警惕数学教学中的形式主义

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（一）

从上个世纪５０年代起，我国的数学教育学习前苏联，推崇概念的严谨性和知识的系统性，这对数学教学特别是对数学教师钻研业务产生了长远的、积极的影响。但若强调过分，就容易产生繁琐、雕琢的毛病，进而形成形式主义的倾向。主要表现如：

1.死扣字眼

小学数学的概念较少用符号表，绝大多数采用语言描述。因此，长期以来逐步形成了“咬文嚼字，抓住概念本质属性”的概念教学经验。正确应用这一经验，应当明确：一则，“咬文嚼字”一般处在概念形成过程的后阶段，并且常常需要和观察、析实例（包括正例和反例）等教学活动相结合；二则，并非所有概念都需要咬住个别字词不放。

例如，三角形的认识，教材的描述是：“三角形是三条线段围成的图形”。教学时，再三启发，有学生说三角形是“三条线段组成的图形”、“三条线段搭起来的图形”，就是没有学生想到用“围成”这个词。于是，有教师在引进环节上下工夫，制作了一个课件，用动画表现一只小虫被困在三角形内，左冲突出不去，另一只小虫在开口的图形内进出自如。实践下来，还是没有学生自发地使用“围成”这个词。只有一个学生说到了“三角形是三条线段围起来的图形”。教师仍不满意，又想到了进一步的改进措施，即在引进环节，教师自己先有意识地使用“围成”这个词来描小虫被困的情境，让学生自然而然地接受，然后模仿使用。

我们不禁要问，如此煞费苦心，为的是从学生嘴里说出某个词，是否必要？这里不讨论这种挤牙膏式的启发谈话的是非，仅分析“组成”与“围成”所谓“严谨性”。事实上，用“三条线段组成”或“三条线段围成”来描述三角形，都有漏洞，都能找到反例，见图。因此，认为用“围成”比用“组成”更准确，有如“五十步笑百步”。上面罗列的学生回答，在认识三角形的过程中或者说在学生三角形概念的形成过程中，都不妨认可。

也有人认为比较准确的描述是“三条线段首尾相接而成的图形”。然而，“首尾相接”又是什么意思呢？怎样描述“首尾相接”呢？如此追究下去，一个一看就懂的概念，不就越弄越玄、越弄越复杂了吗？可见，“纯文字叙述是那样容易做到无可挑剔的，它不是教学的重点，要淡化”是颇有见地的主张．

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其实，对于三角之类不作严格刻画也无妨的概念，看图识字地说明一下“……像这样的图形叫做三角”就可以了。愿意说成用三条线段组成或围成的图形，当然也可以。过分在文字描述上花力气雕琢，实在意思不大。正如桌子、椅子这样的概念，人人都明白，人人都能正确识别，但要给出定义却比较困难，即使有了定义，作用也不大。所以，对这类概念的条文，淡化为好。

扣字眼发展至极端的另一种表现是扣标点符号。例如，为了训练学生的审题能力，除了给出“一句之别”、“一字之差”的题组练习之外，还设计了“一号之异”的对比题供学生辨析：

修900米公路，前10天平均每天修50米，剩下的5天修完，平均每天修多少米？

修900米公路，前10天平均每天修50米，剩下的5天修完。平均每天修多少米？

该练习的设计意图是，由于逗号改成了句号，使得看似一样的两个问题发生了实质性的变化：前一题求后5天里平均每天修多少米；后一题求前后15天里平均每天修多少米。明明可以说清楚也应该说清楚的地方，故意含糊其词，这种训练，即便有效果，也实在是难为了学生。

话又要说回来，反对死扣字眼，并不是不要关注叙述，而是“适可而止”、“宽容以待”，既注意考虑严格叙述的必要性和实际效果，同时以宽容的心态去评价、去鼓励学生用自己的语言说出对概念实质的领悟。

还需指出，主张“淡化纯文字叙述”的目的是“注重实质”②，而不是推崇教学内容叙述的“卡通化”。近年来新编的数学教材似乎有一种“卡通化”的趋势。它增加了教材的亲和力，受到了儿童的欢迎，这在小学低年级是必要的，因为好的插图还具有帮助缺乏阅读能力的儿童更好地感知问题情境的功能。但一味发展下去，同样有可能“物极必反”。学习数学需要一定的数学阅读能力，这在课堂上主要*阅读数学教材来培养。恐怕谁也不希望我们的数学教材成为养成“卡通化一代”的读物。香港的一些中小学正在开展一场“阅读运动”，就是为了拯救沉迷于卡通读物的新一代。这是我们可以引以为鉴的。

