小学数学思维过程分析的理论和方法

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小学数学思维过程分析的理论和方法

朱乐平

　　小学数学教学从强调结果到强调思维过程，是数学教育观念的一大转变。这一观念上的转变对加强素质教育，必将产生深远的影响。本文试图对数学思维过程分析的理论和方法作一论述。
　　一、分析小学数学思维过程分析的理论
　　数学思维活动的教学就是要揭示或展现蕴含在学习数学知识中的丰富多彩的思维活动过程。在这个过程中，教师要根据学生的思维特点，通过自己的思维加工，向学生揭示出前人发现问题、分析问题和解决问题的思维过程。使所有的学生品尝发现和创造数学知识的那种“滋味”，体会成功的喜悦和失败的痛楚。
实施数学思维活动的教学就是要使学生明确要解决的主要问题，问题产生的实际背景与过程，涉及的旧知识，得到的新成果（问题的解答）；使用的语言（符号或术语）与方法，得到的新方法；成果（知识与方法）的应用等。数学思维活动教学的目的是要变知识储备型教学为智力开发型教学，变知识型人才的培养为素质型人才的培养。　　基于对数学教学意义的上述认识，笔者认为，数学思维活动教学涉及三种思维活动：前人的思维活动（它或隐或现地存在于课本中），数学教师的思维活动和学生的思维活动。前人的思维活动以教材和教师为媒介对教学过程产生影响，是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知识中的成熟的数学思维活动是学生思维活动的楷模。教师通过自己创造性的思维活动，在前人与学生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。揭示前人与学生的数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学素质。成功的数学思维活动教学要实现前人、数学教师与学生三者的思维活动和谐统一，三者思维活动关系如下：

分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。事实上教师平时的备课、上课、改作和辅导等教学过程都是在分析数学的思维过程。
　　备课，从本质上说是在分析数学家、数学教材的作者的数学思维过程，分析学生的思维特征和制定学生学习的“程序”。我们平时说的“理解编者的意图”，就是分析作者的思维过程。我们在教学某一个较抽象的内容时，考虑用直观教具，实质上是在分析学生的思维特征后所确定的。
　　教师在上课时，常常不断地提出问题，学生积极地动脑回答各种各样的问题。教师根据学生回答的内容不断地分析小学生的数学思维活动，达到指导、调节、控制小学生的思维，使得学生的数学思维与成功的数学思维“同步”，从而发展学生的思维能力。并获得数学家数学思维活动的成果（数学知识）。通过这一过程逐步实现学生的思维活动与数学家的思维活动的和谐统一。
　　答疑、改作、辅导等教学活动，从本质上说也是在分析小学生的数学思维过程，帮助学生发现思维过程中的错误，总结思维规律、方法和技巧。
　　二、分析小学数学思维过程的方法。
数学的思维过程可以分为思维的宏观过程和微观过程两类。通常把学生学习某一数学课题（例如６的组成和分解）所经历的思维过程称为思维的宏观过程。本文主要论述小学数学思维微观过程的分析方法。
　　⒈　从数学研究的程序入手分析思维过程：
每一门科学都有自己研究的独特程序，数学也不例外。数学研究的程序通常是：观察→　猜想→验证→证明→应用。即数学的研究从观察开始，仔细地观察现实世界，考察数学的对象，观察到某种事实；然后大胆地进行猜想，初步得到某种结论，再用个别例子对结论加以验证；如果验证表明结论是正确的，那么就进一步考虑理论证明；结论获得理论证明后，就设法推广、应用。这既是数学研究的一般程序，也是数学家思维活动的过程。因此，从数学研究的程序入手可以分析出数学家思维活动的过程。数学教学希望学生的数学思维与这一科学的思维过程同步。因此，分析这一思维过程和小学生的思维特点，就可以制订出比较合理的教学程序。


　例⒈　圆锥体体积公式的教学：



教学开始，出示图１，已知圆柱体的底面积为Ｓ，高为ｈ，求出体积Ｖ＝Ｓｈ；出示图２，比较图２这个几何体与圆柱体的体积的大小，说出为什么图２这个几何体的体积比圆柱体的体积要小？猜测图２这个几何体的体积是圆柱体的几分之几？类似于上述过程，对图３作出猜测。最后出示图４，比较圆锥体的体积与它等底等高的圆柱体体积的大小，并猜测圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几？学生作出不同的猜测后，提出问题：怎样才能知道哪个同学的猜测是比较正确的呢？教师拿出空心的圆锥体和与它等底等高的空心圆柱体，用沙或米、水等东西进行度量，验证后得出：圆锥体的体积等于与它等底等高的圆柱体体积的三分之一。然后再加以应用。
　　上述圆锥体体积公式的得出过程，体现了学生观察、比较、猜想、验证等思维过程。过程十分自然，这样的教学程序充分暴露了学生的思维过程，体现了数学研究的一般程序。而这一教学程序的制订是建立在分析数学思维过程的基础之上的。

