小学数学空间与图形教学研究报告

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小学数学中空间与图形领域的教学较之过去有了较大的改革，改革过去只重简单的几何事实的传授和偏重于计算的格局。现在新课程强调要着眼于学生空间观念的培养和生成，大量增加了几何教学的内容。依据这些变化，新教材也作出了较大的调整。面对这一领域的变化，如何更科学地实施教学，真正达到新课标所提出的要求，我们近几年开始围绕这一问题作了一些研究，在研究与实践的过程中，我们始终以学习与思考拓展认识视野，以把握和理解苏教版新教材为依托，以案例研究为抓手，取得了一些进展。

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一、拓展了认识视野。

只有在观念和思想上对要把握的项目有更深入的认识，才能使行动更科学和自觉，也才能居高临下地去辨别实践中的得失、正误。我们在研究中主要是拓展了三个方面的认识。

1．学生数学素质中算术思维与几何思维两者不可偏废。

数学是对现实世界中数量关系和空间形式的把握，现实既在一定的数量中，也是一定的空间中，这两者是统一的整体。在认识现实世界的过程中，数量和空间同等重要，相辅相成。在《数学思维教学论》第二章数学家对数学的理解中多次提到几何的重要性：“几何直观是领悟数学最有效的渠道。”（阿提雅）、“几何学直观：对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考；这里抽象的东西，不仅仅指几何中抽象的东西，而是指整个数学中抽象的东西；几何直观不只是将抽象的东西画出来，还要利用画出来的画去思考。”（阿提雅）、“几何图形是一种数学符号，是直观空间帮助记忆的符号，几何思维与算术思维是相一致的，数、形不能割裂。”（希尔伯特）、“由日常思维过渡到形式思维，中间最自然的是通过几何思维了。”（托姆）、“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握问题的实质。”（张广厚）数学家在学习数学与研究数学中的这些切身体会使我们认识到几何思维、几何直观、几何想象在数学的重要性，使我们看到了数、形是不可偏废，也是不可脱离的两个重要范畴。所以学生在数学启蒙阶段的学习中这两者要同时并进，不然学生的数学思维就很能得到提升。

2．小学几何是学生学习较复杂数学的重要基础。

学生在初中学习数轴、平面几何，高中学习立体几何、解析几何和三角函数等数学内容，非常重要的基础在小学。这些高一级知识，不仅要求学生有一种基础性的几何知识，更是要有清晰的空间观念。例如平面几何中的添辅助线，非常重要的要有一种对图形的切拼构造能力和图形的对称、旋转和平移的几何变换能力。日本数学家小平邦彦回顾自己学习平面几何时认为“几何直观能力是发现辅助线的能力；为了证明而添的辅助线是对（大脑）右半球最好的训练，为了画辅助线，要看图形的整个图象才能综合地作出判断”。立体几何中研究线与线、面与面的关系，线与面、线、面与体等的关系，非常重要的要有一种想象的能力，想象出立体中的平面和直线，而且要直觉地把握它们之间的关系，进而才有逻辑地理解。解析几何中关于位置以及位置间的关系是基于空间中的基本位置，当然它们之间的关系与运动轨迹又要用到代数的方法去表达，所以说解析几何较好地揉合了代数与几何，使代数几何化与几何代数化。学生要学习和掌握这些复杂的几何知识，需要丰富的空间观念。只有在空间观念的引领下，在空间直觉中，复杂才可以归结为简单。这种能力一方面当然主要是在学习这些知识的过程中生成的，但另一方面也要依赖于学生在小学幼儿园阶段的空间与几何的经验、感觉的积累，如果在少儿阶段不积累这些空间感觉和经验，到后来这种感觉就失去了，到要用这种感觉时就困难了。就像施那普拉在离任中国足球队主教练时对中国足球发展的建言中提到的那样：中国足球队员缺少踢球感觉，这些感觉本应在少儿时期于街道、弄堂里就要完成的，而现在要到专业训练时再来寻找，这就困难了。没有这种类似于直觉的引领，球队水平就很难提高，也就是没有练好“童子功”。其实所有的学习都是如此，空间与图形也不例外。