2.钻牛角尖

在应教育处主导地位的年代里，数学教学曾一度追求“讲深讲透”。后来，对认知与教学的阶段性、发展性有了更深刻的认识，意识到“讲深讲透”既无必要，也不可能，但分析教学内容钻牛角尖的倾向却延续了下来。

例如，曾见过这样一道选择题：

白兔只数－（　　）＝白兔比黑兔多的只数

A.白兔只数B.黑兔只数

C.和黑兔同样多的白兔只数

标准答案是C。为什么不能选B，理由是“怎么可从白兔里去掉黑兔呢？”对此，目前有一部分教师已能之一笑，但仍有部分教师认为，要讲算理就得这么讲。岂不知既然是“只数”，就不必计较是白、是黑。再说算理本就是人为的解释，何必只认一条死理，作茧自缚呢？

又如，在一节教学分解质因数的新授课上，教师安排的练习几乎都是围绕着分解质因数的形式做文。如，判断题：

把12分解质因数，下面哪些算式是正确的。（学生读题时教师提醒，这里的“正确”含书写规范）

（1）123×4　（　　）

（2）12＝1×2×2×3　　（　　）

（3）2×2×3＝12　（　  ）

（4）12＝2×2×3（　　 ）

（5）12＝3×2×2　（　　）其中（3）、（4）、（5）式并无实质区别，但学生判断只有（4）式正确，教师认可。理由是必须从左往右看，从小到大列。课后与教师有段对话。

笔者：为什么要学习分解质因数？

教师：是不是为学习短除法打基础？

笔者：还有呢？

教师：推导求最大公约数和求最小公倍数时要用到分解质因数。

笔者：在这节课中能不能让学生初步感知分解质因数的作用呢？

教师：不知道。

笔者：一个数，比如24，分解因数有几种可能？

教师：有多种。

笔者：分解质因数呢？

教师：如果交换位置不算，就只有一种。

笔者：质因数乘积的组合可以唯一确定一个数，这就是算术基本定理的主要内容。能通俗地渗透在这节课中吗？

教师：能的，不过从没想到，好像教参上也没讲起。

本案例所揭示的是教学同一课题时较为普遍的现象，说专注数学的形式而忽视数学实质，恐怕不为过。毕竟“从左往右看”、“从小到大写”等规定都是次要的，取消这些规定也未尝不可。而分解质因数的意义、作用，尽管只是初步的感性认识，也是更为本质的认知对。

还有不少无关宏旨的细节问题，如：“几份”、“几个”中的“几”是否包括1？三角形的高是一条线段还是一个长度？“x÷4＝3……1”是不是程？等等，往往令教师陷入无谓的争论，徒费精力。以“x÷4＝3……1”是不是方程为例，是与非，双方都摆了一些论据，谁也说服不了谁。要是换个角度思考，这样的方程有存在的必要，或者说有出现的必要吗？如果把它改写成x÷4＝3.25或（x-1）4=3，问题就不复存在。为什么偏要在学生学习小数、分数之前，采用小学特有的表示方法写出这样的方程去为难学生呢？如果为了考察学生能否运用有余数除法各部分之间的关系进行解题，完全可以采用别的形式，以免出现歧义。

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作为数学教师，最忌讳、最难堪的是被人指出犯有“科学性错误”。从笔者长期参加听课、评课活动的经历来看，被提升到科学性高度来谈的问题，确有一些是违背了数学规律或逻辑规则的错误，但更多的属于扣字眼、钻牛角尖的问题，属于对自然教学语言的挑剔。后一类批评一再耳闻目睹的结果，迫使教师谨小慎微，听任生动活泼的数学思维被字斟句酌的语言所压抑或篡改。

剖析上述种种形式主义现象的共同实质，从教学论的层面上来认识，就是片面理解科学性原则，过分追求严谨、严密，从而脱离了学生的认知实际，对教与学产生误导，师生的注意力都集中在吹毛求疵上，势必影响对概念本质的揭示与理解，冲淡数学思想方法的渗透与感悟。

