透视“算术”向“代数”的转折,体现建模思想

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一、内容介绍、分析与教学建议

（一）内容介绍

“式与方程”是“数与代数”领域的教学内容。“式与方程”主要包括用字母表示数（四年级下册）、简易方程（五年级下册）和列方程解决简单的实际问题（六年级上册）。这部分内容是学生从算术的学习转向代数的学习的重要转折点，它们是后续学习数学的重要基础。

苏教版小学数学教材在第二学段分四年级下册、五年级下册和六年级上册三册教材接触“方程”。四年级下册“用字母表示数”这部分内容，主要包括用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题的数量关系或者计算公式。求简单的含有字母式子的值等。在教学“用字母表示数”后，五年级下册主要教学方程的意义，用等式的性质解一步计算的方程，列方程解决—步计算的实际问题。六年级上册主要教学用等式的性质解形如ax±b＝c、ax÷b=c和ax±bx=c的方程，列方程解决两、三步计算的实际问题。我们知道，小学生学习方程，是学习一种有效的解决实际问题的方法，进一步丰富解决问题的策略，更有价值与长远意义的是，初步建立方程思想。方程思想的核心体现是建模思想。

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（二）教材分析

“式与方程”这部分教学内容都安排在第二学段，采用了循序渐进、螺旋上升的编写方式。但具体到了哪一册教材安排了哪些内容都遵循了数学知识前后之间具有系统性、逻辑性。

苏教版教材中的 “式与方程”先是学习用字母表示数，教学用字母表示数，这是在学生认识许多简单数量关系，接触过一些字母式子如计算公式、运算律的基础上安排的。学生掌握这部分内容，有利于以后学习方程、比例以及其他的代数知识。用字母表示数，教材先是通过简单的问题情境，让学生理解字母可以表示数，并学习用含有字母的式子表示简单的数量、数量关系的计算公式；再联系一些稍复杂的数学问题，引导学生进一步学习用含有字母的式子表示稍复杂的数量、数量关系和计算公式，接着学习化简形如“ax±bx”这样含有字母的式子，既初步“涉足”代数式运算，又为后继学习了解形如ax±bx=c的方程做准备。“用字母表示数”这一单元的学习，有利于体验数学表达的简练，发展学生的符号感，能有效地培养学生的抽象能力、概括能力，也为学生后续学习方程的初步知识奠定基础。到方程部分，教材首先结合具体的情境，引导学生认识等式和方程，了解等式与方程的关系；再探索并理解等式的性质，学习解只有加法或减法、乘法、除法的简单方程；然后学习列方程解决简单的实际问题。在学习只有加、减、乘、除一步计算的方程之后，再由浅入深、由易到难，探讨解稍复杂一些的方程以及实际问题。

我们都知道方程是解决实际问题的有效方法之一， 在用方程解决实际问题的过程中，学生需要“从错综复杂的情境中，将最本质的东西抽象出来……，这一抽象概括的过程很有价值；同时，解方程的过程需要“清晰的思路和计划，逐步将复杂的问题简单化，这种优化的思想对于人的思维习惯的影响是深远的”。这也正是方程思想的本质所在。所以我们在进行教学方程的意义，用等式的性质解一步计算的方程，列方程解答简单的实际问题时，教师在重视有关基础知识和基本技能教学的同时，应有意识地让学生初步体会方程的思想。在列方程解决实际问题的教学过程中，教师教的重点和学生学的重点，不在于“解”，而在于“学解”。以“解”为出发点，注重的是解决问题的结果；以“学解”为出发点，注重的则是解决问题的过程。也就是说，要让学生经历寻找实际问题中数量之间的相等关系并列方程解答的全过程——学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，把日常语言抽象成数学语言(数量关系式)，进而转换成符号语言(方程式)。

