数学素养：数学教师的根基──访江苏省特级教师丁宜林

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丁宜林，男，1957年生，本科学历，中学高级教师，江苏省特级教师。现任泰州实验学校副校长。曾获江苏省优秀教育工作者，江苏省先进工作者，泰州市首批学科带头人，泰州市有突出贡献的中青年专家等荣誉称号。在全国各级教育报刊、杂志上发表论文60余篇。主持国家级、省级研究课题多项，其中一项获省级课题研究成果二等奖。

记者：丁老师，您好！课程改革已经进入第七个年头，各科教育教学出现了前所未有的可喜局面。然而，前进的道路并非一帆风顺，就数学教学而言，还有许多问题并未真正得到解决。您认为制约小学数学教育发展的主要因素是什么？

  丁老师：实施课程改革以来，教师的教育观念、教学方式，学生的学习方式、情感态度都发生了很大的变化，数学教学朝着更加科学、理性的方向转变，教学效果逐步优化。毫无疑问，教师的素质决定着课程改革的最终结果。从实践层面看，有一些小学数学教师，由于师范教育课程结构的缺陷，以及缺少对新知识、新信息的主动学习和汲取，很难站在一个新的高度来把握当前的数学教育。因此，我认为当前制约数学教育发展的主要因素是一些教师没有深厚的数学素养，对数学和数学教育缺乏整体的认识，在数学知识、数学技能、数学思想等方面都存在不足。时代呼唤我们：数学教育不能只为知识而教，而应该为素质发展而教。数学教师首先要不断提高自身的数学素养，同时努力关注学生数学素养的形成和发展，为学生的终身发展奠基。

  记者：您刚才提到，部分教师数学素养的缺失制约了数学教育的改革与发展。能结合教例具体说说吗？您觉得教师该怎样提高自身的数学素养？

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丁老师：客观地说，这样的例子在日常教学中还是普遍存在的。比如，一位教师在教学“可能性”的过程中，举了这样的例子让学生感受可能性：我校有一个学生在放学的路上，主动护送生病的老爷爷回家，然后悄悄地离开了。老爷爷只知道他是我们学校五年级的学生。你知道这个学生可能是哪个班的吗？学生有的说：“可能是五（1）班的。”有的说：“可能是五（2）班的。”还有的说：“五年级一共有4个班，每个班都有可能。”这个例子中的“可能”是数学中研究的可能性吗？数学中研究的可能性是针对随机事件而言的，这位教师举的例子是某一个特定的（做好事的）学生可能在五年级哪个班，仔细推敲一下，这个特定的学生在哪一个班其实是确定的事件，只是这个确定的结果我们暂时“不知道”而已，这显然不是随机事件。从这个小例子可以看出，教师在教学中没有将生活化的表达与数学概念的本质区分清楚，因而造成了学生的错误认识。事实上，教材里举的例子是十分恰当的，如“老师明天可能表扬我”。表扬与否是一个随机事件，可能表扬，也可能没有表扬。

类似这样的例子还有一些，如，部分教师常常将数字和数、物体和平面图形混为一谈。这些问题都和教师的数学素养有关系，看似微不足道，但和数学严谨性的特征是相违背的。

  教师提高自身的数学素养，首先要对数学和数学教育有一个宏观的认识，其次要努力充实自身的数学知识、数学技能、数学思想等。数学素养又可以说成数学观念，是指以数学知识为基础、用数学的眼光去观察、用数学的方法去分析和表示各种事物的数量关系、空间位置、数据信息，实现对数学的理解和问题的解决。简单地说，数学素养在认识和分析问题的过程中反映出来，是一种整体的意识，而不是孤立地以某一个数学知识、技能或思想方法表现出来。数学知识、技能和思想方法等是数学素养的主要载体，数学素养与数学知识、技能和思想方法又是相互依存的。作为一种整体的意识，数学素养的内涵又主要表现为量化意识、全局意识、抽象概括意识、逻辑推理意识等。量化意识，主要是指在分析和解决问题时，能定量地进行思考，善于收集、分析数据，作出判断和决策。全局意识，主要是指分析问题时能从整体上加以把握，全方位、多角度地考虑问题。抽象概括意识，主要是指能透过现象看本质，对复杂的事物、现象能有意识地区分主要因素与次要因素，从而抓住问题的关键。逻辑推理意识，主要是指能有条理地分析问题，做到言之有理，落笔有据。这些意识往往又揭示了数学作为一种学科的价值所在。教师应在日常的工作和学习中，努力从数学的角度分析和研究问题，不断增强自身的数学意识。

