人教九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》优秀教学设计与反思

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教材分析
本节课要研究的是圆的轴对称性与垂径定理及简单应用，垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
学情分析
我所教学生数学学习状况分析 :
1. 学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。对学了什么, 应掌握什么,有什么作用是茫然的。
2. 学生对数学学习不主动、自觉性差, 对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。
3.部分好学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓，学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情, 具有学习意志不坚定性。
4．学生在小学学习“圆的认识”和“轴对称图形”时，已经对圆的轴对称性有了基本的认识与了解。但对对称轴及轴对称的性质应用理解不足。
教学目标
知识技能：1、探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；
2、能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
数学思考：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．
解决问题：进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．
情感态度：使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点和难点
教学重点：垂径定理及其应用
教学难点：垂径定理的证明与垂径定理的理解及灵活应用.
教学过程

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教学环节	教师活动		预设学生行为	设计意图
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容	活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．		学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．	探索 圆的 对称 性
二、 问 题 引 申， 探 究 垂 直 于 弦 的 直 径 的 性 质， 培 养 学 生 的 探 究 精 神	活动2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1 图1 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？ 在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．		如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC 与弧BC 重合．因此AM=BM， 弧AC =弧BC ，同理得到 弧AD =弧BD． 图2	探 索 垂 径 定 理
	活动3：如图3， 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径． 图3 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8， 在Rt△ADO中 ， 即 ． 解得 R＝10（m）． 答：此圆的半径是10 m．		学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．	巩 固 对 垂 径 定 理 的 理 解
	活动4：如图4，已知弧AB ，请你利用尺规作图的方法作出弧AB 的中点，说出你的作法． 图4 〔解答〕1．连接AB； 2．作AB的中垂线，交弧AB 于点C，点C就是所求的点．		根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．	通过 寻找 一段 弧的 中点, 进一 步理 解垂 径定 理．
三、 拓 展 创 新， 培 养 学 生 思 维 的 灵 活 性 以 及 创 新 意 识．	活动5 解决下列问题 1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由． 图5 图6 〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到 OC⊥AB，OC⊥GF， 根据勾股定理容易计算 OE=1．5米， OM=3．6米． 所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．		学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．	让 学生 在探 究过 程中， 进一 步把 实际 问题 转化 为数 学问 题， 掌握 通过 作辅 助线 构造 垂径 定理 的基 本结 构图， 进而 发展 学生 的思 维．
	2．桂林市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 图7		图8 〔解答〕     如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F， 则AE= AB = 30 cm．令⊙O的半径为R， 则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10． 在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2， 即R2=302+(R-10)2． 解得R =50 cm． 修理人员应准备内径为100 cm的管道．
四、 归纳小结、布置作业	小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性． 作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．			培养学生的归纳能力，巩固新知．
板书设计
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

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教学反思
  
数学源于生活，而又服务于生活。本节课的内容与生活是息息相关的，因此学生反映很热烈，学起来也不困难。因此这节课我采用了多媒体教学，使抽象的图形直观化，生活化；通过图片的折叠和旋转使复杂的问题简单化，学生也比较容易接受，从而突破了难点，达到了本节课的教学目标。因此在今后的教学中应注重贴近学生的实际生活，从学生的角度去挖掘素材，找准突破点，尽可能地使数学生活化，趣味化，使学生自愿地去亲身经历数学，体验数学，从而达到我们教学目的。