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（三）教学建议

1、用字母表示数这部分内容分两段安排：例1～例5引导学生逐步认识用字母表示数；例6教学简单字母式子的加减运算。在进行教学时要做到：引导学生逐步认识字母表示数，首先在简单的数量关系里让学生体会字母表示数，这里通过常见的、简单的、学生容易理解的实例，让学生依据简单的数量关系，体会每个实例中字母的具体含义，认识可以用字母表示相应的数，并了解字母式子的意义。然后在稍复杂的数量关系里体会字母表示数，这里主要是根据含有两级运算的两步计算的数量关系的表达，引入用字母表示其中某个量的数，让学生进一步体会字母的含义，再通过摆图形等实际情况，引导学生联系实际问题和具体情境理解用字母所表示的数的意义，在操作、感知的基础上理解字母表示的数的实际含义从不同角度理解简单的加减计算的结果，进一步认识字母可以表示数，加深对字母表示数的认识和理解，体现和反映对学生符号感的培养，从而达到数学课程标准中所规定的要求：“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”、“理解符号所表示的数量关系和变化规律”。
2、在四年级下册“用字母表示数”教学的基础上第一次教学方程，涉及的基础知识比较多，教学内容主要有等式的含义与方程的意义，根据直观情境里的等量关系列方程；还有等式的性质和解方程的教学，列方程解答一步计算的实际问题。我们在进行方程教学的过程时应让学生在具体情境中认识方程的意义，“含有未知数的等式是方程”，这是用定义的形式来揭示概念。小学数学中揭示概念的方式有多种，这里对方程的定义采取的是属加种差定义方式：种差+邻近的属概念=被定义概念。这里，被定义概念邻近的属是“等式”，种差是“含有未知数”。

在教学时先教学等式，再教学方程的意义。教学时应注意要让学生经历由图过渡到式子的抽象过程。先通过观察天平图，判断物体的轻重，再用式子表示两端物体的质量关系；在交流等式和方程有什么关系时，应引导学生观察具体实例进行说明，这样能加深学生对方程的认识，还可以引导学生从集合的角度体会这两个概念之间的关系。在对方程的意义有了明确的认识之后应循序渐进地教学等式的性质和用等式的性质解方程，《数学课程标准》从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，要求小学阶段学生也要利用等式的性质解方程。为了让学生联系等式的性质解方程，教学时可以让学生自己说说怎样求出x的值。同时还要学生注意三点：一是规范解方程的书写格式，等式变换时，每个等式的等号要上下对齐；二是利用等式的意义对方程进行检验，只要看左右两边是不是相等；三是联系上面的过程，深刻领会什么是“解方程”。作为教师要知道方程就是一种数学模型，它是刻画现实世界中数量相等关系的数学模型。它可以帮助人们更准确清晰地认识、描述和把握现实世界。五上教材主要安排的了求和、相差关系和倍数关系等一些基本问题，它们是最基本的数量关系，所以在列方程解决实际问题的过程中，找到问题中数量之间的相等关系是列方程解决实际问题的关键。列方程解决问题与列算式解决问题相比，在思维方式上是一个飞跃。应引导学生积极参与解决问题的活动，教学时具体分这样几步：（1）明确条件和问题；（2）分析问题中已知量和未知量的相等关系；（3）把数量间的相等关系“翻译”成未知数X和已知数之间相等关系的方程。这样的过程就是建立数学模型的过程。

3、苏教版小学数学教材在第二学段分两次教学“方程”。六年级上册是第二次接触方程，教学解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程，列方程解答两、三步计算的实际问题。我们知道，小学生学习方程，是学习一种有效的解决实际问题的方法，进一步丰富解决问题的策略，更有价值与长远意义的是体现是建模思想。

