北师大版七年级下册数学《完全平方公式》导学案课件PPT板书设计教学实录

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北师大版七年级下册数学《完全平方公式》导学案课件PPT板书设计教学实录
第十三课时
●课  题
§1.8.1  完全平方公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.  
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.

图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？
(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2             (1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法则，则(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b”代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2•a•(－b)+(－b)2
↓ ↓ ↓   ↓   ↓   ↓
      (a     +b)2=a2+2•a  •b  +  b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2             (2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：

［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y－x)2或(x－2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z］2(或［x+(y－z)］2、［(x－z)+y］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y－x)2
=4y2－4xy+x2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x－2y)］2=(x－2y)2=x2－4xy+4y2.
(2)(－x－y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x2+2xy+y2.
(3)(x+y－z)2=［(x+y)－z］2=(x+y)2－2(x+y)•z+z2
=x2+y2+z2+2xy－2zx－2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x－y)2
=(x2+2xy+y2)－(x2－2xy+y2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x－y)2
=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=4xy.
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2
=［(2x－3y)(2x+3y)］2
=［4x2－9y2］2
=16x4－72x2y2+81y4.
Ⅲ.随堂练习
课本P34，1.计算：
(1)( x－2y)2;(2)(2xy+ x)2;
(3)(n+1)2－n2.
解：(1)( x－2y)2=( x)2－2• x•2y+(2y)2= x2－2xy+4y2
(2)(2xy+ x)2=(2xy)2+2•2xy• x+( x)2=4x2y2+ x2y+ x2
(3)方法一：(n+1)2－n2=n2+2n+1－n2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n2=［(n+1)+n］［(n+1)－n］=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本P36.习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读”，并回答文章中提出的问题.
●板书设计
§1.8.1  完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
对比得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn－a)2
1.填空题
(1)(－3x+4y)2=       .
(2)(－2a－b)2=       .
(3)x2－4xy+       =(x－2y)2.
(4)a2+b2=(a+b)2+       .
(5) a2+       +9b2=( a+3b)2.
(6)(a－2b)2+(a+2b)2=       .
2.选择题
(1)下列计算正确的是(    )
A.(m－1)2=m2－1
B.(x+1)(x+1)=x2+x+1
C.( x－y)2= x2－xy－y2
D.(x+y)(x－y)(x2－y2)=x4－y4
(2)如果x2+mx+4是一个完全平方式，那么m的值是(    )
A.4     B.－4    C.±4    D.±8
(3)将正方形的边长由a cm增加6 cm,则正方形的面积增加了(    )
A.36 cm2         B.12a cm2
C.(36+12a)cm2       D.以上都不对
3.用乘法公式计算
(1)( x－ y)2
(2)(x2－2y2)2－(x2+2y2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案：1.(1)9x2－24xy+16y2
(2)4a2+4ab+b2  (3)4y2  (4)－2ab
(5)3ab  (6)2a2+8b2
2.(1)D  (2)C  (3)C
3.(1) x2－ xy+ y2  (2)－8x2y2
(3)809999  (4)998001

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第十四课时
●课  题
§1.8.2  完全平方公式(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.
2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.
3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.
(二)能力训练要求
1.在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.
2.进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理.
(三)情感与价值观要求
1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.
2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.
●教学重点
1.巩固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.
2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.
●教学难点
1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.
2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.
●教学方法
活动探究法.
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：
一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？
［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.
［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们来做一个“分糖游戏”.
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所以一共发了a2块糖.
第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.
第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.
［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.
由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.
［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.
(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)
［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.
［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.
下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.
出示投影片(§1.8.2 C)
［例2］利用完全平方公式计算：
(1)1022；(2)1972.
如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.
［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.
(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809
［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.
下面我们再来看一个例题［例3］计算：
(1)(x+3)2－x2;
(2)(a+b+3)(a+b－3);
(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).
分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机会.
解：(1)方法一：(x+3)2－x2
=x2+6x+9－x2——运用完全平方公式
=6x+9
方法二：(x+3)2－x2
=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式
=(2x+3)×3
=6x+9
(2)(a+b+3)(a+b－3)
=［(a+b)+3］［(a+b)－3］
=(a+b)2－32
=a2+2ab+b2－9
(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)
=x2+10x+25－(x2－5x+6)
=x2+10x+25－x2+5x－6
=15x+19
［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.
分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.
解：x2+y2=(x+y)2－2xy
把x+y=8,xy=12代入上式，
原式=82－2×12=64－24=40
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P38)利用整式乘法公式计算：
(1)962  (2)(a－b－3)(a－b+3)
解：(1)962=(100－4)2
=10000－800+16=9216
(2)(a－b－3)(a－b+3)
=［(a－b)－3］［(a－b)+3］
=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－9
2.试一试，计算：(a+b)3
分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2•(a+b),可以使运算简便.
解：(a+b)3=(a+b)2•(a+b)
=(a2+2ab+b2)(a+b)
=a3+a2b+2ab2+2a2b+ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
3.已知x+ =2,求x2+ 的值.
解：由x+ =2,得(x+ )2=4.
x2+2+ =4.所以x2+ =4－2=2.
Ⅳ.课时小结
［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.
［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a2+b2的关系.
［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.
……
Ⅴ.课后作业
1.课本P38，习题1.14.
2.课本P47，第5、6题.
●板书设计
§1.8.2  完全平方公式(二)
一、糖果游戏
(1)a2  (2)b2  (3)(a+b)2
(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.
结果：(a+b)2≠a2+b2
二、例题讲解
例2.利用完全平方公式计算
(1)1022  (2)1972
例3.计算：
(1)(x+3)2－x2
(2)(a+b+3)(a+b－3)
(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)
●备课资料
参考练习
1.选择题
(1)下列等式成立的是(    )
A.(a－b)2=a2－ab+b2
B.(a+3b)2=a2+9b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2
D.(x+9)(x－9)=x2－9
(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是(    )
A.8(a－b)2
B.8(a+b)2
C.8b2－8a2
D.8a2－8b2
(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是(    )
A.－25x4－16y4
B.－25x4+40x2y2－16y4
C.25x4－16y2
D.25x4－40x2y2+16y4
(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是(    )
A.(x2y2－1)2
B.(x2y+1)2
C.(x2y－1)2
D.(－x2y－1)2
2.填空题
(1)(4a－b2)2=       .
(2)(－ m－1)2=       .
(3)(m+n+1)(1－m－n)=       .
(4)(7a+A)2=49a2－14ab2+B,则A=       ,B=       .
(5)(a+2b)2－       =(a－2b)2.
3.用乘法公式计算：
(1)9992;
(2)20022－4004×2003+20032.
4.已知,a+b=8,ab=24.求 (a2+b2)的值.
5.已知x+ =4,求证x2+ .
6.已知：x2－2x+y2+6y+10=0,求x+y的值.
答案：1.(1)C  (2)C  (3)B  (4)C
2.(1)16a2－8ab2+b4
(2) m2+m+1
(3)1－m2－2mn－n2
(4)－b2  b4
(5)8ab
3.(1)998001  (2)1
4.8  5.14  6.－2