⒉　从解题方法、解题策略、解题思路入手分析思维过程。
　　学数学离不开解题，对每一类或者每一个数学问题都有着解决这类问题的方法、策略和思路。每一种解题的方法、策略或思路都孕伏着一种思维过程。因此，要分析数学的思维过程可以从解题方法、解题策略、解题思路入手进行分析。
　　数学问题的解题策略是对解题途径的概括性认识。“以退求进”、“正难则反”、“整体入手”等等都是数学中重要的解题策略，每一种解题策略都有自己的思维模式和思维过程。下例是用“以退求进”的策略解决的一个数学问题。
例⒉　右图是一张长方形的纸，在这张纸片的左下方挖去了一个圆形的纸片，
请作出一条直线，把这张长方形纸片分成面积相等的两部分。　            　              　　
  解题思维过程：                       
　①　如果没有挖去小圆形（先后退，从复杂退到简单），那么用
一条直线把长方形分成面积相等的两部分，问题就容易解决。
右图６中，通过长方形对角线交点O（中心）的任意一条直线，
都能把长方形分成面积相等的两部分。                           
　②　如果单独是一个圆（同时后退），那末通过圆心的任意一条直线
都能把圆分成面积相等的两部分，如图7。                          
③　题目要求作出的直线是要把长方形和圆同时分成相等的
两部分（再前进，从简单进到复杂），综合上面两种思维过程，
可以得到所要作的直线既要通过长方形的中点，又要通过圆心。
因此，通过这两点的直线必能满足题目的要求。如图８即为所求。        
　　这种解题的思维过程正象华罗庚先生所说，是“先足够地退到我们所容易看清楚问题的地方，认透了，钻透了，然后再上去。”
　　解题方法是对解决同一类数学问题而言的。小学数学教材常常用一个例题给出解这一类题的方法。

　  解题策略、解题方法是对解决一类数学题而言的，而数学中有许多题目常常有解决它的独特思路。分析数学思维过程可以从分析解决数　学题目的思路入手。解题思路的分析是分析数学思维过程中十分重要的组成部分。

⒊从实验、观察、交谈入手分析数学思维过程。
　　上面分析的是合理的成功的数学思维过程，我们希望学生的思维与这些成功的数学思维同步，但学生原来自己的思维活动是怎样的呢？当他们面对一个数学问题时，又是怎样展开思维的？当我们对学生实施了教学以后，学生又是怎样来理解这些知识的？只有我们与学生在一起，通过实验、观察、与他们交谈才能知道学生在想什么，是怎样在想的，才能了解学生的思维活动、思维过程。
　　学生在刚学习了直线、射线和线段这一内容后，我问学生：直线到底有多长？
　　生１：象黑板那样长。因为老师总是把直线画到黑板上，所以，直线最长也只有黑板那样长。
　　生２：比黑板要长。如果画到操场上就象操场那样长。
　　生３：如果操场很大，那么直线就很长。
　　生４：如果把直线画到地面上，直线就可以更长。老师说过，直线可以向两个方向无限延长。
　　生５：直线不会无限长，因为它没有生命，不能自己长。
　　生６：直线画在地面上，直线也不能无限长，因为地球是一个球体。如果直线无限长，到一定的时候，就会两头接在一起，变成一个圆，那就不再是直线了。
从上面这些学生的不同回答中，我们可以比较清楚地看到，各个学生在理解“直线是无限长的”这一知识时的不同的思维水平。
　　分析数学思维过程就是要“拉长”数学思维活动的过程，通过这个“拉长”产生“慢镜头”，其目的是为了强调思维过程，充分暴露思维过程。小学数学教学要从比较展开的思维向比较压缩的思维过渡。思维的压缩主要指省略了一些思考步骤，简化了一些中间环节。我们还要注意，对同一个数学问题，由于人们考虑问题的角度和原来头脑中储存信息的不同，在解决问题时，常常会有不同的思维过程。
　　人们在解决数学问题时的思维过程是一个复杂的过程。由于直觉思维的存在，我们常常会对自己的思维过程都比较难的作出实事求是的陈述和正确的分析，更不要说对别人的思维过程作出科学的论述。但数学教师在数学教学中的活动又无一不是围绕着分析数学思维过程而展开。这就是我们探讨思维过程分析的现实意义。
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　主要参考书目：
　　⒈张乃达著　《数学思维教育学》　江苏教育出版社
　　⒉任樟辉著　《数学思维论》　广西教育出版社

