小学二年级数学教研文章 教在学生思维“断层”处

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二年下册所学的“有余数的除法”，是指用一位数除商一位数而有余数的，它是除法试商的基础。教完表内能整除的除法以后，接着教有余数除法，便于学生更熟练地、灵活地运用乘法口诀求商，也为进一步学习除法试商打下较好的基础。
通过对以往“有余数除法”课堂教学的观察与思考，发现学生在学习“有余数除法”的过程中有着明显的思维“断层”或者教师的教学存有逻辑不顺的现象：
一是对“平均分”意义的完善。当提出“把10枝铅笔分给几个小朋友，每人分得同样多，可以怎样分？”这个问题时，学生几乎普遍地认为10枝铅笔分给几个小朋友，只能每人分得2枝、5枝、10枝。而不能每人分得3枝、4枝等。这是明显受到前面所学除法的负迁移干扰，学生在前面学习除法时，都是能正好分完的情况，因而，对“平均分”的理解，只能停留在“正好分完”的情况下，如果不能分完就错误地理解为不是“平均分”。因此，一般地，老师在教学时，都要特意提示：“假如每人分3枝，会怎么样？”，通过实际分，学生会得到两种结果：（1）分给三人：三枝、三枝、四枝；（2）分给四人：三枝、三枝、三枝、一枝。通过老师的点拨提示，学生会填出正确答案：每人分3枝，分给3人，还剩1枝，但对这是不是“平均分”仍心存疑虑。
二是对“余数要比除数小”的道理的理解。有的老师只是简单地根据教材中“大卡通”的提问：“比较每道题里余数和除数的大小，你发现了什么？”，引导学生观察7÷3和17÷5的余数和除数，得出“余数要比除数小”，这样，总感觉在逻辑上有点讲不通，因为，试商时，是根据“余数要比除数小”来得到正确的商的，此时学生已经在应用“余数比除数小”的道理，然后，再让学生去发现，显然不是很合理。而，“余数比除数小”的道理，是在认识有余数除法的操作活动中就应该理解和体悟的，完全可以结合实际操作，比较、归纳得出“余数比除数小”的道理。
三是对有余数除法算理的理解。如何帮助学生很好地理解7÷3的竖式中的“6”和“1”分别是怎样算出来的，各表示什么含义。如果通过操作来思考“7个桃，每盘放3个，放了（  ）盘，还剩（  ）个。”由于答案是直观的：，2盘和1个显而易见，至于分掉几个、剩余几个是不需要计算的，而在竖式中，是需要通过计算得出的，因此，如何沟通操作和竖式之间的联系，是学生思维的困难之处。
针对以上学生对“有余数除法”理解的思维“断层”或逻辑不顺的现象，常州市教研室约请了局前街小学周志华老师（以下简称周老师的课）和常州市天宁区邓炜名教师工作室的瞿雯洁老师（以下简称瞿老师的课）对“有余数除法”进行了“同课异构”，他们都深入研读了教材，对“有余数除法”的知识结构进行了重新架构；认真分析了学生的学习困难，对“有余数除法”进行了创造性的设计。两节课虽各有侧重，但都从学生思维的“断层”处着力，展开教学，有着相同的思维策略。
第一，尊重学生学习的现实起点，在思维“断层”处设问，引起认知冲突，并通过充分的探究学习活动，自主建构有余数除法的意义。在两位老师引导学生分10个桃或10枝铅笔时，都是尊重学生的原有思维，得出能正好分完的情况，并让学生用图或用算式表示出来，然后再顺势提出：“把10个桃能平均分在3个盘子里吗？”或“把10枝铅笔分给几个小朋友。可以每人分2枝，分给5个小朋友；也可以每人分5枝，分给2个小朋友；……可为什么你们不每人分3枝呢？” 看似简单的问题，问出的却是学生的困惑，同时也问出了研究的起点。
在这样的问题引导下，两位老师都是先通过“10枝铅笔，每人分3枝，结果到底会怎样呢？就让我们先来动手分一分吧。”或“10个桃能不能平均分在3个盘子里呢？请你分一分。”这样的活动要求，让学生尝试“平均分”，形成“平均分”可以“正好分完，也可能有剩余，但剩余必须小于每份的个数”的正确认识后，再通过“10枝铅笔，每份同样多，还能怎么分？”或“10个桃，还能平均分在几个盘子里，每盘分到几个？”的学习要求，引导学生有序列举所有可能的情况，在此基础上组织学生进行合理分类，并学会用算式表示有余数除法。