3．空间观念是学生构建知识大厦的重要工具。

数学是把握现实的一种工具，也是学习其他知识的一种工具。多样化的世界有多样化的把握方式，有科学的、历史的、地理的、美术的等等，在这些把握世界的方式中数学是一块重要的基石，其中的空间知识与观念是这块基石中的重要组成部分。例如科学中许多知识几乎都涉及到空间和图形，物质结构和形状、空间视线的范围、物体运动的轨迹、机械的制图、零件的设计等等都与几何有关；历史地理中到处都有位置、方向与关系的内容；艺术中的造型、构图无不与空间相关。可以说人类的一切认识与创造都与空间相关，特别是与人的空间想象与空间推理相关，所以说空间能力是理解与把握一切知识的基础中的基础。

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二、推动了学习思考。

我们对空间与图形的教学的理解，不象对问题解决教学的理解那么系统。问题解决教学在已有的数学教学中就积累了丰富的经验体系，再加上新课程改革中的一些变化，促使我们比较多地自觉或不自觉地进行着比较，并且在比较过程中去辨析、实践与反思，由此逐步形成了一些共识。而空间与图形领域的教学，以前涉及的较少，新课程倡导的很多内容是以前很少接触的，也很少去思考怎么教学的，可以说是一个崭新的领域，是在“摸着石头过河”。那么怎样按照其内在的规律进行教学，我们在实践研究中进行了一些思考。

1．空间观念是各方面整体协调的结果。

空间观念是对现实中的物体和几何体的形状、大小、位置关系及其变换的整体把握，它不是单方面的结果。从现实中的物体和几何体出发，就会涉及把现实空间中的经验迁移到几何空间中，以此把握几何空间，再用在几何空间中抽象而成的特征、性质来解释现实空间、解决现实空间中的问题，在这样抽象、还原的过程中空间观念才能建立。从几何体与平面图形之间的关系出发，就会涉及到平面从几何体上剥离下来的；如何剥离，就又涉及到视图，从各个不同的方向观察。反过来怎样从平面图形出发想象出它所附着的几何体，二维与三维之间的回来转换中空间观念有可能生发。从方向与位置出发，就会涉及到距离和角度，涉及到前后左右上下、东南西北以及关于垂直与水平方向组成的座标；会涉及到有关变换，平移、旋转与对称，以及这些变换过程中的变化部分与不变部分等等，由此就形成了一条知识链。从形状与大小出发，就会涉及到对几何体的特征、性质与测量等等。只有以上这些都能够协调起来，而且各方面之间有一种内在的逻辑联系，由此组合成一个整体，空间观念才能真正得以确立。

2．儿童空间观念的形成有其特定的认知特点。

在开展这个课题研究过程中，我们还注意去学习学生形成空间观念的认知和思维方面的规律。这方面皮亚杰和刘范的研究给了我们一个思考的源泉。我们主要是学习了美国学者R·W·柯普兰的《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》这本书中关于空间与图形的15～20章，其中涉及儿童是怎样开始认识空间的、从拓朴到欧氏几何、一维测量、利用垂直轴和水平轴构造空间、二维和三维的测量、射影几何。从中我们获得了这样一些认识：（1）儿童在几何方面的发展顺序似乎正好同历史上发现（几何）的顺序相反——儿童对周围世界的认识是通过空间中的运动生成的，如儿童接触一个物体时，用手指和手把物体翻转并沿着物体的轮廓移动等动作，儿童才开始明白他周围世界的真实面貌；儿童头脑的工作不象一只照相机拍照片那样，摄下的形象就能成为头脑里的一个“印象”，有时在头脑中构成的东西并非象真实的物体那样。（2）儿童动作性的活动对于他理解空间思想具有无比巨大的重要性——儿童空间观念的演化是在两个不同的水平上进行的，知觉水平（即通过触与视的感性学习）和思维与想象水平，而且对两个水平不是像人们想象的是从前一个水平到后一个水平，而且沿着各自本身的途径发展，教学中要注意把这两者的发展协调起来；表象的形成中不是一个照相的过程，而是一个思考和抽象的过程；儿童辨别几何图形的形状是通过儿童对物体施加的物理动作，这里的动作是手指必须沿着物体轮廓的运动，而且这种运动必须是协调与可逆的，这样形状才能被抽象出来。（3）在物体的“长度”被作为一个观念守恒以前，测量是无意义的；不能单纯地告诉儿童怎样测量，而应当为他们提供一些材料，让他们进行试验，自己解决测量问题。（4）恰恰正是抽象运算的发展（十一到十三岁），才能使儿童理解他在学校里学习的地图和坐标轴……这是个人得出的概念与形式学习所得的概念的结合；只有当儿童能够假想出抽象的坐标轴如垂直轴和水平轴，并把它作为确立周围物体相对位置的一种手段后，他才开始表象空间。（5）透视是在儿童心理发展的相当晚的阶段才开始出现的；儿童知觉往往被自我中心所支配，他们不能从其它不同的视点来考虑。