再进一步，从哲学的层面上来认识，就涉及到数学概念与数学思维对象的关系。后者是客观的、实质的，前者是主观的、人为的、可变的。正如自然数，过去定义从1开始，现在定义从0开始，都是合理的。不论如何改变定义，思维的对象“有”与“无”、“1个”、“2个”……不会随着概念条文的改变而改变。所以，重要的是把握数学的对象，理解数学的实质，不必把概念，特别是概念的条文看得那么“神圣不可侵犯”。③有此认识，就不难理解弗赖登塔尔关于数学概念教学的两个问题：我们应当更为关注的究竟“是概念，还是思维对象？”“是概念的获得，还是思维对象的构成（通过心理操作）？”④这两个问题的内涵，可能会令人感觉过于深刻，难以落实，但领会其思想，对于我们认清概念教学的重点，恰如其分地把握概念的教学尺度，是颇为有益的。

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（二）

练习是一种有目的、有组织、有指导的学习活动，是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的手段。尤其是在数学教学中，它具有不可或缺的重要地位。尽管如此，练习毕竟只是教学的一种手段。如果本末倒置，把手段当作目的来追求，势必导致形式主义，使练习的功效发生变异。这里着重讨论下列两种现象。

1.过多人为约定

例如，看图列式计算：（略）

没教过小学低年级数学的同志不一定知道左图应列出加法算式，右图应列出减法算式。原来，这是约定：实线表示合并（加），虚线表示去掉（减）。试问：这样的约定对儿童理解加、减运算的含义能有多大帮助？类似地，必须理解为“减法”的常见约定还有：划上斜线，标上箭头（如下图），等等。面对诸如此类层出不穷的约定，很多家长（其中不乏数学教师）惟有虚心请教：老师，这道题什么意思？那道题怎样回答才符合要求？也难怪有家长想不通：孩子进小学前20以内的加减法都会算了，怎么一学期下来还有这么多地方弄不懂？

正如本文开头指出的，这样的现象由来已久，以致教师麻木了，见怪不怪了。现在再去考查这些规定是怎样约定俗成的已经没有多大意义，重要的是行动！是改革！练习离不开形式，但若脱离了内容，形式就只剩下虚壳了。难道离开了这些徒有其表的练习形式，儿童就学不好计算，学不会应用？难道我们还能继续熟视无睹，听任一届又一届的小学生继续接受相应的训练，去熟悉这些约定，去适应这些形式？看来，新一轮课程改革确立“让课程适应学生，而不是让学生适应课程”的观念，大有必要。

2.盲目追求新意

为了提高课堂练习的效果，练习形式不能一成不变。适当花样翻新，有助于引起学生的练习兴趣。比，采用“开火车”的方式练习口算，采用次数一多，学生感到乏味。于是，教师变“竖着开”为“横着开”、“斜着开”、“拐弯开”，学生的注意力一次又一次地集中了。但有时，教师设计的游戏不仅规则比较复杂，需要同学相互配合，而且边游戏、边练习，嘴里还要念上大段儿歌。这种需要反复排练的练习形式，如果一再花样翻新，课堂教学的效率就会大打折扣，得偿失。

更值得商榷的是某些具有“新意”的习题。如：

小明家养了8只母鸡，2只公鸡，一星期里一共生了40个蛋。平均每只鸡生了多少个蛋？

这又是一道可以说清楚，也应该说清楚，却故意模棱两可的应用题。本来，任何一个具体的平均数，都有源于某种统计、研究等方面需要的具体界定。据命题者陈述：本题旨在查学生联系实际的应用能力。可是不少学生想到了公鸡不下蛋，由于注意到问题是求“每只鸡生了多少个蛋”，所列式为“40÷（8+2）”。当被告知命题意图时，学生大呼上当，且“愤愤不平”。是啊，要让城市里的孩子在做题时想到统计母鸡一周平均下蛋量的种种可能的实际意义，并据此作出判断，也确实勉为其难了。

在小学数学教学中，类似的令学生不得不揣摩命题者意图，又常常捉摸不透的题目，时有所见。众所周知，数学是确定的，数学的陈述可以跨地域、跨民族，但现在为学习数学而解题，却要揣摩命题的意图、某人的喜好，岂非怪事。考虑到教学的教育性、养成性，似乎还有必要指出：由于种种原因，我们的学生正在从小学习察言观色、投其所好，数学教学是不是应该在这方面保留一方净土？

