新课标人教版七年级下册《实数》课标内容及重难点

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备课参考 《实数》课标内容
人教版七年级下册第六章“实数”的6．3节“实数”主要介绍无理数、实数的概念、实数的分类、实数与数轴上的点一一对应、实数的相反数与绝对值以及实数的运算等知识．《课标》对这一节的内容提出了如下教学要求：

1．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．

2．能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值．

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《实数》课标解读



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

1．无理数和实数知识的学习，是在学生已经掌握了有理数有关知识，学习了平方根、立方根以及开平方、开立方运算后进行的．从有理数到实数，是数的范围的一次重大扩充，对后继学习有着十分重要的意义．在初中阶段，数学问题都是在实数范围内研究的．但实数涉及的理论较深，有些问题初中学生根据现有的知识是不能理解的，即使到高中也讲解不清．因此，本节“实数”知识的学习一定要严格把握教学要求，不能超标．

2．无理数是指无限不循环小数．在此之前学生以及接触过一些无理数，如开方开不尽的数、等，但无理数并不只是开方开不尽的数，如、0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)等都是无理数，所以可以说，开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数是开方开不尽的数．无理数除去我们现在所认识的以外，在初中，还可在学习三角函数时得到，如，…等，这可在学到三角函数时向学生提及．

引入无理数以后，数的范围扩充到了实数，自然要对学过的数进行分类整理．对于实数的分类，一般有两种方法：一种是按有理数、无理数分类；一种是按正数、0、负数分类．分类可以有不同的方法，但分类时必须按同一标准，做到不重不漏．

3．虽然有理数和无理数知识，在初中被分割为两个部分，但就数的扩充来说，却是一脉相承的．这个扩充过程既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．

首先，无理数也可以用数轴上的点表示出来，并且实数与数轴上的点可以建立一一对应的关系．我们可以说明、在数轴上确有一点与之对应，这一点通常称之为无理点．在初中学完勾股定理后，还可以介绍如，，…等与线段的长度对应的无理数，引导学生在数轴上找出，，…等无理数的点．这样的点有无数多个．既然表示无理数的无理点，在数轴上按顺序排列着，所以无理数也和有理数一样可以比较大小，并且有正、负之分．

其次，实数的理论问题，在初中是不能解决的．我们以前学过的有理数的所有基本知识，都不加证明地认为在实数范围内适用．有理数范围内的一些概念(如相反数、绝对值等)，可以推广到实数范围；有理数的运算法则、运算律等在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算(如正数和0可以进行开平方运算、任何一个实数可以进行开立方运算)等．

无理数的运算，一般取其近似值进行．很明显，无理数是无限不循环小数，取定近似值后，就成为有理数了．因此无理数的运算，可以按照有理数运算法则得出近似结果，而且可以精确到我们任意要求的精确度．

4．本节内容，涉及的数学思想方法比较多，如实数的分类体现了分类思想；用数轴上的点表示无理数，体现了数形结合思想；将有理数的相关概念推广到实数，用有理数进行无理数的近似计算等体现了类比思想等．教学时应注意进行渗透．

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《实数》教学目标解析（第1课时）



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

1．教学目标

（1）了解无理数和实数的概念．

（2）知道实数与数轴上的点一一对应，进一步体会“数形结合”的数学思想．

2．教学目标解析

（1）学生知道任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数；记住无理数和实数的定义，会判断一个数是有理数还是无理数；能概述实数的分类，并知道按不同需要可以有不同的分类．

（2）学生能在给定的数轴上找到表示、等无理数的点，知道给定一个实数，数轴上就有唯一确定的点与之对应；反过来，数轴上给定一个点，就有唯一的实数与之对应．

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《实数》教材分析与重难点突破（第1课时）



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

1．教材分析

本课时主要学习无理数和实数的概念，以及实数与数轴上的点是一一对应的关系等知识．

教科书首先设置一个“探究”拦目，要求学生将一些有理数转化为小数的形式，并分析这些小数的共同特点，进而归纳出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，然后直接指出反过来的结论也成立，即任何有限小数和无限循环小数都是有理数，这样就将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来．在此基础上指出，前面学习时，遇到的无限不循环小数又叫做无理数，从而引出无理数的概念，并指出无理数也有正负之分．教科书采用与有理数对照的方法引出无理数，有利于揭示有理数和无理数的本质区别，也有助于学生理解“有理数和无理数统称实数”概念．为了能让学生全面了解实数的概念，教科书根据实数的大小和归属范围两种标准对实数进行了分类，揭示出实数的内部结构．

紧接着教科书安排了第二个“探究”，通过直径为1的圆在数轴上的滚动得出在数轴上的对应点．通过边长为1的正方形对角线长，在数轴上表示出无理数的点，等等，这样通过作图的方法说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，从而说明实数与数轴上的点是一一对应的．

基于以上分析，本节课的教学重点是：了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系．本节课的教学难点是：对无理数的认识．

2．重难点突破

（1）无理数和实数的概念

突破建议：

①无理数：无限不循环小数．

②实数：有理数和无理数的统称．

注意：有理数与无理数是两类不同的数，如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数，反之亦然．

实数根据不同的分类标准，既可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数、0、负实数．0在实数中扮演着重要角色，我们通常把正实数和0统称为非负数，把负实数和0统称为非正数．

例1．下列说法中正确的是(　　)．

A．有理数可分为正数和负数

B．实数可分为有理数，零和无理数

C．整数和小数统称有理数

D．实数可分为负数和非负数

解析：本题考查学生对有理数、无理数以及实数概念的理解．

因为有理数可分为正有理数、负有理数和0，所以选项A错误；因为实数分无理数和有理数，所以选项B错误；因为小数中的无限不循环小数是无理数，所以选项C错误；只有选项D符合实数的分类，所以选项D正确．故本题答案选D．

