小学数学获奖论文化归思想在小学数学教学中的应用

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小学数学获奖论文化归思想在小学数学教学中的应用
金山小学   李晓萍
摘要：所谓“化归”就是“转化和归结”的简称,化归思想方法是数学问题解决的一般方法,其基本思想是:把一个实际问题通过某种转化归结为一个数学问题,把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题,而获得原问题的解决。其实质是将新知识转化为已掌握的旧知识,从而进一步理解并解决新问题。
关键词：化归思想    化归方法    化归原则   问题解决
正文：数学教学有两条线，一条是明线即数学知识的教学，一条是暗线即数学思想方法的教学。而数学思想方法是数学的精髓，是学生形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁，是培养学生良好的数学观念和创新思维的载体。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。本文拟结合本人的教学实践，谈谈对小学数学思想方法教学的点滴体会。化归思想的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。
    匈牙利著名数学家罗莎•彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。
一、 化归思想的含义
所谓“化归”，就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的基本思想。  化归方法的要素：化归对象，即对什么东西进行化归;化归目标，即化归到何处去;化归途径，即如何进行化归。化归的目标，把一个未知数用另一个未知数的数量关系来表示是实施化归的途径。化归思想的实质，是将新问题转化为已掌握的旧知识，然后进一步理解并解决新问题。下举例说明如何在教学中应用这一思想。
二、化归思想应遵循的几个原则
（1）熟悉化原则：如果能将待解决的陌生问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以充分调动已知的知识 和经验用于面临的新问题，从而有利于问题的解决。例如：学生先学习了整式的意义，接着由整式引出分式的意义。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，将式子转化为8×6来计算，把问题直观化了，解决起来方便多了。

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三、化归思想在教学中的应用
1、学会动手，化无形为有形
小学数学问题具有较强的抽象性和逻辑性，二小学儿童，他们的思维任然以具体的形象思维为主要形式，他们的抽象逻辑思维需要在感性材料的支持下才能进行。因此，引导学生在操作活动中学会化归，既是学生由形象思维向抽象思维发展的需要，又是他们解决抽象的数学问题的需要。
例1 同学们排队，小明的前面有6人，小明的后面有3人，这队同学一共有多少人？
分析  这对同学由小明前后和小明这三部分组成的。
解                 6+3+1=10（人）
答：这队同学一共有10人。
但一年级同学在解决这类问题时往往会忽略小明（自己）算成6+3=9（人）。要解决这类问题，就要让学生学会操作，把抽象的数学信息转化成直观的现实情境。如让同学们进行模拟排队，感知队伍的人员组成，明确数量关系；也可以让学生用小棒、三角形、圆片等学具代表小明进行模拟排队操作加深理解。
2、化繁为简，优化解题策略
　　在处理和解决数学问题时，常常会遇到一些运算或数量关系非常复杂的问题，这时教师不妨转化一下解题策略，化繁为简。反而会收到事半功倍的效果。
例2  在学生掌握长方体、正方体的体积计算公式后，出示一个不规则的铁块，让学生求出它的体积。学生们顿时议论纷纷，认为不能用长方体、正方体的体积计算公式--直接计算。但不久就有学生提出，可以利用转化思想来计算出它的体积。通过小组讨论后，学生们的答案可谓精彩纷呈。
　　方法一：用一块橡皮泥，根据铁块的形状，捏成一个和它体积一样的模型，然后把橡皮泥捏成长方体或正方体，橡皮泥的体积就是铁块的体积。
　　方法二：把这个铁块放到一个装有水的长方体的水槽内，浸没在水中，看看水面上升了多少，拿水槽内底面的长、宽与水面上升的高度相乘得到铁块的体积。
　　方法三：把铁块放到一个装满水的量杯内，使之淹没，然后拿出来，看看水少了多少毫升，这个铁块的体积就是多少立方厘米。
　　方法四：可以请铁匠师傅帮个忙，让他敲打成一个规则的长方体后再计算。
这时，学生在转化思想的影响下，茅塞顿开，将一道生活中的数学问题既形象又有创意地解决了。从这里可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，就犹如有了一位“隐形”的教师，从根本上说就是获得了自己独立解决数学问题的能力。
3、在知识形成中落实化归法，做好铺垫，适时点明
“不积蛙步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”作为一种学习策略——化归思想方法的掌握与获取数学知识、技能一样，有一个感知、领悟、掌握、应用的过程，这个过程是潜移默化的，长期的、逐步累积的。教学中应结合典型教材，逐步渗透、适时点明，使学生认识化归的思想和方法。
例3 在教学“除数是小数除法”这一节内容时，是这样设计教学的：

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  （1）计算并思考各式之间有什么规律，运用了什么性质 ？
　　   12÷4=（ ）；120÷40=（ ）；1200÷400=（ ）；
　 （2）在括号里填上合适的数，除数必须是整数，商不变
　   1.2÷0.4=（ ）÷（ ）；
     3.6÷0.006=（ ）÷（ ）
    通过这组习题，重温了“商不变性质”，为除数是小数的除法转化成除数是整数的除法奠定了基础。
4、数形结合思想
数形结合思想的实质即通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。
例4 植树节到了，四年级同学在一条长500米公路的两侧栽树，每隔50米栽一棵马路两边都要栽，一共要栽多少棵树？（两头都要栽）
分析 大多学生乍一看，就得很简单，500÷50=10（棵），10×2=20（棵），学生算对了吗？我做点拨：“栽树问题可看作数‘线段端点’问题，假如有一段长500米的线段，每隔50米分一段，一共分多少段？一共有多少个端点？这个问题学生一下熟悉了，把线段分为10段，共有11个端点；再从熟悉的‘数线段端点问题’回归到‘栽树问题’，一个端点就看做一棵树，学生顿时恍然大悟。这种解决问题的方法就是化归方法；并告诉学生这种方法具有神奇的魔力，能将未知转化为已知。”
例5  一个农夫有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？  
分析 每只鸡都仅用一只脚站在地下，兔子举起了前腿。这时，问题就不难解决了。想一想，此时头的数量与腿的数量有怎样的关系呢？”学生经过思考后，有的学生说：“在这种情况下，(1)脚的总数减少了一半，即只剩下70只脚；（2）鸡头的数量与鸡脚的数量是相等的，而如果有1只兔子，脚的总数就要比头的总数大1。因此，现在的脚的总数（70）与头的总数（50）的差就是兔子的数目，即有70–50＝（20）只兔子；进而，鸡的数目就是50–20＝30（只）。”　
英国的著名生物学家达尔文曾说过：“最有价值的知识是关于方法的知识。” 著名教育家陶行知先生也说过：“活的人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。”如果学生在教师的引导下，掌握了化归的数学思想方法，就犹如有了一位“隐形”教师，从而转变了原有的学习方式，提高了自己独立解决问题的能力。
四、化归在教学中的几点建议
（一）注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体。
为帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验联系、与学生学科知识联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概况，运用知识进行判断。
（二）感悟数学思想，积累数学活动经验
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

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（三）关注学生情感态度的发展
在设计课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：
如何让引导学生积极参与教学过程？
如何组织学生探索，鼓励学生创新？
如何引导学生感受数学的价值？
如何使学生愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？
如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？
如何帮助学生锻炼克服困难的意志？
如何培养学生良好的学习习惯？
总之，在小学数学教学中，数学思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径；尤其是化归思想能不失时机地为学生提供恰当的形象材料，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，为学生今后的数学学习，甚至物理、化学等理科的学习打下坚实的基础。