数形结合思想在数学解题中的应用

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数形结合思想在数学解题中的应用
公主岭市第三高级中学 数学组 黄鹤
   
[摘要]  数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决.
[关键词]  数形转化；数形结合
引言：
数形结合思想，其本质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维有效的结合起来，进而通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。运用数形结合的思想解题常常可以优化解题思路，简化解题过程，从而起到事半功倍的效果.
一.数形结合思想.
1.1数形结合思想的重要性
从数学的历史背景上说，“数”与“形”是最古老，最基本的研究对象，在一定情况下，它们是可以相互转化的，在这一转化过程中，就产生了数形结合思想.数形结合思想在数学解题中具有举足轻重的地位，它是联系代数和几何的桥梁，是建立空间想象力的纽带，是解决数学问题的重要思想方法.我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”华老的这句话揭示了数形结合思想的重要性，也对我们的数学解题具有极深刻的启示.
1.2数形结合思想的分类.
作为一种重要的思想方法，数形结合思想的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，即将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论.第二种情形是“以形助数”,即借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化,给人以直觉的启示.通过这两种方法可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，进而实现优化解题的目的.
1.3与数形结合思想相关的内容.
数形结合思想作为一种重要的解题思想应用极其广泛，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上对应点的关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素或者是几何背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）题中出现的等式或者是代数式具有明显的几何意义.如斜率等.至于数形结合思想具体的应用技巧将会在以下具体的例子中体现.
1.4利用数形结合思想解决问题的注意事项.
要想更好的运用数形结合的思想使问题得以简化，需要注意以下几点：（1）要彻底的明白数学中的一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，既能够分析出题目中的条件和结论的几何意义，又能分析出其代数意义.(2)恰当的设参，合理的用参，由数思形，以形想数，做到合理恰当的转化.(3)正确确定参数的取值范围，不要与题中的取值范围混淆.
二.数形结合思想在解题中的应用.
数形结合思想作为一种解题方法，实际上包含两方面的含义；一方面是对“形”的问题，我们可以通过引入坐标系或者寻找题中的数量关系式，用“数”的相关分析加以解决；另一方面，对于“数”的问题即数量间的关系问题，我们可以通过分析其几何意义，借助图形的直观性来解决.具体的实施方案如以下例题.
2.1数形结合在函数中的应用.
2.1.1利用数形结合解决与方程的根有关的问题.
例1. 已知方程  有4个根，则实数m的取值范围.
分析过程：此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程根的个数的问题，我们可以通过数形结合思想转而求两条曲线的交点个数，从而解决此类问题.
解： 由于方程 根的个数问题就是方程 与函数 图象的交点的个数.
     作出抛物线 的图象，考虑到当 时，不符合题意，因此， .所以，我们需将抛物线 轴下方的图象翻折到 轴上方，得到 的图象.再作出 的图象，如下图所示:由图象可以看出，当 时，两函数图象有四个交点，故 的取值范围为 .

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图示：

例2.方程 的实根个数是（）.
A  1个       B  2个      C  3个   D  4个
  
分析过程：这道题，如果直观的去解一个一元三次方程的话，问题会变得非常麻烦，因此我们可以通过数形结合的思想，在直角坐标系中分别作出 和 的图象，两个图象的交点个数即为原方程的实根个数.


小结：此类问题多数以函数方程的形式出现，一般情况等号左右两边可以分别看成两个不同的函数，运用数形结合的思想，可以结合这两类函数的图象来解决方程根的问题.准确合理的做出满足题意的图象是解决这类问题的前提.
2.1.2利用数形结合解决函数单调性的问题.
例3.确定函数 的单调区间.
分析过程：函数的单调性是函数的一个重要性质，在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性和单调区间，而函数的单调性和单调区间一般是通过图形反应出来的，因此，我们需要利用图象来解决.
  解：当 时， ；
     当 时， ；
图示：
      
画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 .
小结： 数形结合是确定函数单调性的常用方法，函数的单调区间形象的反应在函数的图象中.
    2.1.3利用数形结合解决比较数值大小的问题.
例4.已知定义在R上的函数 满足下列三个条件：（1）对任意的 都有 ；（2）对任意的 ，都有 ；（3） 的图象关于 轴对称.则 的大小关系.
分析过程：题中给出了我们函数满足的三个条件，我们需要对三个条件逐一的去分析，由（1）可以得出函数的周期 ;由（2）可以得出 在 上是增函数；由（3）可得 ,即 的图象关于直线 对称.由此可以画出示意图便可比较出大小.
图示：

由图示，我们可以很容易的看出
小结：比较函数值的大小的问题，如果用代数的方法来做是比较麻烦的，如果弄清函数图象的基本结构，我们可以很容易的看到自变量所对应的函数值的大小关系,这类问题用数形结合的思想解决非常方便.
2.1.4利用数形结合思想解决抽象函数问题.
例5 设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间 上， ，且 有最小值-5.则函数 在区间 上（）.
A.是增函数且有最小值-5
B.是减函数且有最小值-5
C.是增函数且有最大值5
D.是减函数且有最大值5
分析过程：
解：由题意可得：
  在区间 （ ）上是增函数，又  分别是定义在 上的奇函数和偶函数.
   是奇函数.
所以我们可以推得，该函数图象是关于原点对称，并且可以作出示意图，由图可知函数 在区间 上是增函数且有最大值5，因此该题选择C.