同样，我国的心理学家刘范、张增杰等在《儿童认知发展与教育》中也对空间、几何有过系统的研究，研究了儿童掌握面积等分概念的问题，长度概念的发展，掌握容积和体积概念的规律，对几何图形的认识。通过研究也得出一些有启示性的结论。其中对儿童几何发展的路径作出了分析，“儿童是先认识一个笼统的三维空间、整体，再分别认识其中的二维、一维空间，或者部分；在已获得了有关概念时，再理解在构成上部分到整体，由一维到二维、三维的关系。后者是前者在高一级认知水平上的逆转”；对感知与概念、感知与推理之间的矛盾作了分析，其本质是“守恒”，提出了概念守恒与多样的两个属性，并由此联系到变式问题等等。

当然这些心理学家的研究由于其时代、背景的不同会与现在的情形有所不同，但基本的认识与理解是基于科学研究的结果。这些结论是教学背后的原理和依据，只有理解与把握了这些，我们才能更好地组织小学空间与图形的教学，才能使教学走上科学化的道路。

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三、促进了对教材的理解。

我们的课题研究主要是以把握与理解苏教版教材来展开的。教材是专家依据课程标准的要求，以开阔的视野，结合教学现实，按照学生的心理特点的创造。它是一个全息系统，蕴含着空间与图形教学的所有信息，我们在学习和实践中逐步形成了这样几个方面认识。

1．整体推进，线索清晰。

苏教版教材的整体框架是依据空间与图形的四个方面有序地展开，每个学年、每个学期都有机安排，整体上是螺旋式上升，让学生对几何事实和空间观念有一个逐步深入的过程。我们觉得总体而言是围绕两条大的线索：一条是以图形的空间关系研究为线索，主要是研究空间的三个方面：（1）现实空间和几何空间之间的关系。几何空间源于现实空间，是现实空间的抽象，可以说没有现实空间为依托，抽象的几何空间模型是很难建立的，同时在几何空间中获得的认识只有再回到现实中去进一步认识、把握现实空间，解决现实问题，才能使抽象空间与现实空间融为一体，推动学生空间观念的生成。（2）体与体、面与面、线与线之间的关系。它们之间的关系就产生了位置、方位与变换，就产生了平行、垂直与角，就有各种不同的拼搭与组合。对这些关系的把握，学生就能认识图形之间的各种相互关联和依存，把握其中的各种稳定与变化，由此内化成关于空间的若干结构，这是空间观念。（3）体与面、面与线、体与线之间的关系，这些关系的形成依赖于视线与投影、分解与分析、想象与推理，在这些关系的探求就会有三维、二维和一维图形之间的相互转化，这种转化越多、越灵活，空间观念的生成就越迅速与牢固。另一条是以数量关系研究为线索，也主要体现在三个方面：（1）用一维长度研究图形中线段的长短，图形之间的距离；（2）用二维面积来把握图形的大小；（3）用三维体积来研究图形占据空间的多少。以上两条线索不是分离的，而是融合的，因为研究空间与图形既要从关系出发，又要从数呈出发，这样两者相互促进，才能促使空间观念的有效生成。

2．知识序、认知序、教学序三序合一。

苏教版教材按照“作为教学任务的数学”的要求，清晰地展开科学知识发展的序列，学生认知发展的序列和教师教学的序列，而且这三个序列有机地组合在一起，使知识按逻辑关系呈现，同时符合和促进着学生的认知发展，而且充分展现教学过程，真正做到了便教利学。科学知识按逻辑关系呈现，如观察物体从简单的实物→较复杂的实物、简单的几何体→复杂的几何体，在复杂的几何体中也是从二个、三个到四个、五个，从拼在一起的到分开摆放的，这其中就有一个逻辑的链条；如平面图形的周长与面积从一般图形到规则图形，从长、正方形到平行四边形、三角形和梯形，脉胳清晰等等。符合和促进学生认知发展，如认识每一个图形都注意从现实生活中剥离出来，并通过抽象模型后又回到现实空间之中；每认识一个图形都注意从“看”几何到“做”几何；每认识一个图形都注意让学生在运动中接触多种变式，丰富表象，激发想象；每认识一个图形都注意让学生进行必要的思辩和推理。