例2．下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？

3．141592，，，，，，0，，0．1313313331…(两个1之间依次多一个3)．

有理数是                                 ．

无理数是                                 ．

解析：本题考查学生是否会对实数进行分类．

有理数是3．141592，，，，0，．

无理数是，，0．1313313331…(两个1之间依次多一个3)．

（2）实数与数轴的关系

突破建议：

实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．

例3．和数轴上的点成一一对应关系的数是(　　)．

A．自然数     B．有理数         C．无理数     D．实数

解析：本题考查学生对实数和数轴上的点一一对应关系的认识．因为任何实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任何一点都表示一个实数，所以和数轴上的点成一一对应关系的数是实数．故本题选择D．

例4．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(　　)．

A．代入法          B．换元法         C．数形结合         D．分类讨论

解析：本题考查学生对实数和数轴上的点一一对应关系的理解．如图在数轴上表示点P，这是利用直观的图形“数轴”来表示抽象的无理数，所以说明问题的方式体现了数形结合的数学思想．本题选择C．

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《实数》教学目标解析（第2课时）



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

1．教学目标

（1）能求实数的相反数与绝对值．

（2）会对实数进行简单的运算．

2．教学目标解析

（1）学生能说出实数的绝对值和相反数的意义；清楚地知道字母表示的一个实数可以是正数、0、负数，知道的相反数是以及不一定是负数；知道对给出的实数能求出它的绝对值．

（2）学生知道在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质仍然适用；遇到有无理数时，会按照要求的精确度取近似值进行计算．

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《实数》教材分析与重难点突破（第2课时）



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

1．教材分析

本节内容分为两个部分，一是实数的相反数、绝对值，二是实数的运算．

本节课教科书首先设置了一个“思考”栏目，通过求几个实数的相反数和绝对值，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念(如绝对值、相反数等)在实数范围内仍然成立；接着，结合具体例子，指出有理数的运算(如加、减、乘、除、乘方运算等)，以及运算律(如交换律、分配律、结合律等)、运算性质在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算(如正数和0可以进行开平方运算、任何一个实数可以进行开立方运算)等．

基于以上分析，本节课的教学重点是：知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算．本节课的教学难点是：实数的绝对值．

2．重难点突破

（1）实数的相反数、绝对值

突破建议：

与七年级上学期学习的有理数的相反数、绝对值一样，也可以规定实数的相反数和绝对值．教学时，应从复习有理数的相反数和绝对值入手，然后指出可以用类似的方式来规定实数的相反数和绝对值，并通过例题和练习加以巩固，以加深学生对实数的相反数和绝对值的理解．

例1．已知，则的值是(　　)．

A．      B．      C．       D．

解析：本题考查学生对绝对值概念的理解．因为，所以，根据绝对值的定义可知．故本题选择A．

例2．化简．

解析：本题考查学生对绝对值概念的理解和实数大小比较．先判断的正负情况，再根据绝对值的性质“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”解答．

因为＜0，所以是负数，那么它的绝对值是它的相反数，即．于是．

（2）实数的运算

突破建议：

对于实数的运算，一定要强调两点：一是有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及到无理数的近似计算，可以取近似值，转化为有理数进行计算．

例3．计算的结果为(　　)．

A．-1     B．1       C．        D．7

解析：本题考查学生对有理数的运算性质在实数范围内仍然成立的理解．根据实数的运算顺序，从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级的运算按照从左到右的顺序进行．

，故本题选择B．

例4．若运算程序为：输出的数比该数的平方小1，则输入后，输出的结果应为(　　)．

A．1         B．2      C．3          D．4

解析：本题考查学生对有理数的运算性质在实数范围内仍然成立的理解．如果输入的数，则输出的数．根据这个根据规律，把中的换成求值得出结果．由于．所以本题选择B．

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《实数》教材习题解析



初稿：丁浩勇(安徽省无为县刘渡中心学校)
修改：夏晓华(安徽省庐江县第三中学)

习题6．3(P57-58)

1．考查目的：本题考查有理数、实数的概念以及有理数、实数与数轴上的点的对应关系．

解析：根据有理数、实数的概念以及有理数、实数与数轴上的点的对应关系进行判断．（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确．

2．考查目的：本题考查实数的分类(有理数和无理数)．

解析：根据有理数和实数的概念进行分类．

有理数是；无理数是．

3.考查目的：本题考查实数的绝对值概念．

解析：根据“正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”进行计算．

，，，，．

4．考查目的：本题考查用计算器进行实数的运算．

解析：根据计算器的使用说明进行近似计算．

（1）；（2）．

5.考查目的：本题考查实数的运算．

解析：根据实数的运算律进行运算．

（1）；（2）．

6.考查目的：本题考查实数的大小比较．

解析：先估计无理数的近似值，再进行大小比较．

（1）＜；（2）＞；（3）＜；（4）＞．

7.考查目的：本题考查整数、有理数、无理数及实数的概念．

解析：根据整数、有理数、无理数及实数的概念进行解答．

（1）有，没有；（2）没有，没有；（3）没有，没有．

8.考查目的：本题考查实数运算的实际应用．

解析：根据公式，把代入求值．

．

9．考查目的：本题考查根据有理数和无理数的概念进行判断一个数是有理数还是无理数．

解析：根据无理数的定义判断．无理数．因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．