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数学思维的形成和突破
  数学教学主要是数学思维活动的教学。学生的逻辑思维能力的发展需要有一个长期的培养和训练过程 。数学教学的思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。课堂教学是对学生进行思维训练的主阵地，所以，要把思维训练贯穿于数学教学的各个方面。
    激发学生思维动机，理清学生思维脉络，培养学生思维方法，是提高学生思维能力的重要方面。
   一、激发学生思维动机
    动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机 ，是培养其思维能力的关键因素。
    教师如何才能激发学生思维动机呢？提出问题，创设情境问题"是数学的心脏"，是思维的起点。有问题才会有思考，思维是从问题开始的。巧妙恰当地提出问题，创设良好的思维情境，能够迅速集中学生注意力，激发学生的兴趣和求知欲。这是上好数学思维训练课的首要环节。这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机 。问题的提出，首先要从教材入手，寻找思维素材。其次是通过对教材内容的再加工，设计一些具有疑问性、思维性、说理性、扩散性、等特点的问题，使学生产生认知冲突，进入思维"角色"，成为思维的主体。例如：在教学“分层抽样”这一内容时，首先要使学生明白总体由差异明显的几部分组成时，若平均抽取，则没有注意总体中个体的层次性，故要分层抽样。教学时可设计这样一个问题：为了了解某市800家企业的管理情况，拟抽取40家企业作为样本。这800家企业中有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家。如何抽样较合理？能否在800家中随机抽取40家，能否在中外合资企业、私营企业、国有企业以及其他性质的企业中平均抽取？
    这样设计教学既渗透了“知识来源于生活”的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活 和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。
    可见，创设思维情境，激发学生的思维动机，是对其进行思维训练的重要环节。
   二、理清学生思维脉络
    认知心理学家指出：“学生思维能力的发展是寓于知识发展之中的。”在教学中，对于每一个问题，既要 考虑它原有的知识基础，又要考虑它下联的知识内容。只有这样，才能更好地激发学生思维，并逐步形成知识脉络。我们教学的关键在于使学生的这种思维脉络清晰化，而理清思维脉络的重点就是抓住思维的起始点和转 折点。
    1.引导学生抓住思维的起始点。数学知识的脉络是前后衔接、环环紧扣的，并总是按照发生—发展—延伸 的自然规律构成每个单元的知识体系。学生获得知识的思维过程也是如此，或从已有的经验开始，或从旧知识引入，这就是思维的开端。从学生思维的起始点入手，把握住思维发展的各个层次逐步深入直至终结。如果这 个开端不符合学生的知识水平或思维特点，学生就会感到问题的解决无从下手，其思维脉络就不会在有序的轨道上发展。这里教师要切忌用自己的思维取代学生思维，要正确处理知识与思维的关系，即："已有知识--思维--新知识"。知识是思维的基础，而思维又属于知识的知识。知识有助于思维，但不能取代思维。在这一环节的教学中，要注重学生思维潜力的挖掘，发挥其既是知识的产物、又是知识媒介的双重作用。