再看两道值得商榷的习题。

下面哪个数与众不同？

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2，4，6，7，10

下面哪个算式与众不同？

2+3，5+7，6+8，9-0，10-2

在教师的启发下，学生的回答五花八门，一言以蔽之：每个数、每个算式都能与众不同。而且还有学生找到了某种模式，如：只有4是2的2倍，所以4与众不同；只有6是2的3倍、只有7比2大5、只有10比2大8，所以6、7、10也分别与众不同。由于是接连听两节课上各出现了一题，并且都与新授内容无关，因此强化了刺激，触发笔者的反思。开放题具有很多优点（参见本刊近年来的有关文章）。两位教师之所以不约而同安排了同类练习，就是认为，这是目前比较新颖的题型，经常练习有利于发展学生思维的发散性，培养创新意识。但引进开放题不应流于形式，脱离教学内容盲目“开放”。如果将“开放性”蜕变为“随意性”，那就与数学的精神背道而驰了。对此，日本学者岛田茂早在1977年出版的《开放式途径：关于数学教学的一个新建议》一书中就曾明确指出：“我们必须注意到另一种危险，即是过分的开放以致认为任何一种解答都是可以接受的。”⑤设计、使用开放题时应当防止陷入这一误区。

看来，正确贯彻数学教学的科学性原则，既要克服吹毛求疵，过分追求严谨、严密的倾向，又要防止似是而非，将非数学的东西当作数学来教的现象。而注重数学的实质，则是纠正两种偏向共同的良方。

（三）

刻意节外生枝，摒弃削枝强干

综观我国数学课程改革的发展轨迹，课程内容有精简、有增加，大体持平。但教学的课时数不断减少，课程目标的内涵不断丰富，在某种意义上构成了一对矛盾。再者，要落实新的课程目标，不能像过去那样，把每一课时的教学内容安排得那么紧凑，那么整齐划一。课程需要弹性，教学呼唤个性，没有个性的教学怎能培养有个性的学生？鉴此，明智的选择、可取的策略就是“削枝强干”。遗憾的是，刻意节外生枝的现象屡见不鲜。

例如，在数轴上做加法、减法（图略），起初是一种辅助练习，兼有渗透“序数”思想的意图。由于有一定难度，学生容易出错，于是将其作为新授内容，加法一例，减法一例。连锁反应，教师把它列入考试范围，考试又自然引起应试。

一天，在上班的公共汽车上，偶见一位母亲正在叮咛儿子：这次测验，如果再有带箭头的加减法，可别数错了，记住梆用手指去点，用铅笔尖去点；箭头尾那点不数，下一点开始数1……

我们的数学教育怎么了？用铅笔尖点刻度，注意排除起点刻度，都成了解数学题的诀窍。这还是数学吗？是家长的错？这位母亲的辅导，她的矫正措施，基于对个体的学法研究，具体、针对性强，笔者自愧不如。说给有经验的教师听，不以为然，原来他们有更高明的办法。是不是应该反思，教师的聪明才智用在何处才有价值？在小学，特别是低年级，类似这样为训练学生掌握某种练习形式，耗费可观的时间和精力，孜孜以求的现象已非个别。

又如，百以内的加减法，通常安排两步计算的内容。口算、笔算都学了，运算顺序无非是从左到右依次计算，学生也会了，再学什么呢？首先学习计算竖式的书写，以39+16+28=？为例，有三种书写形式（略）

其次学习计算方式的选择，有四种情况：

（1）第一步可以口算，如：23+15－２7；

（2）第二步可以口算，如：27+15－２1；

（3）两步都可以口算，如：23+15+41；

（4）两步都要笔算，如：２７＋１５－２８。

如此展开，一一交代，反复练习，无疑能使计算熟练，但选择口算或笔算，还是因人而异为好。事实上，口算能力强的学生，百以内的加减，一概口算也没问题。况且这里的两步算式只书写一个等号与最后得数，一再强化，反给后面学习递等式计算带来了负迁移。这样的内容即便彻底删去，与后继学习也并无大碍。一旦内容成了形式的奴仆，内容也就可有可无了。

以上，着重针对小学数学教学内容及其处理、练习设计与使用等方面的形式主义作了一些剖析。限于篇幅，教学过程与方法方面的某些现象就不再讨论。

最后申明一点，本文无意贬低形式，因为好的内容需要适当的甚至新的形式来表现，更不是不要形式，因为不存在脱离形式的内容。本文的目的是为了纠正过分追求形式而忽视实质，让内容为形式服务的本末倒置倾向，是为了数学教学的返朴归真和务本求实。