2012年福建省高考文科数学模拟试卷及试题答案

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2012-6-3 01:52 上传

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2012年福建省高考压轴卷数学文                    
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）． 本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
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    1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据 ，…， 的标准差                 锥体体积公式
         
其中 为样本平均数                              其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式                                   球的表面积、体积公式
                                          
其中 为底面面积， 为高                        其中 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设 ，集合 ， ，则下列结论正确的是（    ）
A．                               B．
C．                                    D．
2．对于非零向量 ， ，“ ”是“ ”的（    ）
A．充分不必要条件                                    B．必要不充分条件       
C．充要条件                                                       D．既不充分也不必要条件
3．若双曲线 的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（    ）
A．              B．              C．           D．
4．如图所示几何体是由一个长方体和圆锥构成，则该几何体的俯视图可以为（    ）

5．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函数 的图象最有可能的是（    ）
  
6．一个容量为10的样本数据，组成一个公差不为0的等差数列 ，且 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（    ）
        A．13，14        B．13，12        C．12，13        D．13，13
7．直线 相切于点 ，则 的值为        （    ）
        A．         B．         C．         D．
8．若实数 满足 ，则 的最小值为（    ）
A．               B．4               C．16              D．36
9．将函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于 轴对称，则 的值可以为（    ）
A．               B．                C．               D．
10．设 、 、 是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（    ）
A．若 ，则          B．若 ，则  
C．若 ，则    D．若 在平面 内的射影互相垂直，则
11．已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 ＜ 的 取值范围是（    ）
A．［ ，1）          B．（ ，1）                   C．［0，1）           D．（0，1）
12．定义域为D的函数 同时满足条件：①常数 满足 ，区间 ，②使 在 上的值域为 ，那么我们把 叫做 上的“ 级矩形”函数．函数 是 上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对 共有（    ）
A．1对                         B．2对                   C．3对                        D．4对

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
13．已知 ，且 为纯虚数，则            。
14．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率为           。
15．若直线 与圆 相切，则 的值为           。
16．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 个图形包含 个小正方形，则       。     

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．已知函数 的一系列对应值如下表：
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若在 中， ， ， ，求∠B的值 （答案也要修改）

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18．（本小题满分12分）
国家教育部、体育总局和共青团中央曾共同号召，在全国各级各类学校要广泛、深入地开展全国亿万大中小学生阳光体育运动 为此某网站于2010年1月18日至24日，在全国范围内进行了持续一周的在线调查，随机抽取其中200名大中小学生的调查情况，就每天的睡眠时间分组整理如下表所示：

序号( )
每天睡眠时间
（小时）        组中值( )
频数        频率
( )

1        [4，5)        4．5        8        0．04
2        [5，6)        5．5        52        0．26
3        [6，7)        6．5        60        0．30
4        [7，8)        7．5        56        0．28
5        [8，9)        8．5        20        0．10
6        [9，10)        9．5        4        0．02

（Ⅰ）估计每天睡眠时间小于8小时的学生所占的百分比约是多少?
（Ⅱ）该网站利用右边的算法流程图，对样本数据作进一步统计分析，求输出的S的值，并说明S的统计意义。

19．（本小题满分12分）
如图一所示，边长为1的正方体 中， 分别为 的中点。
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 为 的中点，证明： ；
（Ⅲ）如图二所示为一几何体的展开图，沿着图中虚线将它们折叠起来，所得几何体的体积为 ，若正方体 的体积为 ，求 的值。


20．若数列 满足 ，其中 为常数，则称数列 为等方差数列
已知等方差数列 满足 。
  （Ⅰ）求数列 的通项公式；
  （Ⅱ）记 ，则当实数 大于4时，不等式 能否对于一切的 恒成立？请说明理由




21．（本小题满分12分）
已知椭圆C： 的短轴长为 ，且斜率为 的直线 过椭圆C的焦点及点 。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线 过椭圆C的左焦点 ，交椭圆于点P、Q，
（ⅰ）若满足 （ 为坐标原点），求 的面积；
（ⅱ）若直线 与两坐标轴都不垂直，点M在 轴上，且使 为 的一条角平分线，则称点M为椭圆C的“左特征点”，求椭圆C的左特征点。