在这一系列的过程中，让学生经历着通过观察获得直观感知，通过操作丰富表象和体验，通过变化中想象多种可能，最后再上升到简单的空间思考和推理。由此，促进学生空间认知的发展。同时重视改善学生的学习方式，让学生在自主合作探究中去摸一摸、搭一搭、量一量、辩一辩、说一说，充分展开学生的自我建构，重视知识的发生与发展的过程，使教学过程真正成为学生的“亚研究”、“类创造”的过程。

3．综合、渗透与开放、拓展。

苏教版教材在编写中非常注重综合与渗透。例如在一年级“我们认识的数”这个综合实践活动中的第二部分“数一数”中要求学生抓一把糖、花生米数一数大约有多少粒，然后要求学生抓一把黄豆，估计一下大约有多少粒，在这个过程中不仅让学生认识数，也让学生在估算中感受空间观念。按照北师大董奇教授的研究估算所涉及的脑科学基础是基于对空间的把握，例如要估计一下大会议室里座了多少人，只要先数其中的一个部分有多少人，再看看整个会场中大致有几个这样的部分，就可以估计出有多少人了，这中间就涉及到一个空间的关系和数量。这样的内容就把数与代数和空间与图形领域的相关内容揉合在一起，使学生既有数量的理解，又有空间的把握和发展。再如在低年级的认识基本的规则图形时，是从长、正方形出发，再通过把长、正方形分割成若干三角形，再由这些三角形通过拼搭形成平行四边形和梯形，这样的设计既渗透了面积守恒的观念，又渗透了拼搭中相等边的理解，这些拼配对以后学习对称、旋转、图形面积的推导都是一个基础。还有如在认识三角形，特别是等腰等边三角形时，让学生用一张正方形纸折出一个等边三角形，这不仅是一种实际操作，更可引发学生的平面逻辑推理，而且这种推理还相当重复，要用到图形对称、正方形的特征和边与边的互换。综合产生集聚效应，生成突变；渗透能使认识达到透彻和深入。这样的设计安排，就有可能使学生生成的知识是“一个带钩的原子”，由此形成坚固的知识结构，产生组合质变。

苏教版教材也非常注重开放、拓展。例如在四年级的观察图形中，在原有的四个立方体图的基础上再添一个正方体，要求从正面看形状不变，应该怎么摆？这是一个开放的问题，答案是多样的，教材提供了四种典型摆法，而且提示还可以怎样摆，在这个开放的问题中不仅要求学生有思考的次序，而且要求学生有空间的推理，特别是要用到“如果……那么……”这种假设条件、想象验证的推理方式；在试一试中还要求学生进行变式，从上面看形状不变，可以怎么摆？从侧面看形状不变，可以怎么摆？在这种开放性的操作、想象、推理中学生的空间观念会得到质的飞跃。再如在三角形面积公式推导后，教材还提供了《九章算术》中三角形面积的计算方法，拓展了学生的文化和思维视野。学生在这种拓展中进行着知识的比较、整合，同时受到数学思想方法的熏陶，其知识视野和思考境界就能得到提升。