    例如：在教学“柱体的体积”这一内容时，从学生已有知识基础—长方体的体积入手，把握住长方体的体积与棱柱的体积的关系，即把长方体的体积公式file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif作为已知事实来运用，而通过前面空间几何体的学习我们知道，长方体是由矩形向某一方向平移得到，类似棱柱（圆柱）可又多边形（圆）沿某一方向平移得到，只要底面积和高都与长方体一样的柱体都与长方体的体积一样。从而将学生的思维很自然地引入file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif，为 学生扫清了认知上的障碍。
    当然，不同知识、不同学生的思维起点不尽相同，但不管起点如何，作为数学教学中的思维训练必须从思 维的“发生点”上起步，以旧知识为依托，并通过“迁移”、“转化”，使学生的思维流程清晰化、条理化、逻辑化。
    2.引导学生抓住思维的转折点。学生的思维有时会出现“卡壳”的现象，这就是思维的障碍点。此时教学 应适时地加以疏导、点拨，促使学生思维转折，并以此为契机促进学生思维发展。思维扩展这一环节是知识的形成阶段，属抽象思维的高级阶段。数学教学过程实质上是由一连串的转化过程所构成的。学生接受新知识要借助于旧知识，而旧知识的思维形式往往会成为新知识思维形式的障碍（如思维定势），因此，教师首先要抓好教学过程中数学思想方法的渗透，在数学知识的质变（往往是重点）过程中，帮助学生实现思维活动的转折，排除思维活动的障碍（往往是难点），渡过思维操作的"关卡"，以实现思维发展。学生理性认识过程是由表象的具体到思维的抽象，再由思维的抽象上升到思维的具体的过程。研究数学问题的过程首先是由具体到抽象的过程，在此环节中，将数学问题转化加工为例题形式，使被抽象出来的数学问题再回到实践中去验证，这一阶段是学生的思维定向阶段，是运用思维探索规律学会抽象的过程。但探索研究的关键是学生的参与，思维操作的关键是激励学生进入积极的思维状态。因此，教师要依据学生的思维特征、认知规律，从知识的发生、发展、形成过程中随机设计学生参与的最大开发口，暴露思维过程，让学生多动脑、动手、动口，给学生主动研究、探索、分析、归纳、推理和判断等数学活动的时空。
    例如：某种细菌每隔20分钟分裂一次，一个分裂成两个，则经过24小时，一个细菌繁殖的细菌总个数是多少？
    学生在思考这道题时，虽然能够准确地判断出这是一个等比数列的问题， 但是，到底是用求和公式还是用通项公式呢，这样，学生的思维出现障碍。教师应及时抓住这个机会，引导学生开拓思路：可以在黑板上画图帮助理解，一个细菌分裂一次分裂成两个细菌，原有的细菌不存在了，依次分裂n次后前面file:///C:/Users/ccy/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif的细菌都不存在了，于是学生很自然的知道本题用等比数列通项公式解题。老师还可提出若是母牛生小牛又会怎样，抓住这个转折点，有利于克服学生的思维障碍，有利发散思维的培养。
    总之，教师帮助学生理清思维脉络，注意思维过程中的起始点和转折点，才是数学教学中思维训练的 重点所在。
   三、培养学生思维方法
   培养学生思维方法的教学中，注意结合学生的心理特点和认识水平从不同角度、不同层次、不同侧面有目的、有针对性地不断设计组编一些探索型、开放型、判断改错型、归纳与综合型等题目，为学生提供多种类型的思维训练素材，这是发展学生的思维能力所不可缺少的。这要求教师注重挖掘课本典型题例的潜在功能，充分发挥它的导向、典型、发展和教育作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识溶入活的思维训练中去，并在不断的"问题获解"过程中深化、发展学生的思维。
１．把知识的教学与思想方法的培养同时纳入教学目的原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精心设计思想方法的教学过程。
２．寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想的指导下，运用知识、方法“加工”的对象。皮之不存，毛将焉附？离开具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。
３．适当章节的强化训练与思想方法反复运用相结合的原则。数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯穿全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。例如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。
4．用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。
     综上所述，在数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利 于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质

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第一章        数学思想方法概述
1．数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。
2．思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。
3．思维的特征：方向性，概括性、间接性
4．数学思想方法的两个源头：欧几里得《几何原本》和古代中国《九章算术》
5．数学思想方法的发展概述：
①从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。
②从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。
③从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。
④从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。
⑤从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变
6．数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。
数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。
数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。
7．数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维
8．数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性
9．数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。
10．数学思维方法分类:
①        按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法
②        按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法
③        按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带有个人特性，主观色彩，独立特性）
④        按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法
11．数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系——
①        数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容
②        数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义
③        数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系
12．数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学
13．在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义：
①        数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。
②        数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问题的方法。
③        数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。
14．在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力”
15．中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。
16．从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：
①        数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数学能力、专业素质的培养
②        数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与研究和讨论的过程
③        数学思维方法可以使人了解数学理论发展变化中的数学家思维方式的变化，也是对大学数学专业学习的一个反思过程。

