小学数学优秀教学随笔：《乘法分配律》教学谈

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乘法分配律是一种重要的数学模型，在小学阶段所学的运算律中，它是学生最难理解和掌握的。有些学生在学习时就糊里糊涂，始终弄不明白乘法分配律为什么会有这种形式上的变化；有些学生虽然在学习时会机械地模仿，但很快就遗忘了，更谈不上自觉和灵活地运用……许多老师抱怨说：该让学生举例验证的都举例验证了，该让学生抽象概括的也都抽象概括了，学生经历了学习的过程，为什么还会出现上述情况？

笔者认为，最主要的原因是教师在教学时，只重视引导学生对规律的“外形”进行研究，忽视了对规律“内在”的本质进行探究，导致学生对规律的实质体验得不够，领悟得不深。学生感到困难的具体原因大致有以下三点：一是感性积累少。对于加法、乘法的交换律和结合律，学生在正式学习之前就经常运用，积累了大量的感性经验，因此很容易理解和掌握，但学生在学习乘法分配律之前很少有这方面的感性积累与直接经验。尽管学生在学习笔算乘法（如两位数乘一位数、三位数乘一位数等）时也曾用到过乘法分配律，但那时还处于无意识的状态，只是根据算式的意义去计算。二是内在算理糊。学生只知道乘法分配律外形上的变化，对内在的算理认识不清，当然很容易把规律从机械记忆中“挥发”掉。三是自主体验缺。大多数教师通常是根据教材例题的问题，让学生列出两种算式并说明理由，从而得出一组等式；然后再让学生写出几组类似的等式，对几组等式进行观察、比较、分析、综合，找出等式两边的异同及其联系，引出猜想；接着启发学生大量举例验证，引导学生抽象概括出乘法分配律；最后引导学生应用规律解决问题。这样教学看起来学生经历了探索过程，也发现了规律，但学生只是从形式上感知了规律，未从实质上加以领悟。再说，教师也未充分遵循学生的认知规律，对小学生来说，进行抽象思维需要有形象来支撑，否则就难以建构规律的基本模型。比如，教师只把教材主题图中的问题当作一个引子，一引就丢，未能充分发挥其在建构模型过程中的桥梁作用，学生的直观体验不鲜明、不丰富，不能建立表象，更难实现抽象。为此，笔者认为：要始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，采用数形结合的方法，让学生借助直观丰富的表象理解乘法分配律，并真正使学生在这一过程中切实增强体验，不断获得真切感受，充分积累活动经验。笔者改进如下：

一、充分借助主题图

心理学研究表明：小学生的思维正处在具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们的抽象思维水平在很大程度上要依赖于形象或表象的支撑，可以说形象思维和表象思维在小学生思维中占有很大的比重。为此，教师要充分用好主题图中的直观形象，让学生借助这根“拐杖”，丰富表象，逐步抽象。在教学时，教师除了要让学生会用两种方法解答教材中提出的问题“买5件夹克杉和5条裤子一共要付多少元”并说明算理外，还要引导学生借助具体图进一步理解算理。笔者出示如下图：  




“分”别算（横看）：先算5件夹克衫的价钱，65×5，再算5条裤子的价钱，45×5，最后把夹克衫和裤子的价钱合并，65×5+45×5。“配”套算（竖看）：先把1件夹克衫与1条裤子配成1套，算出1套衣服的价钱，65+45，再算出5套衣服的价钱，（65+45）×5。从图中可以明显看出，不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求买5件夹克衫与5条裤子一共要付多少元，即5个65与5个45的和一共是多少，所以（65+45）×5=65×5+45×5，从而从根本上进一步说明了算理。

笔者还引导学生计算买其他套数（并过渡到买a套）衣服的价钱，并启发学生借助示意图说明两种列式的算理各是什么，让学生在充分举例和相互交流中不断强化形象，积累和储备表象。

这样教学就能让学生既很直观地理解“分”，又很形象地领悟“配”，为后面的抽象概括提供形象的支撑；就能使学生清晰地储存形象，以便顺利地提取并灵活地运用形象。学生以后一旦见到形如乘法分配律的算式，就能立即再现主题图中“分”与“配”的情境，借此进行思考。即使规律暂时遗忘，仍然可以借助表象很快重新获得。

二、不断运用数形图

在教学中，许多教师都让学生列举了大量的体现乘法分配律外形特征的算式，并引导学生通过计算和比较，看结果是否相等以验证猜想是否成立。笔者认为仅仅这样做还不够。因为学生只是通过计算从外形上发现两边结果相等，还未从本质上探明为什么两边得数会相等。为此，我们可以引导学生借助数形图开进一步理解算理。如在学生举出（75+25）×6=75×6+25×6时，教师可让学生具体说明算式每一步的意义：等号左边（75+25）×6表示6个（75+25）的和一共是多少，等号右边75×6表示6个75的和是多少，25×6表示6个25的和是多少，75×6+25×6表示6个75与6个25的和一共是多少，并启发学生用数形图表示如下：

        

75  75  75  75  75  75………6个75的和

25  25  25  25  25  25………6个25的和

“分”别算（横看），列式为：75×6+25×6 ，“配”套算（竖看），列式为：（75+25）×6。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求6个75与6个25的和一共是多少，所以（75+25）×6=75×6+25×6，与买衣服付钱同理，从而直观地显示了等式在形式上发生变化的原因。

当学生采用不完全归纳法得出乘法分配律的字母表达式后，笔者仍然引导学生借助数形图从算理上说明规律存在的理由。如对于（a+b）×c=a×c+b×c， “分”别算（横看），列式为：a×c+ b×c，“配”套算（竖看），列式为：（a+b）×c。不管是“分”别算，还是“配”套算，都是求c个a与c个b的和一共是多少，所以（a+b）×c= a×c+ b×c。

这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然，于是便可能有意义地接受规律。实践证明，有了主题图和数形图的支撑，既便于学生探索、发现和理解规律，建构规律模型，又便于学生在以后的学习中灵活运用规律，发展数学思维。

三、适当探究拓展式

笔者认为，学生仅仅概括出并理解了（a+b）×c= a×c+ b×c还不够，因为它只是乘法对加法的分配律，而且是最简单、最一般的表达式，教师在教学时还应适当引导学生进行合理的联想和必要的扩展：如几个数的和乘同一个数还可以运用乘法分配律吗？乘法对减法有分配律吗？除法有分配律吗？……笔者在教学时，就引导学生分小组选择其中的一、两个问题，仍然借助主题图、数形图或举例进行研究，让他们再次经历上述探究过程，从而使学生有更深的体验和更多的发现。这样，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且还可以帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力。虽然本节课学生没有多少时间直接运用规律解决问题，但我以为本节课的重点和难点应是探索并发现规律，而不是运用规律。学生真正领悟了规律的实质，以后在运用时才能做到自觉、迅速和灵活。因此，这节课把时间放在规律的探索上，是必要而且值得的！

此外，笔者还注意充分利用学生已有的知识和经验，让学生回顾两位数乘一位数、三位数乘一位数是计算过程和算理，帮助学生认识到计算过程实质上遵循了乘法分配律。这样，不仅沟通了知识之间的内在联系，而且有助于学生进一步拓展和内化对乘法分配律的认识。

总之，重视对规律实质的探寻，不但能让学生牢固地掌握规律的“外形”，而且能让学生准确地理解规律的“内理”，还能增强学生自主探究规律的本领和意识，学习在“变”中寻找“不变”的方法。笔者认为，这样的教学才是扎实和有效的，才是深刻和持久的，才真正发挥了教学内容的教育价值。