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四、提升了对经验的总结。

围绕空间与图形领域的教学内容，我们进行了有主题、有实践、有反思的案例研究，通过课堂这个充满创造的教学领域，获得了一些认识。

1．空间与图形的学习应该在活动中建构。

例如在教学东南西北时，学生要掌握这四个方位之间的结构：东与西相对，南与北相对；东南西北是依顺时针方向旋转的。这个原理光靠讲解是没用的，我们就把学生带到操场上，让学生在现实空间环境中通过活动来体验这四个方位的内在结构。特别是让学生探究当一个方向确定后，如何来辨别其他三个方向，以此体验顺时针以及方位的顺序。再如在教学三角形“任意两边之和大于第三边”这条原理时，我们按照教材的要求分两个层次教学：先是让学生从五根小棒中任意抓三根围一围，让学生直观感知到有些是可以围成的，有些是围不成的，同时使学生产生一种空间直觉，当两条较短的边合起来小于最长边是围不成的，当两条较短的边合起来大于最长边是可以围成的；接着让学生边围边有序地记录每根小棒的长度，并对此进行必要的分类；最后让学生在空间直觉引领下形成的三边关系几何模型和基于数据寻找三边关系的代数模型这两者的相互作用中抽象出三角形三边之间的关系。从以上两个片断中我们可以看出，只有在操作与实践活动的探究中才能把握几何空间特征和性质的实质，也就是把握空间既要有活动，又要有思考。

2．动态表象能引发学生的空间想象。

例如在圆的认识教学中，通过研究动态的圆来把握实质，其中有两个环节：环节一是让学生用图形纸片研究半径和直径有无数条，并且在同一个圆中所有的半径与直径都相等。在把圆形纸片反复对折的过程中让学生想象会折出多少条半径和直径，有些学生想象成有无数条，有些学生进而认为半径的条数应该是直径条数的两倍，这当然涉及到无限与有限的概念，可见动态研究能引发学生的思考；环节二是把两个小球分别系在一根绳上和一根橡皮筋上，通过不断加速的转动让学生想象，小球划出的图形是什么形状的，为什么一个是圆，一个不是圆，由此引导学生体验圆的本质特征：到定点的距离等于是长的点的轨迹。再如在第一学段教学平移时，引导学生闭着眼睛想象当金鱼的嘴向前移动一格，这条金鱼也向前移动了一格；嘴再向前移动一格，金鱼也向前移动一格，在这样的想象过程中，使学生把部分与整体在平移运动中融合起来，只有达到这样的认识，由点的移动距离来确立物体的移动距离才能得以内化。又如在研究三角形“两边之和大于第三边”时，设计了一组运动的拼搭游戏，三条线段，两条是分开的，让学生想象能否围成一个三角形；再进行变化，把其中一条缩短，能否围成三角形；再把缩短的一条增长，能否围成三角形，第三种情况两条短边之和正好等于第三边时也不能围成三角形，这时让学生展开想象，如果其中一条短边增长一点点，你很难想象到的一点点，你说这时能否围成三角形，让学生在这样的想象中构筑自己的心理图像，由此进一步理解这一原理。这三个案例中都用到了动态的想象，这种想象中不仅包含着图形的变化，更加蕴含着一种数学思考。按照皮亚杰的研究，动态表象是学生数理——逻辑经验生成的源泉，静态表象只能产生物理经验，而空间观念不仅仅是一种印象，更是一种思考，是一种逻辑，是一种内在的把握，所以说几何动态是几何观念形成的源泉。

3．知识是过程与结果的双重建构。

新课程强调学生在学习过程中的感受与体验。所以在编写中为了加强教学的探究性，很多地方都只是展示了知识生成和教学活动的过程，对基本的几何知识和概念都不直接出示。那么，一个章节、一节课的教学究竟要达到什么目标，要总结到什么程度，我们在实践中作了一些探索，也走过了一些弯路。例如我校有一位年轻教师上面积和面积单位这一课时，提供了大量资源和素材让学生围绕物体表面和平面图形，通过看一看、摸一摸、画一画、想一想、比一比把握其大小，应该说学生的活动和体验也较丰富。课后凌老师给我们评课时也充分肯定了这一点，但同时提出了一个建议：是否在学生大量生动的实践活动和感受体验的基础上，引导学生进行必要的抽象和概括，提升到物体表面和平面图形的大小叫面积。这样既有丰富的过程，又有基本的抽象，过程与结果之间相互作用，使学生的理解既稳定又开放，既抽象又具象，由此所形成的认知结构也更有张力。

在案例研究中我们还思考了一些诸如通过空间记忆丰富表象，由此产生组合和联想，最终才能达到想象；空间中既有逻辑推理，更有直观推理和似真推理；解决实际问题、设计现实作品能使学生领悟到空间中的各种关系等等。

以上是几年来对这一课题研究中的一些认识和体会，随着研究的深入，越来越感到这些认识的肤浅，越来越感到研究的难度，也越来越感到研究的必要。