瞿老师的课对“有余数除法”算式的写法采用的是集中指导的方法，在老师“像这种正好分完没有剩余的情况，我们会用除法算式来表示了，那么，像这种有剩余的情况你能自己试着用除法算式来表示吗？”的问题引导下，让学生经历“有余数除法”算式表示方法的再创造过程，在此过程中，加深对“有余数除法”的理解；而周老师的课，则在尝试操作“把10个桃平均分在3个盘子里”后，及时跟进了“有余数除法”算式的写法指导，然后结合着“摆一摆、写一写、说一说”的学习活动，把操作与“有余数除法”的算式有机结合，对照着操作的结果，理解“有余数除法”的各部分名称，加深对“余数”的理解。
两节课都顺应了学生的思维惯性，在思维“断层处”着力，组织充分的“平均分”学习活动，自主建构“有余数除法的意义”，拓展对除法的认识，完善对除法的认知结构。
第二，适当重组教材，结合着“平均分”活动整体认识“有余数除法”。国标本苏教版小学数学教材把“有余数除法”分两个例题教学，第1-2页的例题，通过“平均分”的活动，引出有余数除法，并认识其含义；第3页的例题，借助算理，引导学生理解有余数的求商方法以及余数要比除数小的道理。一般地，老师们习惯把前一个例题作为第一课时教学，后一个例题作为第二课时教学。这样，容易造成丰富的“平均分”的操作活动与有余数除法算理及“余数比除数小”的道理隔裂，形成学生思维的“断层”。为此，两位老师都适当重组教材，让“平均分”的操作活动与“有余数除法”的含义、竖式计算算理、余数比除数小的道理结合起来。
两位老师对“余数要比除数小”道理的教学不约而同地都安排到了第一课时，周老师的课，在“有余数除法”的意义学习之后，通过探究除数相同的算式，引导学生发现余数比除数的道理。周老师，先让学生自编除数相同的除法算式，并用除法是5的除法算式引一引，使得除数是5的除法算式的被除数呈现连续递增的规律，然后，分组让学生举出除数分别6、7、8的除法算式，通过口算出这些算式的结果，从余数周期变化的规律（即除数是5的余数会从1、2、3、4、0（没有余数）、1、2、3、4、0……的变化规律）中，明白“余数要比除数小”的道理。瞿老师的课，在“有余数除法”的意义学习中通过操作初步感知了“余数比小除数小”后，结合着“摆一摆、圈一圈、填一填”的巩固练习，顺势拓展，引导学生想，假如苹果数逐步增加为10个、11个、12个，并继续圈一圈、填一填，通过对直观图的观察，比较每道有余数除法的算式和余数的大小，并结合事理说明原因，此后，再依次把苹果数增加为14、15、16个……，通过快速抢答“余数是多少”的练习，引导学生思考发现，余数变化的规律，从而理解“余数比除数小”的道理。
尤其值得一提的是，周老师的课结合着“有余数除法”的意义建构过程，还强调了“有余数除法”的算理。她在指导学生用算式表示“有余数除法”时采用“10÷3＝3……1”的方式，让学生明白“9”指分掉的9个，可以用“3×3”计算得出，这既可以指导学生口算有余数除法，又把操作和竖式计算联系起来，帮助学生理解有余数除法的竖式计算的算理，知道竖式计算中“9”和“1”是怎么算出来的。
尽管两位老师侧重点有所不同，“余数比除数小”道理的教学展开方式也不同，但是两节课都适当调整教材原有课时内容，从“有余数除法的含义、竖式计算算理、余数比除数小的道理”三方面整体架构“有余数除法”的知识结构，有利于学生自主建构，整体认识和把握“有余数除法”。
综观全课，两节课虽然有着相同的设计依据和相似的思维策略，但两位老师行课的风格截然不同。周老师的课相对理性，对学生的思维要求较高，如果对学生数学化的思维、表达能力能坚持长期有序培养，学生的数学素养将会获得良好的发展，相对而言，瞿老师的课趣味性强，善于借助直观，适合低年级儿童的年龄特点。

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教在学生思维“断层”处

作者:常州市教育教研室 潘小福