  这里，我想到一个真实有趣的例子。一次公开课上，教师教学“异分母分数加减法”，新授完成以后，教师让同桌学生互相出一道练习题给对方做。一个调皮的学生给他的同桌出了这样一题：367/3648＋2011/5347。结果班上其他学生都做完后，做这道题的学生还未完成，而且这个学生还是大队长。这种情况的出现是教师始料未及的。怎么办？批评出题的学生调皮，不合适；批评大队长做题慢，也不合理。问题到底出在哪儿？在教师身上。教师的全局意识不强，没有充分考虑每一个学生的情况，考虑问题不周到。如果布置这一任务时，加上限制条件：分子、分母都不要超过20，就不会出现这种尴尬的情况了。

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  数学知识是教师的基本功之一。一般来说，现在教师的学历相对较高，应付小学数学教材中的知识是没有问题的，但是对于教材中新增加的内容，教师仍然有“补课”的必要。上面举的第一个例子就涉及概率的问题，这也是老师们不太熟悉的内容，需要认真加以研究。在教学中，对一些容易忽视的数学知识，教师也应加以重视。比如，教学平行四边形的面积后，一位教师出了这样一题（如图）给学生做，求图中平行四边形的底是多少厘米。

  这道题教师的设计意图非常好，将平行四边形和三角形的面积计算有机结合在一起，具有一定的综合性。但仔细推敲，不难发现其中是有知识性错误的。根据图中的数据，算出底是5×8÷4=10（cm）。可是图中的三角形是直角三角形，得数10与按勾股定理算出的结果是矛盾的。我相信教师是知道勾股定理的，但具体设计问题的时候可能忽视了。

  数学技能是顺利完成某种数学任务的动作或心智活动方式。它通常表现为完成某一数学任务时所必需的一系列动作的协调和活动方式的自动化。这种协调的动作和自动化的活动方式是在已有数学知识经验基础上经过反复练习而形成的。小学阶段的数学技能可分为操作技能和心智技能两种类型。操作技能主要包括测量、画图等技能。操作技能的学习需要经历明确操作程序和步骤、模仿练习、逐步稳定和精确化这样的几个阶段。心智技能指完成数学任务的心智活动能力，包括感知、记忆、思维和想象等心理成分，并且以思维为其主要活动成分。心智技能是在学生学习和运用数学的过程中形成的。原苏联心理学家加里培林认为，心智活动是一个从外部的物质活动到内部心智活动的转化过程，即内化的过程。在这一过程中，教师的引导是十分重要的。

  数学思想方法也是教师数学素养的重要组成部分。许多问题的解决都归结为数学思想方法的运用。小学阶段常用的数学思想方法有化归、数形结合、对应、分类等。化归是解决问题的有效方法，主要将非数学的问题转化成数学问题，将陌生的问题转化成熟悉的问题，将复杂的问题转化成简单的问题。分类是认识概念常用的思想方法，比如，三角形按角分，分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分，分为等腰三角形和不等腰三角形。分类的标准不同，结果也不同。分类必须保持分出的子项互不相容，分类必须相称，分类的标准必须同一。

  记者：正如您所说，教师的数学素养是否丰厚直接决定着学生良好数学素养的形成。数学素养的形成本质上是学生个体对数学的认识和数学价值的认同。这种价值认同怎样落实在教学过程中呢？

  丁老师：学生的数学素养是学生对数学整体的认识，具体体现在对数学知识的理解、数学技能的掌握、数学思想方法的渗透和数学精神的感悟等方面。对数学知识的理解和数学技能的掌握一直是我们的教学很重视的，也积累了很多宝贵的经验，因此我不想多说。想简要谈谈数学思想方法的渗透和数学精神的感悟在教学中如何落实。