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小结:数形结合思想是解决抽象函数问题的有效工具，题中不会给我们函数的具体解析式，但会给我们该函数的一些特征，我们需要根据题中所给函数的特征描绘出该函数图象的大致情形，并且根据图象来解决此类问题.
2.2 数形结合思想在不等式中的应用.
2.2.1 利用数形结合解不等式.
例6 解不等式
分析过程：
         解：
设 ，即
     它所对应的曲线是以 为顶点，开口向右的抛物线的上半支.
而函数 的图象是一直线.
通过解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2.
取抛物线位于直线上方的部分，由此可以得出原不等式的解集是 .
图示:



   
小结：对于不等式的问题，我们必须注意两个函数的取值范围，根据函数的取值范围画出不等号两侧的函数的图象，联立方程可以求出两个函数的交点坐标，再根据不等号的方向，截取满足题意的图象，容易看出不等式的解集.通过此题可以看出利用数形结合的思想来解不等式是非常快捷的.
2.2.2 利用数形结合证明不等式.
例7 设变量 在区间 中取值，
     求证：  
     分析过程：如果直接去证明此题，是非常麻烦的，但是如果我们能够利用数形结合思想，由左边的多项式联想到面积，此题会变得很简单，具体实施过程如下：
      解; 如下图，正三角形 边长为1，设点 分别在边 和 上，且有 则 ， ，
         由图示可得： ， ，
         
           
         即 ,结论的证.
     图示：
        
小结：关于不等式的证明问题，很多时候都是如上题一样，给我们的条件很少，这个时候就需要我们利用数形结合的思想，将不等式中的某部分联想到曾经学过的某些图形的面积上来，这样由图形间的面积大小关系就可以证明出原不等式，可以看出该方法非常的简单易懂.
2.3 数形结合思想在解析几何中的应用.
2.3.1 数形结合思想在双曲线中的应用.
例8 设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上有点A使得 且 ,则双曲线的离线率为（）.
   A 、       B、       C、      D、
   分析过程: 利用双曲线的图形来反应数量之间的关系.
             解：由已知
                 再根据双曲线的定义： ，可得
                  在 中，利用勾股定理可得
                  即该双曲线的离心率

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小结：关于双曲线离心率的问题，大多数都利用数形结合思想来解决，一般都是利用双曲线的第一定义或者是第二定义，有时会结合勾股定理，或者是三角形的面积等来解决.
2.3.2 数形结合思想在椭圆中的应用.
例9 已知椭圆C: 确定m的取值范围，使C上有不同的两点A,B关于直线L: 对称.
     分析过程：
               解：如图，设  中点
                   则有，      
                    得      
                       关于 对称
                        
                        
                     以 为斜率的平行弦中点轨迹是直线 在椭圆内部的一段，不包括端点.
                      与  联立得两交点
                      问题转化为 与线段   有交点的问题.
                      由图形可知，当 过 点时， 最大值为 ，当 过 点时， 最小值为
                        
      图示：



     小结：上题的解法提供了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观的看出结果，真正体现出了数形结合思想的作用，达到事半功倍的效果.

2.3.3 数形结合思想在抛物线中的应用.
例10 已知 : 能垂直平分曲线 : 某一弦 ,求 的范围.
分析过程：
              解：由抛物线的对称性，可得当 时， 上不存在 关于
称，所以 .
                 设 ， ， 中点 ，
                 将 坐标代入抛物线方程得
                              
                  得   
                  ,
                   ,  ， ，
                 又  在 上，
                   ，
  ， ，消去 得
                  斜率为 的弦中点轨迹为 在抛物线内部一段且过 点，如图， 过点 ，当 与 相切时得 ，由图形可知 .

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     小结：应用数形结合思想解决有关抛物线的问题就是要充分的考查数学问题中的条件和结论之间的内在联系，既要分析其代数意义，又要揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙的结合起来，使问题得以解决.
2.4 数形结合思想在复数中的应用.
例 11 已知复数 满足 ，求 的模的最大值和最小值.
      分析过程：由于 是有几何意义的，它表示的是复数 对应的点到复数 对应的点之间的距离，因此满足 的复数 对应的点 ,在以 为圆心，半径为 的圆上，如下图，而 表示复数 对应的点 到原点 的距离，显然，当点 ,圆心 ，点 三点共线时， 取最值， ， ，
                  复数 的模的最大值为 ，最小值为 .

图示：

      小结：复数形的关系式紧密联系的，这是因为复数集与复平面上的点集构成一一对应的关系.利用复数及其运算的几何意义，应用数形结合的思想，可以使很多复数问题变得简单，直观.
2.5 数形结合思想在解决实际问题方面的应用
例 12 某场拟生产A,B两种产品，每件销售收入分别为3百元，2百元，A,B两种产品都需要在甲，乙两种设备上加工，在甲乙两种设备上加工，A产品需要1小时，2小时.B产品需要2小时，1小时.甲乙两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，如何安排可使收入最大？
     分析过程：
              解：设加工A产品 件，加工B产品 件.
                 目标函数 ，线性约束条件为
                 做出可行域，如下图阴影部分所示
                 把 变形为平行直线系 ：
                 由图可知
                  经过可行域上点 时，
                 截距当 最大
                 解方程组 得
                 
  
小结：在解决实际问题中，渗透数形结合思想，运用直观图形，巧妙的把数和形结合起来，将隐形问题显性化，可以使问题得以巧妙解决.
三 数形结合思想在解题中的应用总结
1.通过以上的应用实例我们可以看出，数形结合思想实际上就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来考查的思想.根据解决问题的需要，我们可以把有关“数”的问题用图形直观去描述，从而揭示出图形的几何特性;而对于“形”的问题，我们可以用“数”去度量，找到数量之间的关系，从本质上认识到“形”的几何属性.简而言之就是“数形相互转化”，优化解题思路.
2.通过以上的探讨，我们已经理解了数形结合思想在解题中的优势，也知道了数形结合思想在数学解题中的广泛性，因此在学习新知识和应用知识解决问题的时候，我们应该多注意数形结合的应用，有意识的加强这方面的训练，从而提高我们的数学解题能力.