的数是大于1还是小于1，小于1的，就是表示这个数的十分之几，百分之几是多少……；大于1的要看整数还是小数，是小数的，就是几倍；是整数的，可以有两种表示方法……。学生更糊涂了。
六年级在学习分数乘法的意义时，又出现了上述情形，只不过把小数换成了分数。学生们一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？从我看来，如果无关大雅的，把4×0.5说成4的0.5倍，4×说成4的倍又何妨呢？至少可以少难为一点我们这些可爱的孩子们。
下面还有这样一道题供大家研讨：在学生学习“小数的组成”，一般有这样的题目：如2.58的整数部分是（   ），小数部分是（   ）。这个题目学生还可以理解，假如0.65的整数部分是（   ），小数部分是（   ）。学生提出了自己的想法，0.65的小数部分还是0.65，那不是部分，而是全部！你认为？
以上所举仅仅是少数的几例，对于小学数学中的一些概念性问题，笔者也常常感到困惑，有时越想越糊涂。以上想法，在此提出，希望能够与同行们交流。
最后笔者还想说的是：我们所研究的数学不可能截然地分为有价值和没有价值两类。尽管从某个角度来说，我们总希望能尽可能地区分数学的“有价值”和“没有价值”性，以便指导我们的课堂教学。数学的价值如何，不在于数学本身，而在于教师如何组织这些数学材料，在于教师如何针对不同的学生展现数学的不同价值。即“有价值的数学”这一理念指向的不是数学内容本身的价值，而是教师如何使学生实现其所学数学内容价值的教学艺术。