教学环节
| 教师活动
| 预设学生行为
| 设计意图
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问题引入
| 解下列方程: x2-2x-3=0 x2+5x+6=0 并根据以上的求解填写下表 请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗? 问题1猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c之间的关系:____________。 问题2.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。
| 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1= ,x2= 。 则 x1+x2= + = ; x1 x2= · 先独立完成,再小组交互,形成统一答案,最后小组汇报
| 由此得出一元二次方程的根与系数的关系;还可以让学生用自己的语言表述这种关系,来加深理解和记忆。 这个关系是一个法国数学家韦达发现的,所以也称之为韦达定理。
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探索新知
| 问题3.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c的作用 ①二次项系数a能否为零(决定着方程是否为二次方程); ②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数; ③当a≠0时,根据△=b2-4ac可判定根的情况; ④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=,x1x2=。 ⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0。
| 先独立完成,再小组交互,形成统一答案,小组汇报后,教师再补讲、精讲
| 多要素组合,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神。
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课时训练
| 根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1,x2、k是常数)
| 1)2 x2-3x+1=0 x1+x2= ______ x1x2=______ (2)3 x2+5x=0 x1+x2= ______ x1x2=______ (3)5 x2x2+x-2=0 x1+x2= ______ x1x2=______ (4)5 x2+kx-6=0 x1+x2= ______ x1x2=______
| 单独完成,小组交互,甚至大组交互,提高强化次数
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举一反三
| 已知方程2 x2-3x-1=0的两个根是 x1,x2不解方程,求下列各式的值(1)平方和,(2)倒数和。 讨论:解上面问题的思路是什么?
| x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;
| 将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式
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归纳小结
| 本课主要研究了什么?
| 1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时,方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=,x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。
| 回顾总结
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板书设计
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一元二次方程根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=。 问题3.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c的作用吗? ①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程; ②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数; ③当a≠0时,△=b2-4ac可判定根的情况; ④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=,x1x2=。 ⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0。
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学生学习活动评价设计
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本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力
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