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第二章        数学中几种重要的思维方法
1．算术的发展演变、符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。
2．算术的主要内容是有关自然数、分数和小数的性质及相关的四则运算。
3．数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。
4．算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。
5．代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变换等求出未知量的数值。
6．数学具有高度抽象性，这种抽象性以形式化为特点。
7．对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示：
①        数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数学形式多反映的内容。
②        数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形式的结合。
8．在数学的思维中，最先作为思维语言符号的就是数量与几何图形，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象
9．空间思维转变的意义：
①        古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯“万物皆数”的数量思维观念向柏拉图的“世界是由几何图形构造”的空间思维观念的转变过程
②        人们的空间思维由静态转向动态发展
③        空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维
④        使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。
10．变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法——微积分的创立而最终完成的。
11．变量数学的研究问题大体可以分为四类：
①        描述非匀速运动物体的轨迹
②        求曲线在某一点的切线
③        求变量（函数）的极值
④        计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力等。
12．变量数学思维的意义：
①        变量数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对运动物体的数学思维
②        变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用
③        无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高
13．三大数学危机：
①        无理数的出现
②        无穷小的运算、论证与表述所产生的如何认识无限的问题（芝诺悖论）
③        与康托集合论相关的无限问题（罗素悖论、理发师悖论）
14．三大基础学派：形式主义、逻辑主义、直觉主义
15．必然性研究的数学：人们知道某事物开始的原因后就可以明确地预知它的结果
  或然性研究的数学：不能确定某些现象是否会出现
16．概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性
17．概率论提供的数学思维方式的意义——随着随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论的发展，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解
18．数学明确化的理论基础是集合理论，它把数学对象的确定性、差异性准确无误地表述出来，数学各种分支都以集合论作为理论的基础。
19．对于数学的教育而言，模糊数学的创立对我们的数学教育活动有两个方面的积极作用——使人们认识到数学作为人类的理性创造是无止境的，模糊数学的思想与方法为我们进行探究性学习、参与学习提供了新的案例。
20．中国古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法，并上升到理论阶段。
21．古代数学思维对现代教育的意义：
①        唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式
②        直观性、实用性是初等数学的重要特性
③        筹算运演工具性特征的启示

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第三章        数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维
1．逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑
        形式逻辑的主要思维形式规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论
                  主要思维方法：比较与分类，分析与综合，归纳与演绎
2．逻辑思维的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论
        同一律的要求：在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变；对正确思维的要求是必须保持判断的同一性。
        充足理由论的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系
3．数学逻辑思维的基本形式：数学概念、数学判断、数学推理
        数学概念是数学思维最基本的形式，它是对客观事物的数量关系、空间形态或结构关系的特征的概括
        数学概念的相容关系有：同一关系、从属关系、交叉关系
        数学概念的不相容关系有：、对立关系、矛盾关系
        数学判断的表现形式：公理、定理
        数学思维的形式。其最终表现形式是形成逻辑形态的命题
        最常用的数学推理包括：归纳推理、演绎推理
        归纳推理分为：完全归纳推理、不完全归纳推理
        不完全归纳推理分为：枚举归纳、因果关系归纳
        演绎推理是由一般到特殊的思维方法
4．非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象思维
        形象思维是以直观形象和表象来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，而是以直观形象来进行思维。
        直觉思维的特征：非逻辑性、直接性、模糊性
        直觉思维的作用：选择作用、创新作用
        灵感思维的特征：长期思维后的突发性（偶然性、下意识性），模糊性与突逝性
        数学想象的特征：形象性、概括性、直觉性、整体性
5．创造性思维的特点：
①        创见性、新颖性是创造性思维的主要标志
②        发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式
③        积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节
④        专注于灵感是创造性思维的重要特点
6．激发创造性思维的发生，培养和鼓励学生创造性思维，我们应该注意四个方面：
①        在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极地提出问题来参与数学的教学活动
②        在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识和方法
③        在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格外注重非逻辑思维的培养
④        在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。

