五年级竞技场上的数学问题

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多姿多彩的体育比赛把许多小朋友吸引到了竞技场上，可是，你知道吗，在竞技场上也同样有许多有趣的数学问题。

　　例1 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得2分，负者不得分，已知比赛结果如下：

　　（1）A与E并列第一名；

　　（2）B是第三名；

　　（3）C和D并列第四名；

　　求B的得分。

　　分析 共五名选手参加乒乓球比赛，每人都要赛4场，每场比赛不是得2分，就是得0分，所以每名选手的总分一定是0、2、4、6、8五数之一，四场都负得0分，四场都胜得8分，因此，B的得分比0分多，比8分少（他不是第一，也不是第四），只可能是2、4、6三数之一。同时不要忘记“两个并列第一，两个并列第四”这两个重要条件。

　　解 因为五个人一共比赛（4×5÷2＝）10（场）。

　　所以十场球一共得分（2×10=）20（分）。

　　有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8分的，也没有得0分的，只有2分、4分、6分三种得分情况。因此，并列第一的一共得（6×2=）12（分）。

　　并列第四的一共得2×2＝4（分），

　　第三名得 20－（12＋4）= 4（分）。

　　所以，B得4分。

　　例2 在一次射击练习中，甲、乙、丙三位战士各打了四发子弹，全部中靶，其命中情况如下：

　　（1）每人四发子弹所命中的环数各不相同；

　　（2）每人四发子弹所命中的总环数均为17环；

　　（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另两发命中的环数与丙其中两发一样；

　　（4）甲与丙只有一发环数相同；

　　（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环。

　　问甲与丙命中的相同环数是几？

　　分析 条件这样多，一下子满足所有的条件有困难，我们把条件归类，逐条逐步去满足。

　　首先，我们找出符合条件（1）、（2）、（5）的所有情况：

　　其次，再从这些情况中去掉不符合条件（3）与条件（4）的，剩下的就是全部符合题目要求的答案。

　　解 满足（1）、（2）、（5）的只有如下四种情况：

　　①1＋7＋3＋6＝17（环）；

　　②1＋7＋4＋5＝17（环）；

　　③2＋6＋4＋5＝17（环）；

　　④2＋7＋3＋5＝17（环）；

　　从上述四个式子中看出，①式与②式有数字1、7相同；②式与③式有数字4和5相同；②式既与①式有两个数字相同，又有另两个数字与③式相同，②式就是乙。①式和③式就是甲和丙。

　　①式和③式相同的数字是6，所以甲和丙相同的环数是6。

　　例3 一场足球赛，有A、B、C、D四队参加，每两队都赛一场。按规则，胜一场得2分，平1场得一分，负一场得0分，比赛结果，B队得5分，C队得3分，A队得1分。所有场次共进了9个球。B队进球最多，共进了4个球，C队共失了3个球，D队一个球也没有进。A队和C队的比分是2∶3。

　　问A队与B队的比分是多少？

　　解 四个队每队都赛一场，共赛6场。每一场两队得分之和是2分，因此所有队在各场得分之和是

　　2×6＝12（分）。

　　D队的得分是 12－5－3－1＝3（分）。

　　因为D队一球未进，至多与其他队打平，所以D队赛的三场，都是打平。

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现在，把已知的比赛成绩用一张表格来表示：


　　每一队都赛三场，得5分一定是胜2场平1场，得1分是负2场平1场。C队以3∶2胜A队，它得3分，一定是胜、平、负各一场。
　　C队与A队比赛，C队进了3球，A队进了2球，这一场共进了5个球。B队进球数是4，因此，所有场次共进9个球已够数，C队和A队在其他场都没有进球。
　　B队与D队是0∶0打平，它进4个球，一定是与C队或A队比赛时进的，C队共失3球，与A队比赛失2球，因此与B队比赛失（3-2=）1（球），比分是 0∶1。B队与A队比赛进（4－1＝）3（球），比分是3∶0。
　　所以，A队与B队的比分是0∶3。
　　例4 A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛一盘。问此时E同学赛了几盘？
　　分析 可以把题目所给的条件用图表示出来，用5个点表示5位同学，如果两人进行了比赛，那么用线段连接起来。


　　解 根据题意，A已经赛4盘，说明了A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连。
　　D赛1盘，是与A点相连的。
　　B赛3盘，是与A、C、E点相连的。
　　C赛2盘，是与A、B点相连的。
　　从图上E点的连线条数可知，E同学已赛过2盘。
想 想 练 练
　　1.四年级三个班参加运动会，运动会上举行跳高、跳远和百米赛跑三项比赛，各取前三名。第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分。已知一班进入前三名的人数最少，二班进入前三名的人数是一班的2倍，而且这两个班所得总分相等，并列年级组的第一名。三班得了多少分？
　　2.四个小朋友进行三项田径比赛。规定第一名得5分，第二名得3分，第3名得2分，第四名得1分。最后统计四个人的总分情况是：甲得10分，乙得12分，丙得4分，丁得7分。试求每人每项所得分数中的一种情况。
　　3.德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场。现在知道：
　　（1）意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；
　　（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。
　　按规则，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。
　　那么德国队得了多少分？
　　4.A、B、C、D、E、F六个足球队进行比赛，每队都已赛过三场。
　　（1）A队三战得6分；
　　（2）B队三战都负；
　　（3）C队三战皆平；
　　（4）D、F两队进行过一场比赛，D队的三场比赛积分为1分。
　　比赛中凡是胜一场的都得了2分，平局的都得1分，负一场的得0分。
　　你知道E队的三场比赛都与哪个队进行的吗？比分如何？
　　5.一场足球赛（每队赛一场）尚未结束，小马虎把已赛过的成绩列成下面表格：


　　后来发现这张表中有两个数是错的，另外，还知道A已与E赛过；D已与B赛过；B没有打两场平局；进球最多的是B与E的一场比赛。
　　改正错误，并把这张表填全。