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在列方程解决实际问题的过程中，要灵活对问题进行“表征”，建立问题表征时，必须引导学生正确、迅速地收集，处理题目中的信息，去除多余的．选择必需的，问题的表征就是建立在对问题理解的基础上，正是由于问题表征具有不同的方式，所以它也以不同方式影响问题解决的难度。经过问题表征之后，下一个重要步骤就是提示问题中数量之间的相等关系，找到数量之间的相等关系，才能把实际问题转化成数学问题，也才能列出相应的方程解答问题。由于学生已经在五（上）学过列方程解决简单的实际问题，所以这里在揭示等量关系之后，他们一般能够比较熟练地应用列方程解决问题的程序，但在写设句时，我们教师要多加指导，必要时，可以像教科书中处理的一样，在设句中写出两个未知量的表示方法，从而帮助学生完成数量关系式到方程式的转换。当学生得到问题答案之后，教师要引导学生对问题的解答进行回顾与反思。一是检查解答是否正确，这不仅有利于促进学生养成自觉检验的习惯，而且通过检验，可以帮助学生进一步认识先前解决问题时所建构的解题模型。二是把解决问题的活动作为一个思考对象，反思活动过程中关键的想法与关键的过程，从而帮助学生将解决具体问题中的“经验”推广到更一般的情况。教师要注意设计好能引起学生反思的提问，如解决这个问题，你有哪些体会?通过反思，解决问题活动中的关键要素和观点得到提升。加深学生对方程作为一种重要的数学思想方法的理解。也正是在多次经历这样的活动过程中，学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程。

“数学教学不能满足于单纯的知识灌输。而是使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想和方法统串具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展学生的数学能力”因此，我们要在教学中充分认识“方程”这一内容的教学价值与地位，增强学生用方程方法解决问题的意识和能力，丰富学生解决问题的策略，帮助学生加深理解方程是一种重要的数学思想方法，使学生的数学素养得到更好的发展。  

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二、典型课例设计分析           

教学内容：苏教国标六上“列方程解决实际问题”例1、试一试和练习1～5。

教学目标：

1、让学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±bx=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2、让学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。

3、让学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点：

正确分析题中数量间的相等关系，并列出方程，提高用方程解答实际问题的能力。

教学难点：

找出数量之间的等量关系，并解方程。

教学过程：

一、知识回顾（电脑出示）

1、解方程（口答）

X+20=39      4X=28      X-16=12      24+X=40

简要说说分别是怎么想的？解方程的依据是什么？

2、说出下面各数量之间的关系

（1）果园里桃树的棵树是梨树的4倍。（如果梨树有X棵，那么……）

梨  树  棵   数× 4  =桃  树  棵  数

（2）男生人数比女生人数多5人。

女   生   人  数 -  5 =男   生   人   数

女   生   人   数-男  生  人  数=   5  

女   生   人   数=男  生  人  数+    5  

3、解答实际问题

（1）五一班男生30人，是女生人数的2倍，女生多少人？

（2）五一班男生30人，女生人数是男生的2倍，女生多少人?

提问：哪道题更适合用方程解答？为什么？

怎样列算式或方程解答？

(评析：课始让学生对已有知识在脑海里进行自动检索，学生选择必要的数学信息列出数量关系，促使学习内容在动态中生成，激活了学生的认知需求与思维热情，使其积极主动地参与到下面的学习活动中。)

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二、教学新课

1、谈话导入

西安是我国有名的历史文化名城，有很多著名的古代建筑，其中包括闻名遐迩的大雁塔和小雁塔。（电脑出示风景图片）

今天我们就来研究与这两座建筑有关的数学问题。

2、分析数量关系

（出示例题1 ：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？）

学生读题

提问：题目告诉了我们什么条件？要求什么？

    题目中的哪个条件说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系？

我们可以把题目中的小雁塔的高度的2倍看作一个……（整体）

你能根据这句话说出这两个数量之间的关系式吗？

学生独立思考后再分组讨论，学生汇报讨论结果：

小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度

教师分别出示：小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22

小雁塔的高度×2—大雁塔的高度=22

（评析：教师对学生寻找出的两个数量之间的相等关系给与肯定，增加学生的学习自信心，并在同伴的说理中对自己的想法也是一个适当的修正，从而得出正确的方法。）

提问：（引导到第一个关系式）在这个关系式中，已知什么数量？要求什么数量？

你觉得可以用什么方法来求小雁塔的高度？

（算术方法、解方程）

3、列方程、学解方程

在这个关系式中，一倍的量（小雁塔的高度）未知，这样的问题适合列方程解答，今天我们就继续学习列方程解决实际问题。（板书课题）

提问：列方程解决问题首先要写设句，怎么设？（板书设句）

根据数量关系式，我们可以列出怎样的方程？

（学生自己尝试列方程，并口答）

（板书：2X-22=64）

提问：说说你是怎么列出这个方程的？（将数量关系式中的数量用数或字母替换）

这道方程可以怎么解？你能运用以前学的知识解决这个问题么？

（学生思考并快速讨论解法）

（学生交流解法）

点评：我们可以将2x看成一个整体的未知数，先应用等式的性质将方程两边同时加上22，将这道方程转化为所学过的形如“2X=？”的一步计算的方程，再用以前学过的方法继续解答。