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第四章        数学的解题及发现的方法
1．观察与实验在数学中的意义：要求学生在数学教育、数学学习中，学会、掌握并运用观察和实验的能力，实际上就是要在中小学的数学教学中，培养学生数学学习的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心；更为重要的是通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和个体理解。
2．观察与实验在数学中的运用：其一是解决和验证数学理论，其二是解决具体的数学问题
3．数学解题的目标是：
①        通过解题加深对知识的理解，尤其是加深对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化
②        学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题的能力
③        掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力
4．数学解题的一般程序：弄清楚问题，分析和制定解题步骤，完成解题计划并检验，解题后的研究
5．数学解题的一般思路：调动知识储备把它们组织起来，按解题要求把知识重新组合
6．合情推理：一种合乎情理的推理
合情推理强调了一种思维的主动性、情感性和试错性
7．合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理。
        类比推理是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜测出它们在其他方面可能具有相同或相似的思维形式。它的思维进程是特殊到特殊的推理方式。
        归纳推理：合情推理中的归纳推理指不完全归纳推理，是从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。
8．波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：
①        可以提出新问题和获得新发现
②        可以在求解问题中得到应用
③        可以用来对猜测进行检验
9．经验归纳法的作用一般可以分为：发现、猜测问题的答案；发现、猜测解题的方法
10．数学猜想：人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断
11．数学猜想的特征：待定性（可研究性），创新型
12．数学猜想一般表现：提出新问题，预见新事物，揭示新规律，创造新方法等
13．对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动、增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题

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第五章        数学的公理化方法
1．数学的公理化方法是第一次完整地表现在《几何原本》中的数学方法
2．公理化方法：也称为公理方法，就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公社）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一种学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。
3．由原始概念（基本概念）、公理所构成的演绎系统成为公理系统（公理体系）；
  公理化方法是构成公理系统的方法，公理系统是由公理化方法得到的数学理论体系。
4．基本概念：不加定义的概念。（具有必要性、独立性、完备性）
  定义概念：也称为派生概念、导出概念，指由初始概念定义的概念
  原始命题或公理：不证明的命题
  定理：经过公理推演出来的命题
5．亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演绎方式的公理化方法。
  第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学
1899年希尔伯特的《几何基础》问世，这是公理化方法在近代发展的代表作，它把欧几里得《几何原本》为代表的公理化方法建成了一个完备的、形式化的公理体系。
6．欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只用于几何。
欧几里得《几何原本》中以直观几何背景为基础构成的体系，它代表的是“实质性公理体系”（也称实体性公理体系），这种公理化方法也称为实质性公理化方法。
欧几里得从上述的五个公设和五个公理出发，推出了465个命题。
五个公设为：
①        由任意一点到任意一点可作直线
②        一条有限直线可以继续延长
③        以任意点为中心及任意的距离为半径可以画圆
④        凡直角都相等
⑤        同平面内一条直线和另外两直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交
五个公理为：
①        跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的
②        等量加等量，总量仍相等
③        等量减等量，余量仍相等
④        彼此重合的东西是相等的
⑤        整体大于部分
7．罗巴切夫斯基引入了一个与第五公设完全相反的公设：过平面上一个已知直线外一点至少可以引出两条直线与已知直线平行。
8．罗巴切夫斯基的新几何——锐角假设的双曲式几何
  黎曼——钝角假设的椭圆式几何
  从而非欧几何被人们所承认
9．非欧几何对公理化方法的发展产生了重大的影响：
①        人们可以采取一个与之相反的公理并发展成为另一个新的公理体系
②        为公理化的推广和建立新的理论提供了已经，大大提高了公理化方法在数学中的地位
③        非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式化公理化方法的过渡
10．《几何基础》的问世意味着公理化方法进入到了形式化的阶段。
  《几何基础》称为形式化公理体系，构成《几何基础》的公理化方法称为形式化公理化方法。
11．对于公理的选择的基本要求：协调性（相容性或无矛盾性）、独立性、完备性
        协调性：一个理论体系中无矛盾
        独立性：不允许有一条公理能用其他公理推导出来
        完备性：在一个公理系统中要有确保能推导出所论述的全部命题的公理
12．公理化方法最重要的作用在于运用逻辑推理的方法。
13．布尔巴基学派认为数学是由三种基本结构构成：代数结构、序结构、拓扑结构
        代数结构：一个集合的代数运算体系。即一个集合上规定了一种运算，并且能够使两个元素按照运算得到另外一个元素。
        序结构：集合中的某些元素之间有了先后的排序关系
        拓扑结构：领域、连续、极限、连通性、维数等构成一般拓扑学的研究对象
14．中学教材中的公理系统——
平面几何公理：
①        经过两点有一条直线，并且只有一条直线
②        在所有连接两点的连线中，线段最短
③        平行公理：经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和该直线平行
④        两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
⑤        边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
⑥        角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
⑦        矩形的面积等于它的长a和宽b的积
立体几何公理：
①        如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
②        如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线
③        经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
④        平行于同一条直线的两条直线互相平行
⑤        长方体的体积等于它的长、宽、高的积
⑥        夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等