二次函数的图象分析

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武汉市“图象分析”类中考试题，新颖活泼，光艳照人，魅力非凡，它集逻辑推理、逆向思维、综合运用等式、不等式于一体，它立意考查学生数形结合的思想、理解分析能力、数据处理能力，要求考生从图象中攫取信息，并用这些信息来揭示问题的本质属性，由于本题的难度较大，对学生的个性思维品质也是一个考验，为了让同学们快速搞定此类问题，现将本题近两年的两种类型及其解决办法分析如下，供参考．

一、基本概念: 对于二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)

1．函数图象开口方向决定a的符号，开口向上，a>0，开口向下， a<0．

2．对称轴的位置决定a，b符号的异同，对称轴为，对称轴在x轴的负半轴时a，b同号， 对称轴在x轴的正半轴时a，b异号．

3．函数图象与y轴的交点位置决定c的符号，当图象与y轴的交点在正半轴时c>0，交点在负半轴时c<0．

4．函数图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，由根与系数的关系知：， ．

5．函数图象一般来说与x轴有交点，则．

二、基本类型

（一）对称轴不明确型

【例1】（2005年非课改区中考试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2，



0），且0<x1<1， 1<x2<2，与y轴交于点（0，－2），下列结论：①2a+b>1
②3a+b>0


③a+b<2
④a<-1，其中正确的个数有（


）


(A)1个
(B)2个

(C)3个

(D)4个

（二）基本方法

方法1：数形结合法

1．先确定a，b，c的符号，
2．根与系数的关系．
3．由特殊点列出等式与不等式．
4．灵活运用上述3个步骤中的条件逐步验证各个待定结论．

【解析】画出草图，如图，由图象可知：a<0，b>0，c＝－2，
∵0<x1<1，1<x2<2， ∴1<x1＋x2<3，0<x1x2<2， ∴，
两边同时乘以－a，得，－a<b<－3a， ∴3a＋b>0，结论③错误，由，得，两边同时乘以a，得0>－2>2a， ∴a<－1，结论④正确，当x＝1时，y＝a＋b－2>0，故a＋b>2， 结论③错误，当x＝2时，y＝4a＋2b－2<0， ∴2a＋b<1， 结论①也不对，故选A.


方法2:赋值法


∵0<x1<1， 1<x2<2，不妨设x1＝0.5，x2＝1.5，设二次函数的解析式为y＝a（x－0.5）（x－1.5），因抛物线过点（0，－2），∴0.75a＝－2，得，则该二次函数解析式为＝＝∴a＝，b＝，c＝－2，∴2a＋b＝+
<1，3a＋b=＋
<0，a＋b=
＋
>2， a＝
<－1，容易验证只有一个结论是正确的，故选A.


点评：由于本题中x1，x2的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式，将解析式中a，b，c的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作.


（三）对称轴明确型

在新课改“减轻学生课业负担”宗旨下，加上课标人教版新教材弱化了一元二次方程中“根与系数的关系”的教学内容，故在2006年武汉市课改区同类考题中，明确了二次函数的对称轴，增强了对称观念、削弱了“根与系数的关系”，同时减少了待定结论、降低了试题难度、提升了得分机会，值得关注.


【例2】（2006年中考试题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴为x＝－1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0<x1<1， 下列结论：①9a－3＋c>0
②b<a
③3a＋c>0，其中正确的个数有（
）
(A)1个
(B)2个(C)3个
(D)4个

【解析】画出大致草图如右，由图象可知：a>0，b>0，c<0，
由图象的对称性知，x＝－3时，y＝9a－3b＋c>0，
则结论①正确，∵对称轴是x＝－1，即，
　∴b＝2a，b－a=2a－a=a>0，则b>a，结论②错误，当x=1， ∴a＋b＋c>0， ∵b=2a，
　∴3a＋c>0，结论③正确.
　∴①③正确.故选C.