22．（本小题满分14分）
已知函数 。
（Ⅰ）求函数 的单调区间。
（Ⅱ）若 上恒成立，求实数 的取值范围
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的 ，求证： 。




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2012年福建省高考压轴卷                         数学文答案

一、选择题
1-5  AABCA      6-10  DDCBB      11-12  DC     
二、填空题
13．            14．        15．        16．61
三、解答题
17． 解：（Ⅰ）由表格可知，函数 的周期为 ，
所以 ． …………………………………………………………………………2分又 ，也即 （公式中2kπ改为kπ），
由 ，所以  ……………………………………………………………… 4分
所以函数的解析式为 （或者 ）……………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴ ,…………………………………………………7分
在 中，由正弦定理得，  
∴ ，…………………………………………………10分
∵ ，∴ ，∴ ………………………………………………12分
18． 解:（Ⅰ）由样本数据可知，每天睡眠时间小于8小时的频率是
．         ………………… 4分
由此估计每天睡眠时间小于8小时的学生约占88%．   ………………… 6分
（Ⅱ）输入 的值后，由赋值语句 可知，
流程图进入一个求和状态．
设 ，数列 的前项和为 ，则
．
故输出的S值为6．7． ………………… 11分
S的统计意义是指被调查者每天的平均睡眠时间估计为6．7小时． ………………… 12分
19．（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
∵F、H分别是 的中点，
∴ 且 ，
∵在正方体 中， ，
又 分别为 的中点，
∴ ，
∴四边形FHBE为平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：取BC中点I，连接GI，AI，
在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点，

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∴ ，
∵
∴ ，
又 ，
∴ ，又 ，
∴
由四边形 为平行四边形得 ，
∴ ；……………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）如图二所示，该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形，
∴ ，又 ，
∴ ．…………………………………………………………………………………12分
20． 解：（Ⅰ）由 ， 得， ， ．…………………3分
，
， ，
数列 的通项公式为 ；………………… 6分
（Ⅱ）解法一： ，不等式 恒成立，
即 对于一切的 恒成立． ………………… 8分
设 ． ………………… 9分
当 时，由于对称轴 ，且
而函数 在 是增函数，………………… 10分
不等式 恒成立，
即当 时，不等式 对于一切的 恒成立． ……………… 12分
解法二： ，不等式 恒成立，
即 对于一切的 恒成立． ………………… 8分
………………… 9分
， ．………………… 10分
而
恒成立．
故当 时，不等式 对于一切的 恒成立． ………………… 12分
21． 解：（Ⅰ）由题意可知，直线 的方程为 ，………………………1分
∵直线 过椭圆C的焦点，∴该焦点坐标为 ∴ ,
又椭圆C的短轴长为 ，∴ ，∴ ，
∴椭圆C的方程为 ；…………………………………………………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）∵ ，
∴ ，……………5分
∴ ，……………………………6分
（ⅱ）设左特征点 ，左焦点为 ，可设直线PQ的方程为 ，
由 消去 得 ，
设 则 ，…………………8分
∵ 为 的一条角平分线，
∴ ，即 ，………………………………………9分
又 ， ，代入上式可得
∴ ，
解得 ，……………………………………………………………………………11分
∴椭圆C的左特征点为 ．………………………………………………………12分
22． 解：（Ⅰ）
当 时， 恒成立，则函数 在 上单调递增；………2分
当 时，由 ，则  
则 在 上单调递增，在 上单调递减．　　     …………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当 时显然不成立；　　　　　　　　　　　　
  当 时， ,
只需 即可　．　　　　　　　　　　　　　　…………………………．6分
令 ,
则 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
，
即 对 恒成立，也就是 对 恒成立，
∴ 解得 ，…………………………9分
∴若 在 上恒成立， =1． ……………10分
(Ⅲ） ,　………11分
由 得 ,
由（Ⅱ）得：  ,………12分
则 ,
则原不等式 成立　．　　　　　…………………………14分