小学数学案例研究 意义建构：“朴素”的严密性

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优秀案例分析  



儿童是如何学习的？学习的过程中思维表现出哪些特征？以下两则案例，对于我们了解儿童的学习及其思维会有所启示。
【案例1】五是二加4
同事对她刚上中班的儿子认识大写的“五”很奇怪，因为认识一、二、三对于上小班的儿童来说不足为奇。于是产生了下面的对话。
妈妈：你是怎么认识“三”的？
儿子：三就是三横。
妈妈：那你是怎么认识“四”的？
儿子：四就是一个方框，里面加个“八” 字。
妈妈觉得很新鲜，就继续问：很在道理，是这样的。那五呢？
儿子：五就是二再加个4？
妈妈没听懂：什么2加4？
儿子：你看，“五”字上、下（两横）不就是个“二”吗，中间不就是个倒写的4吗？
妈妈终于明白了。
【案例2】万一别人三角板最大的角是钝角呢
这是另一同事跟他女儿的故事。小女孩8岁，上二年级。二年级数学试卷上有这样一道题目：
三角尺中最大的一个角是（  ）。  
A.锐角   B.直角   C.钝角
按理说，女儿也不会犯这样的错误，同事很奇怪，便想知道其中的究竟。
女儿：我原来也选的是直角。
妈妈：后来为什么改了呢？
女儿：我只知道我自己的三角板上最大的角是直角，我不知道其他的三角板上最大的角是不是这样的。我也改了几次，万一有钝角的呢，所以最后选了钝角。
以上两则故事，对于我们数学教师有何启示？
学生的学习是具有个性的意义建构。奥苏伯尔曾经说过的一句话：如果我不得不将所有的教育心理学原理还原成一句话的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生的原有知识状况进行教学。是的，学生的学习总是用自己已有的知识试图去解释新的知识，是富有个性的、有属于自己意义的建构。“案例1”中，儿童认识一、二、三、四、五等文字，都是借助已有的知识、经验进行建构。一、二、三的认识相对直观，容易形成“大众化”的建构，但四和五的认识要抽象复杂，不能直接建构，但可通过变通，甚至是跨领域的构建，使之成为儿童自己独特的理解方式。不同的个体会有不同的建构方式。五是二加倒4，天马行空，极具想象力，这是创新精神的体现。这种方式在成人看来甚至是无意义的、不可理解的。教学中，教师应允许、尊重并保护学生的这种独特的思维方式。另外，新知之舟要泊在旧知之锚上，我们虽都深谙此道，但有片面的理解。学生原有的知识，不仅包括显性的知识。学生是鲜活富有个性的生命，是带着全部的丰富性进入课堂的。这里不仅仅包括学生已有的知识，还包括学生的经验、学生的困惑、学生的情感等。
学生的思维具有一种“朴素”的严密性。教学中，我们常听老师感叹：××学生考虑问题不周全，也即思维太不严密。而实际上，学生的思维表现出一种不严密中的严密。因为身心处在发展之中，所以学生的思维达不到成人眼中的严密的要求。但在诸多不严密中也存在一些严密性的特征。这种“朴素”的严密性表现在：
其一，以自我为中心，以直观感知作为思维的依据，具体形象思维为主。“案例2”中的学生只能以自己亲眼所见作为判断的依据，正是这种思维特征的体现。一方面，学生知道自己看不到的，摸不着的不能轻易下结论，不能以偏概全，这是严密性的体现；另一方面，反映出学生思考时不能进行逻辑推理，不知道直角三角形最大的角是直角可以通过推理得出，所有的三角板只有两种，等等。
其二，学生思维朴素严密性的另外一种表现形式即追求眼见为实，重形式，轻本质。看重外在，如“案例1”中，儿童对一、二、三、四、五的建构，都是从外在形式上入手的，而不是着眼于内在的意义。再如，教学圆锥的体积时，有教师将圆锥中盛满水，倒入等底等高的圆柱中，倒了三次后，由于表面张力，每次圆锥中的水太满，所以最后倒不下了。而此时，虽然任凭教师再怎么解释，但学生还是相信自己的眼睛，满腹狐疑：明明三次倒不下，怎么就说圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一？一旦实验成功，哪怕只是偶尔的一次，学生对此也是深信不疑。这也说明了小学生思维的另一个特征：认同合情推理。虽然只是一个非常理想化的实验或例子，不是严格的推理证明，但学生认为这是可靠的。
通过以上两个案例及其中表现出来的儿童学习过程中思维的特征，对于进行小学数学教育研究有很大的启示。
第一，充分利用直观感知，加强变式练习。由于小学生的思维表现为重外在、相信直观感觉等特征，教学时要充分利用各种直观手段，如观察、实验、列举等，形成认识结构。在进行不完全归纳时，要兼顾例证的数量与质量。随着年龄的增加，应逐渐渗透演绎推理，培养思维的严密性。与此同时，还应通过变式练习，以突出概念的本质，区分易混淆的概念、知识，帮助学生克服思维定势的消极影响，克服静止、孤立地看问题的思维方法。
第二，数学教学研究要关注学生的思维。教学中，我们对教材有较深入的研究，对“怎么教”的研究也是孜孜不倦，但对于我们的教学对象，学习的主体──学生，特别是学生的思维关注还不够。教学中，由于缺乏心理学研究方法的帮助，习惯站在成人的视角，想当然地去下判断，把学生想得太简单。思维是可以理解的。儿童心中的数学学习究竟是怎么样的？数学语言与儿童语言是如何联结的？研究这些，将有助于我们找到儿童通往数学的通道。
第三，教师要增强“读懂学生”的意识，要善于将抽象的学生具体化。学生是鲜活富有个性的生命，其学习数学的过程是一个曲折的过程。教学中，我们较多地关注怎么把学生教会了，哪些学生学会了，但较少地关注那些少部分不会的学生，特别是这些错误的背后，往往折射出学生学习数学的思维轨迹，是我们“读懂学生”的切入口。学困生在学习数学过程是什么地方出现了障碍，障碍是如何形成的，如何帮助学生跨过这些障碍从而走向成功？另外，挖掘错误背后的合理成份，对于教学也是大有裨益的。

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感谢作者:南通市通州区西亭小学 钱建兵