（教师和学生一齐完成第一步）

（学生完成剩余步骤，请一人板演）

(评析：让学生在交流讨论的过程中了解到列方程解决实际问题时应当根据列出的方程的不同情况而采用不同的方法，使学生在应用过程中体会数量关系的特点，即“顺向思考——用算术方法解”“逆向思考——用方程解”的规律，使学生在练习中进一步理解和领悟到知识的一般规律。)

4、交流、检验、小结

小组内相互说说解这道方程的方法和过程。

请学生检验方程的解是否正确，并完成答句。

（教师板书答句）

提问：还可以怎么列方程？（根据不同的数量关系式）

（学生自己列方程解答，并交流）

小结：刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗？其中哪些环节很重要？

说明：（1）要根据题目中的条件寻找等量关系，而且一般要找出最容易发现的等量关系；（2）分清等量关系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程；（3）解出方程后，要及时进行检验。（电脑出示）

（评析：教者能够努力营造宽松、民主和谐的学习环境，引导学生积极参与学习过程。力求让学生去发现和概括出规律性的知识，无论在体会列方程解决问题的优越性，还是在多种方法的择优上，给学生提供自主的活动空间和交流的机会，引领学生通过自己的探索来获取知识，改变以往教师教和学生学的方式。）

5、完成“练一练”

读题并理解题意

想一想，可以找到怎样的数量关系式？

学生根据数量关系式自己列方程并解答。

全班反馈交流。

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三、巩固练习

1、小试牛刀

杭州湾大桥是世界上最长的跨海大桥，全长大约36千米，比香港青马大桥的16倍还多0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米？

说说解方程时，第一步怎么做？依据是什么？

学生自己完成解方程，请三个学生板演。

集体点评，强调检验的习惯。

2、对号入座

学生在课本上独立完成填空。

说说每个含字母的式子分别表示哪个数量，你是怎么想的？

3、火眼金睛

（1）学校运动队男生30人，是女生人数的2倍，女生有多少人？

（2）学校运动队男生30人，女生人数是男生的2倍，女生有多少人？

读题并理解题意

改变条件

（1）学校运动队男生30人，比女生人数的2倍多4人，女生有多少人？

（2）学校运动队男生30人，女生人数比男生人数的2倍多4人，女生有多少人？

学生自己写数量关系式，并列方程解答。二人板演。

集体点评，强调数量关系与方程的对应，说说解方程的解法和依据。

4、明辨是非

（1）读书节学校买来500本科技书，文艺书的本数比科技书的2倍多15本，文艺书有多少本？

500×2+15                                 （       ）

(2)植树节五年级种了150棵杨树，比柳树棵数的2倍少5棵，种了多少棵柳树？

     150×2－5                                 （       ）

    解：设种了x棵柳树。

        2x－5 =150                             （       ）

    解：设种了x棵柳树。

          2x+5 =150                            （       ）

（评析：采用分层练习，力求在练习过程中，既巩固新知，又发展学生的数学思维，使学生在发散性、多维度的思维活动中提高解决实际问题的能力。）

四、课堂作业

练习一3、4、5

五、课堂小结

今天我们学习了什么内容，你有哪些收获？还有没有疑惑的地方？

（评析：让学生回顾反思本节课的学习内容，不同学习层次的学生谈学习收获，使每个学生都体验到成功的喜悦。学生的收获不仅只有知识，还包括能力、方法、情感等，学生体验到学习之乐，建立自信，成为进一步学习的动力。）