浅谈中学数学中函数的图象变换

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浅谈中学数学中函数的图象变换
保亭中学 赵杰
函数在中学数学中举足轻重的地位是众所周知的。这部分内容几乎涉及到中学数学里所有的数学思想方法，这部分内容在历年来的高考数学试题中占有相当大的比例，高于课时比例。这部分内容的试题往往比较抽象，而借助于函数图像可以直观地反映函数的性质。利用函数图像既有利于记忆各类初等函数的性质，又能运用数形结合的思想方法解决某些问题。要想利用函数图像来解决问题，首先必须会作函数的图像。下面就作函数的图像基本方法之——图像变换法谈几点看法。
所谓图像变换法就是由一个已知函数图像经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图像的方法。在中学阶段要求学生掌握以下四种图像变换：平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换。
一、平移变换
1、横向平移：
函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点沿 轴方向向左（ ）或向右（ ）平移 个单位而得到的。
例如： 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点沿 轴方向向左平移 个单位而得到的。（注：记忆技巧 “左加右减”）
2、纵向平移：
函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点沿 轴方向向上（ ）或向下（ ）平移 个单位而得到的。
例如： 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点沿 轴方向向上平移1个单位而得到的。（注：记忆技巧 “上加下减”）
二、伸缩变换
1、横向伸缩：
函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点的横坐标（纵坐标不变）伸长（ ）或缩短（ ）为原来的 倍而得到的。
例如：函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点的横坐标（纵坐标不变）缩短为原来的 倍而得到的。
2、纵向伸缩：
函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点的纵坐标（横坐标不变）伸长（ ）或缩短（ ）为原来的 倍而得到的。
例如：函数 的图像，可以看作是由函数 的图像上各点的纵坐标（横坐标不变）缩短为原来的2倍而得到的。
三、对称变换
1.关于 轴对称的对称变换：
函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称。
例如：函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称。
2、关于 轴对称的对称变换：
函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称。
例如：函数 的图像与函数 的图像关于 轴对称。
3、关于原点对称的对称变换：
函数 的图像与函数 的图像关于原点对称。
例如：函数 的图像与函数 的图像关于原点对称。
4、关于直线 对称的对称变换：
函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称。
例如：函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称。
四、翻折变换
1.沿 轴方向的翻折变换：
函数 的图像是将函数 的图像在 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留在 轴上方部分而得到的。
例如：函数 的图像是将函数 的图像在 轴下方部分沿 轴翻折到 轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留在 轴上方部分而得到的。
2、沿 轴方向的翻折变换：
函数 的图像是将函数 的图像在 轴右边部分沿 轴翻折到 轴左边，去掉原 轴左边部分，并保留在 轴右边部分而得到的。
例如：函数 的图像是将函数 的图像在 轴右边部分沿 轴翻折 轴左边，去掉原 轴左边部分，并保留在 轴右边部分而得到的。
在解题过程中上述四种变换关系可以交错使用。特别是平移变换与伸缩变换的使用要注意：由 变换到 时平移的单位数为 。例如：由 变换到 时平移的单位数为 。
下面请看几个应用举例：
例1.(2012安徽文)要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ）
向左平移1个单位 向右平移1个单位
（C）向左平移 个单位 向右平移 个单位
【解析】选 左+1，平移
例2.(2012天津文) 将函数f(x)=sin （其中 >0）的图像向右平移 个单位长度，所得图像经过点（ ，0），则 的最小值是( )
（A） （B）1 （C） （D）2
【解析】函数向右平移 得到函数 ，因为此时函数过点 ，所以 ，即 所以 ,所以 的最小值为2，选D.
例3. (2012湖南理)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
【答案】
【解析】如右图，该不等式的
解集可以看作函数y=|2x+1|图像在函数y=2|x-1|图像上方部分对应的x的集合，及交点A（0.5,1.5）
右侧部分,所以x>0.25.