  数学教学是数学思维活动的教学，数学教学的核心是促进学生思维能力的发展。考虑到数学本身的抽象性，教师在教学中应根据学生的实际需要，充分展示知识发生、形成和发展的过程，引导全体学生主动参与学习活动，培养思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性等品质。因此，一方面，我们的教学要注意遵循学生学习数学的思维规律。比如，学生认识10以内的数时，通常要经历从生活中的具体对象上升到半抽象的学具（方块、数珠）表示，最后用抽象的符号表示的过程。这一过程遵循了学生的思维特点和认知规律，因而有利于学生的思维由具体逐步过渡到抽象。另一方面，要着重帮助学生形成良好的思维品质。比如，就创新思维的培养，很多教师觉得在小学阶段提这样的要求是不是太高了，其实，创新思维是可以在教学中有意识培养的。比如，教学这一问题：电视机厂计划生产3000台电视机，已经生产了10天，完成了生产任务的2/3。照这样计算，余下的任务还要几天完成？在常规解法的基础上，还可引导学生这样分析：10天生产了总任务的2/3，余下的是总任务的1/3，余下的任务是已做的1/2，所需天数也应是已经生产天数的1/2，所以余下的任务还需5天完成。也许有的教师会认为这样的解法“不规范”，其实，这很规范，也是最简捷的解法，教学中我们应该鼓励学生大胆寻求简捷而合理的解法，积极拓展自己的思路。

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数学是人类的一种文化，它的思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分，数学思想方法已经渗透到一切科技领域及人们的生活、生产和劳动当中。为了培养具有现代人文精神的合格公民，数学教学应把数学思想方法的教学放在重要位置。上面我已提到小学阶段常用的数学思想方法。在教学中，教师应该具有这方面的意识，不仅教知识，还要想办法渗透隐藏在知识背后的数学思想方法。数学思想方法的教学是潜移默化的，需要学生逐步感悟和体会，不能生硬地将思想方法的教学凌驾于知识技能教学之上。

  数学精神也是学生数学素养的重要组成部分。数学具有抽象性、严谨性的特征，学习数学要养成一种严谨认真、实事求是的态度，这是培养学生科学精神的基础。比如，通过向学生介绍圆周率的计算，让学生了解从公元前一百多年《周髀算经》记载的“周三径一”，到祖冲之计算出约率和密率，再到电子计算机的问世，圆周率的计算逐步精确，使学生了解数学研究经历了漫长的过程，需要许多科学家的努力，这种研究需要科学的态度、严谨的精神来支撑，需要有不断超越过去的探索精神。迁移到学生的数学学习中，有助于形成细心、耐心和专注心等良好的学习品质；迁移到学生成长发展的进程中，有助于形成一种严谨务实的处事态度和坚韧不拔的毅力。

  记者：数学素养最终体现在解决问题的过程中。因而，《数学课程标准（实验稿）》特别重视培养学生的应用意识。您觉得数学应用意识的本质是什么？教师在教学中怎样培养学生的应用意识？

  丁老师：数学应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。当前教学中普遍存在的问题是，学生自觉运用所学数学知识解决实际问题的能力较差，特别是解决开放性、情景性、探索性应用问题时往往束手无策，习惯于依赖教师的分析和提示。

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培养学生的应用意识，在教学中一方面可以增强数学的“生活味”，努力从学生比较熟悉的或容易理解的生活经验入手，提炼数学问题，体验数学、理解数学。新教材在编写过程中充分体现了这种思想。另一方面，应努力增强现实生活的“数学味”，引导学生经历从实际问题抽象出数学问题的数学建模的过程。不同的学生对某一个问题可能会有不同的认识和理解，也会从不同的角度加以思考，教师首先要鼓励学生主动思考，然后通过合作、交流，体会解决问题的多样方法，学会运用数学的方法分析问题、思考问题，增强数学应用的意识。

  记者：丁老师，今天您就教师自身数学素养的提高和学生数学素养的培养提出了很好的见解，让我们很受启发。听说您的人生阅历特别丰富，能否给我们简要介绍一下？



  丁老师：我18岁做教师，当时插队在农村，任民办教师。恢复高考后上了师范。毕业后先后教过小学、初中和高中，在教师进修学校还教过大专数学课程，然后又回到中学、小学。30年的数学教学生涯使我得出一条体会：数学教师不能只教“单纯的数学”，要善于“跳出数学”教数学，要做一个有素养的数学教师，努力帮助学生形成对数学知识的准确理解，使学生拥有数学的大脑，掌握数学的方法，能运用数学分析和解决实际问题，使数学为学生今后的生活服务。  

  记者：谢谢您接受我们的采访。